Aktiviteter och uppgiftsförslag. Matematiska förmågor

Transkript

1 Aktiviteter och uppgiftsförslag Med utgångspunkt i ett antal bilder från föreställningen finns nedan några olika förslag på vad du som lärare kan arbeta vidare med vad gäller elevernas kunskaper i matematik. Förslagen, som är ordnade efter olika teman, måste inte göras i någon speciell ordning, de riktar sig inte heller till någon speciell åldersgrupp. Utifrån gruppens behov och intresse är det du som lärare som väljer vad du vill ta upp och arbeta vidare med. I samtal, diskussioner och resonemang kring aktiviteterna får eleverna dels möjlighet att utveckla kunskaper som tas upp i det centrala innehållet men framför allt rika möjligheter att utveckla de förmågorna som lyfts fram i matematikämnets kursplan (Lgr -11). En närmare beskrivning av de olika förmågorna kan du läsa nedan. Matematiska förmågor I syftesbeskrivningen i kursplanen för matematik (Lgr -11) lyfts de matematiska förmågorna fram som långsiktiga mål att uppnå. Sammanfattningsvis beskrivs förmågorna på följande vis: Eleverna ska ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp, välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter, föra och följa matematiska resonemang, och använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser. Problemlösningsförmåga Denna förmåga karaktäriseras dels av att kunna upptäcka, känna igen och formulera olika slags matematiska problem, dels av att på flera olika sätt kunna lösa såväl egna som andras problem. I det danska KOM-projektet 1 diskuteras skillnaden mellan problem och rutinuppgifter. Man menar att ett matematiskt problem är en speciell typ av matematisk frågeställning där någon slags matematisk undersökning är nödvändig för att problemet ska kunna besvaras. Ett problem är alltså en uppgift där det inte fungerar fullt ut att använda de standardmetoder som tidigare har lärts in. En rutinuppgift däremot kan lösas med standardmetoder och klassas därför inte som ett matematiskt problem. Att entydigt avgöra vad som är ett problem eller inte är svårt. Det som är ett problem för någon kan vara en rutinuppgift för någon annan. På samma sätt kan det som utgjort ett problem för någon i ett tidigare skede övergå till att bli en ren rutinuppgift. 1

2 Modelleringsförmåga Enkelt beskrivet kan modelleringsförmåga beskrivas som förmågan att kunna använda matematikens symbolspråk för att beskriva verkligheten och göra beräkningar av denna. Följande aspekter lyfts fram i KOM-projektet 1 som grundläggande för god modelleringsförmåga: Att kunna strukturera upp den uppgift/det problem som ska modelleras. Att kunna se vilken matematik som krävs. Att kunna lösa uppgiften/det matematiska problemet, samt att kunna validera den färdiga lösningen. Dessutom ingår i modelleringsförmågan att kunna analysera modellen kritiskt samt att kunna kommunicera den med andra. Ett exempel på ett sådant modellbygge skulle kunna vara Undersök hur grunden till ett hus kan se ut om arean på bottenplattan ska vara 110 m². Begreppsförmåga Denna förmåga består dels i att kunna avkoda och definiera matematiskt symbol- och formelspråk, dels i att kunna översätta det matematiska symbolspråket till vardagligt språk. Att inneha begreppsförmåga innebär alltså att kunna förstå och analysera matematiska begrepp, som t.ex. area, omkrets och radie, likväl som att ha förmågan att se hur olika matematiska begrepp hänger samman. Procedurförmåga En elev som har förmåga att välja och använda lämpliga metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter har procedurförmåga. Detta innebär att han/hon effektivt kan utföra beräkningar på flera olika sätt, t.ex. genom att använda sig av skriftlig huvudräkning, en standardalgoritm (uppställning) eller av en miniräknare. Förmågan innebär alltså att man behärskar ett antal standardprocedurer men också att man har förmåga att kunna överslagsräkna och bedöma rimligheten i ett svar. Kommunikations- och resonemangsförmåga Att inneha kommunikationsförmåga innebär dels att kunna sätta sig in i och tolka andras skriftliga, muntliga och visuella utsagor (bilder) samt texter, dels att kunna uttrycka sig på olika sätt och på olika nivåer. En förutsättning för att kunna detta är att den matematiska terminologin behärskas fullt ut. Tätt sammankopplad med kommunikationsförmåga är resonemangsförmågan. Att inneha denna förmåga innebär att man kan följa och bedöma olika matematiska resonemang där 2

3 argumentation och olika förklaringar leder fram till ett rimligt svar och ett rimligt lösningsförfarande. Vidare krävs att man har förmåga att väga olika lösningar mot varandra. 1 Niss, M & Jensen, H red. (2002) Kompetencer och matematiklärande. Ideér og inspiration till udvikling af matematikundervisning i Danmark. Uddannelsesstyrelsens temahäfteserie nr Roskilde Universitet Golvet 3

4 Med utgångspunkt i bilderna på golvet kan man resonera kring: - Symmetri/asymmetri - Area - Omkrets - Förhållandet mellan area och omkrets - Konstansbegreppet Material: 16 kvadrater (10 10 cm) i papp, hälften svarta och hälften vita. 4

