MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

Transkript

1 MS-A0409 Gudkus i disket matematik Sammafattig, del I G. Gipebeg 1 Mägde och logik 2 Relatioe och fuktioe Aalto-uivesitetet 15 maj Kombiatoik etc. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I 15 maj / 20 G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I 15 maj / 20 Mägde Det eklaste sättet att beskiva e mägd ä att äka upp elemete i mägde, tex. A = {2, 4, 5, 8} och B = {4, 5, }. Ma skive x A om x ä ett elemet i A och x / A om x ite ä det, så att tex. 2 A, 375 B me 6 / A och 3 / B. Mägdea {2, 3, 2} och {3, 2} ä desamma eftesom de iehålle samma elemet och uppepiga och odige ite ha ågo betydelse. Ofta ages mägde som de elemet i e mägd A som ha e viss egeskap P, dvs. B = { x A : Px } dä Px fö vaje x A atige ä sat elle falskt. Tex. ä { x R : x 4 } mägde av alla eella tal som ä mide elle lika med 4. = {} ä de tomma mägde som ite ha åga elemet alls. A B = { x : x A elle x B } A B = { x : x A och x B } A \ B = { x : x A och x / B } A B om x B fö alla x A A c = Ω \ A ifall A Ω och det ä klat vad Ω ä. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I 15 maj / 20 Satslogik Om a och b ä satse elle påståede som ka vaa saa elle falska, me ite ågotig mitt emella, så gälle satse a & b ä sa då a och b ä saa, satse a b ä sa då a elle b ä sa och också då både a och b ä saa. satse!a ä sa då a ite ä sa, dvs. falsk. satse a b ä sa då!a b ä sa, dvs. då atige b ä sa elle a ä falsk. I matematisk logik aväds valige istället fö &, istället fö och istället fö! och a b ä e fökotig av a b & b a. Implikatioe Obsevea att implikatioe a b som logisk sats ite alltid motsvaa vad ma i dagligt tal mea med e implikatio, dvs. av a följe b eftesom a b ä sa då a ä falsk och de ite ödvädigtvis ha ågot med osakssambad att göa. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I 15 maj / 20

2 Pedikatlogik Pedikatlogike ä e utvidgig av satslogike så att ma föutom satse ha vaiable x, y,... och pedikat P, Q,... elle hu ma u vill betecka dem. Pedikate ha ett ädligt atal agumet, tex. Px, Qx, y, osv. och ett pedikat uta agumet ä e sats. Föutom de opeatioe!, &, och som fis i satslogike aväde pedikatlogike all- och existeskvatoea och som uttycke fö alla och det existea. Föutom pedikat ka ma också aväda fuktioe vas väde hö till det omåde som behadlas domai of discouse. E fuktio med oll agumet ä då e kostat. Fuktioe och kostate ka också uttyckas med hjälp av pedikat, me det bli lätt oödigt klumpigt. Opeatoodig Om ma ite vill aväda paetese, som atuligtvis ha högsta pioitet, ka ma utyttja att de logiska opeatoea valigtvis evalueas i följade odig: Föst!, seda och, seda & och och till sist. Peaos axiom och de atuliga tale Vi ha e kostat o det fösta talet, uspuglige 1, u ofta 0, e fuktio Sx successo, dvs. följade tal och ett pedikat Lx, y med två agumet som uttycke att x och y ä lika som hä skivs i fome x == y. De två fösta axiome ä P1 x!sx == o det fösta talet följe ite efte ågot tal P2 x ysx == Sy x == y om de följade tale ä lika ä tale lika Det tedje axiomet ä egetlige ett axiomschema elle oädligt måga axiom eftesom det skall gälla fö alla pedikat P: P3 Po & xpx PSx xpx iduktiospicipe Eftesom P3 egetlige säge vad som gälle fö alla pedikat, P ä det hä fåga om ada odiges pedikatkalkyl. Obsevea också att P3 säge att de atuliga tale ä pecis {o, So, SSo,...} och ite ågot mea. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I 15 maj / 20 G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I 15 maj / 20 Iduktiospicipe Om P ä ett påståede som fö alla 0 atige ä sat elle falskt så att P 0 ä sat Pk + 1 ä sat ifall Pk ä sat dvs. Pk Pk + 1 då k 0 så ä P sat fö alla 0. Katesisk podukt De katesiska podukte X Y av två mägde X och Y bestå av alla odade pa a, b elle [a, b] dä a X och b Y, dvs. X Y = { [a, b] : a X och b Y }. Det fis olika sätt att defiiea paet [a, b] edast med hjälp av mägdteoetiska beteckiga och ett ofta avät sätt ä att säga att [a, b] ä mägde {{a}, {a, b}}. Relatioe E elatio mella mägdea X och Y elle i X om Y = X ä e delmägd av de katesiska podukte X Y. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I 15 maj / 20 G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I 15 maj / 20