5 Aktiviteter: Använd pappkvadraterna och låt eleverna lägga dem så att det ser likadant ut som golvet på teaterscenen (bild 1). Låt eleverna beskriva golvet, hur ser det ut? Lyft till exempel fram att det består av kvadrater, att hälften av kvadraterna är svarta och hälften är vita, att varannan kvadrat är vit, varannan svart. Diskutera kvadraters egenskaper samt kvadratens relation till andra geometriska figurer. Samtala kring kongruensbegreppet (se nedan). Bild 5 visar kongruens, bild 6 visar både symmetri och kongruens. Låt eleverna lägga kvadraterna i olika mönster så att det bildar symmetrier/asymmetrier. Titta också på bilderna 3 och 4, vad är symmetriskt/asymmetriskt i dem? Låt eleverna undersöka areabegreppets konservation (se nedan). Undersök begreppet omkrets. Hur kan man lägga kvadraterna så att omkretsen blir så stor/ liten som möjligt. Problematisera kring förhållandet mellan area och omkrets. Titta på de båda bilderna 1 och 2, resonera kring att rutorna ser ut att ändra form beroende på varifrån man betraktar dem (konstansbegreppet, se nedan). Kongruens: Termen kongruens används för geometriska figurer som har samma storlek och form, men kan vara olika orienterade (både position och rotation). Areabegreppets konservation: Det är vanligt att elever tror att när man klipper isär och möblerar om bitarna i en figur så förändras storleken på arean. Konstansbegreppet: En viktig aspekt av rumsuppfattning är förmågan att känna igen former och figurer oavsett storlek, läge och riktning. Till exempel kan kvadraterna i golvet se ut som parallelltrapetser om man betraktar dem från sidan. 5

6 Rumsuppfattning - Lägesord 6

7 Med utgångspunkt i bilderna kan man resonera kring: - Lägesord. Exempel på begrepp som kan användas i övningen är på, ovanför, under, bredvid, mellan, framför, bakom osv. Aktivitet: Låt eleverna resonera kring hur kvinnan med alla bollarna och stavarna förhåller sig till varandra. 7

8 Rumsuppfattning - Triangeln Med utgångspunkt i bilden kan man resonera kring: - En triangels definition. Material: Olika slags trianglar i papp. Aktiviteter: Låt eleverna fundera över hur många trianglar det finns i figuren. Låt eleverna undersöka vilka andra geometriska figurer man kan bygga av rätvinkliga, likbenta, liksidiga, trubbiga och spetsiga trianglar. Triangel: Ordet triangel kommer från latinets triangulum som betyder trehörning dvs. månghörning med tre hörn. 8

9 Geometriska figurer 1 9

10 10

11 bilaga 1, bilaga 2 Med utgångspunkt i bilderna och figurerna på bilaga 1 kan man resonera kring: - Olika geometriska figurer och dess egenskaper. Aktiviteter: Samtala kring de olika bilderna: Leta geometriska figurer, hur ser de ut, vad heter de? Likheter, skillnader? Kopiera och klipp ut figurerna i bilaga 1 i två upplagor (förstora dem gärna), använd två olikfärgade plastfickor så att figurerna blir genomskinliga. Tag en figur av varje färg, samtala kring vad de heter och vilka egenskaper de har (hörn, sidor, vinklar, längder mm). Lägg de båda figurerna så att de överlappar varandra något (se nedanstående exempel). Vad heter den nya figuren man får? Tag terminologilistan (se bilaga 2) till hjälp för att lista ut vad den nya figuren heter. 11

12 Ovanstående övning är inspirerad av matematikspelet Gör barn som finns på nätet på följande adress: Geometriska figurer 2 Med utgångspunkt i bilden kan man resonera kring: - Olika geometriska figurer och dess egenskaper. Aktiviter: Låt eleverna beskriva hattens utseende. Låt eleverna undersöka hur ytan hos en oregelbunden geometrisk figur kan delas upp i nya kända geometriska figurer. Nedanstående bild är ett exempel på en bild man kan använda. 12

13 Utgå från ett A4-papper och vik det på olika sätt. Vilka geometriska figurer kan man hitta? Vinklar och vinkelsummor 13

14 Med utgångspunkt i bilderna kan man resonera kring: - Vinklar (räta, spetsiga, trubbiga, raka). - Vinkelsummor hos olika geometriska figurer. Material: Gradskivor, linjaler Aktiviter: Låt eleverna mäta vinklar i olika geometriska figurer. Låt eleverna upptäcka olika figurers vinkelsummor. Ett exempel på undersökande verksamhet är: Hur hänger vinkelsummorna samman med de olika geometriska figurernas egenskaper? (Till exempel kan man diskutera att en fyrhörning alltid har en vinkelsumma på 360º oavsett hur den ser ut). Koppla gärna denna övning till den undersökande övningen runt trianglar Radie Med utgångspunkt i bilderna kan man resonera kring: - Skillnaden mellan cirkelns radie och cirkelns diameter. - Radiens längd i relation till cirkelns area och omkrets. 14

15 - Att ett helt varv i en cirkel är 360º Material: Knappnål, tråd, penna, papper, passare, gradskiva och linjal. Aktiviteter Låt eleverna konstruera cirklar med hjälp av en knappnål (mittpunktsmarkering), tråd knuten runt knappnålen (utgör radie) och en penna (som fastspänd i tråden ritar cirkelns omkrets, periferi). Utveckla det undersökande arbetet så att eleverna med hjälp av passaren får konstruera olika cirklar med olika längder på radien. Ställ frågor som: Vad händer med cirkelns area och omkrets när längden på radien förändras (detta kan betraktas utifrån bilderna av cirkeln och behöver inte beräknas)? Låt eleverna markera radier i sina cirklar med start i mittpunkten så att cirkeln blir indelad i fyra lika stora cirkelsektorer (kvartscirklar). Ställ frågor som: Hur stor är varje del? Hur många grader har varje kvartscirkel? Om du lägger samman graderna hur många grader är det då tillsammans? Finns det flera geometriska figurer som har lika stor vinkelsumma som en cirkel osv. Låt eleverna resonera kring när två radier tillsammans utgör en diameter. Vilka förutsättningar måste finnas? Vilken vinkelsumma krävs? Ekvivalens - Likhetstecknet 15

16 Med utgångspunkt i bilderna kan man resonera kring: - Likhetstecknet Material: Till varje elevpar behövs två småhinkar att hålla i händerna, två skyltar med ett likhetstecken respektive ett ickelikamed-tecken ( ) på, samt ett antal bollar eller puttekulor. Aktivitet: Låt eleverna arbeta parvis. En av eleverna tar en hink i varje hand. Den andra eleven lägger ett antal kulor i ena hinken och talar om hur många han/hon lagt dit. Kan man visa det med kroppen på något sätt (jämför gungbrädan). Vilket tecken skall sitta på magen. Vad skall man göra för att kunna sätta dit likhetstecknet? Variera övningen genom att t.ex. lägga sju kulor i den ena hinken och 11 i den andra. Vad kan man göra för att det skall bli ekvivalens? (Tänk både addition och subtraktion). 16

17 Bråk Med utgångspunkt i bilderna kan man resonera kring: - Cirkeln som förklaringsmodell av bråk (särskilt då stambråk) som tal, som del av hel och som del av antal. - Täljarens och nämnarens innebörd. - Att eleven använder sig av radier och cirkelbågar när de konstruerar och visar bråk med hjälp av cirkelsektorer Material: Papp eller kartong, passare, gradskiva, linjal och färgpennor Aktiviter: Låt eleverna konstruera cirklar där de visar olika stambråk. Låt dem också mäta vinklarna och testa om vinkelsumman alltid är lika med 360º. Låt eleverna sedan placera in sina stambråk på en tallinje så att de tränar på att se bråk som tal med en speciell plats på tallinjen och inte bara som del av hel eller del av antal. Låt eleverna också träna på att uttala de olika bråken på ett korrekt sätt. Låt eleverna konstruera cirkelformade färgsnurror i papp där cirkeln delas in i sju lika stora delar där varje del sedan färgläggs i spektrumets olika färger (violett, mörkblått, ljusblått, grönt, gult, orange och rött). Gör ett hål i mittpunkten och stick i en penna. Snurra på pappskivan och studera vad som händer. Ställ frågor som: Hur stor del av hela cirkeln färglägger du med en färg? Utgör varje färg en del av ett antal eller en del av en hel? Kan varje färg symbolisera ett tal på tallinjen? 17

18 Siffror och tal Med utgångspunkt i bilderna kan man resonera kring: - Skillnaden mellan siffra och tal. - Att varje siffra skrivs (konstrueras) med hjälp av geometriska definitioner. - Att varje tal byggs med hjälp av siffror. Material: Penna, papper och sudd Aktiviter: Låt eleverna bygga olika tal med hjälp av siffror. Ställ frågor som: kan en siffra också vara ett tal, och omvänt, kan ett tal också vara en siffra? Låt eleverna träna på begrepp som sträcka, stråle och linje. Låt dem med hjälp av dessa begrepp muntligen beskriva hur de skriver olika siffror som kan bilda tal. Ställ frågor som: Går det att skriva talet tio med endast linjer? Kan du känna igen någon geometrisk figur i talet tio? Vilka siffror består talet tio av? Siffra eller tal eller både och!? När ett tal byggs upp använder vi oss av siffror på samma sätt som när vi bygger ord med hjälp av bokstäver. I vårt tiotalsystem använder vi oss av tio siffror (0,1,2,3,4,5,6,7,8 och 9) när vi bygger tal. Exempelvis kan vi bygga talet 143 med hjälp av siffrorna 1, 4 och 3. Samtidigt kan siffrorna 0-9 också vara tal. Precis på samma sätt kan enskilda bokstäver utgöra ord och exempel på detta är orden ö och å.. 18

19 19 Bilaga 1

20 Bilaga 2 Terminologi Punkt. Sträcka Rät linje Stråle Krökt kurva Sluten kurva Enkel Triangel Kvadrat 20

21 Rektangel Parallelltrapets Parallellogram Cirkel 21