3 Vad ä e gaf? E gaf bestå av e mägd ode och e mägd båga mella odea, tex. såhä: 4 3 I e iktad gaf ha vaje båge e statpukt och e slutpukt, meda ma i e icke iktad gaf ite gö skillad mella stat och slutpukte. E iktad gaf ka ekelt beskivas som ett odat pa [V, E] V som vetex, E som edge dä V ä e mägd valigtvis ädlig och ite tom och E V V, dvs. E ä e elatio i V. E icke iktad gaf ka beskivas som ett odat pa [V, E] dä V ä e mägd ige valigtvis ädlig och ite tom och E { {a, b} : a V, b V }. E icke iktad gaf ka föstås? också beskivas som e iktad gaf dä elatioe E ä symmetisk, dvs. [a, b] E [b, a] E. Obsevea att med igedea av dessa defiitioe ka ma ha flea båga mella samma ode me og e båge få e od till samma od. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I 15 maj / Olika slag av elatioe i e mägd X E elatio W i mägde X ä eflexiv ifall [x, x] W fö alla x X. symmetisk ifall [x, y] W [y, x] W fö alla x och y X. tasitiv ifall [x, y] W & [y, z] W [x, z] W fö alla x, y och z X. e ekvivaleselatio om W ä eflexiv, symmetisk och tasitiv. atisymmetisk om [x, y] W & x y [y, x] / W fö alla x och y X. e patiell odig om de ä eflexiv, atisymmetisk och tasitiv. asymmetisk om [x, y] W [y, x] / W fö alla x och y X. total om [x, y] w [y, x] W fö alla x och y X. Ofta skiva ma xwy istället fö [x, y] W, tex. x < y istället fö [x, y] <. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I15 maj / 20 Fuktioe Om X och Y ä mägde så ä e fuktio f : X Y e elatio mella X och Y dvs. e delmägd i X Y så att fö vaje x X fis det ett y Y så att [x, y] f. om [x, y 1 ] f och [x, y 2 ] f så ä y 1 = y 2. Valigtvis skive ma elatioe så att [x, y] f om och edast om y = f x, äve om y = xf elle y = x.f kude vaa bätte om ma läse få väste till höge. Med ada od, e fuktio f få X till Y ä e egel som fö vaje x X ge som sva ett etydigt elemet y = f x i Y. Mägde { f : f ä e fuktio få X till Y } beteckas ofta med Y X. Ijektioe, sujektioe och bijektioe E fuktio f : X Y ä e ijektio om f x 1 = f x 2 x 1 = x 2 fö alla x 1, x 2 X. sujektio om det fö vaje y Y fis ett x X så att f x = y. bijektio om de ä e ijektio och e sujektio. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I15 maj / 20 Sammasatta och ivesa fuktioe Om f : X Y och g : Y Z ä två fuktioe så ä h = g f : X Z fuktioe hx = gf x. Om f : X Y, g : Y Z och h : Z W ä fuktioe så ä h g f = h g f så att dea fuktio ka skivas som h g f. Om f : X Y ä e fuktio så att det fis e fuktio g : Y X så att g f x = x och f gy = y fö alla x X och y Y så ä f iveteba, g ä dess ives och ma skive ofta g = f 1. E fuktio f : X Y ä iveteba om och edast om de ä e bijektio. Om f : X Y ä iveteba så ä f 1 1 = f. Obsevea att f 1 ite ä samma sak som fuktioe hx = f x 1 som föutsätte att ma i Y ka äka ivese, vilket ä fallet i R \ {0} me ite i Z. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I15 maj / 20

4 Odo elle Stoa O: f Og Om g ä e fuktio som ä defiiead fö alla tilläckligt stoa heltal så betyde f Og att f också ä defiiead fö alla tilläckligt stoa heltal och att det fis e kostat C och ett heltal 0 så att f C g, 0, Avädige av dea beteckig betyde också att ma ite ä speciellt itessead av, elle ite exakt vet, vad C och 0 ä. Ofta skive ma f = Og istället fö f Og, me om ma då istället fö O + O 2 O 2 skive O + O 2 = O 2 så måste ma ise att ma ite ka fökota bot O 2! Det ä iget speciellt med att fuktioea hä atas vaa defiieade baa fö edel heltal och att ma se vad som häde då. Tex. gälle också x 4 x 3 x 3 +x 2 Ox då x 0. Atalet elemet i e mägd Två mägde A och B ha samma atal elemet elle kadialitete A och B om det fis e bijektio A B. Mägde A ha fäe ä elle lika måga elemet som mägde B, dvs., A B, om det fis e ijektio A B. Mägde A ha fäe elemet ä mägde B, dvs., A < B, om det fis e ijektio A B me ige bijektio A B. Ifall A = {0, 1, 2,..., 1} så ä A =. E mägd A sägs vaa ädlig om det fis e bijektio A {0, 1, 2,..., 1} fö ågot heltal 0, dvs., om A =. Obs! Fö att dessa defiitioe skall vaa föuftiga måste ma visa att det fis e bijektio {0, 1, 2,..., 1} {0, 1, 2,..., m 1} om och edast om m = och att ifall det fis ijektioe A B och B A så fis det e bijektio A B. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I15 maj / 20 G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I15 maj / 20 Summeigsegel, ekel fom Om A och B ä två ädliga mägde så att A B = så ä A B = A + B. Av detta följe att om B A så ä A \ B = A B. Poduktegel, ekel fom Om A och B ä två ädliga mägde så ä A B = A B. Lådpicipe: Ekel me yttig! Ifall m 1 föemål placeas i 1 lådo så måste e låda iehålla mist m föemål! Vafö? Om det stösta atalet föemål som fis i ågo av lådoa ä k så ä k m så att k m och eftesom m defiieas som det mista heltal som ä m så måste vi ha k m. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I15 maj / 20 Summeigs elle iklusios-exklusiospicipe Om A och B ä två ädliga mägde så ä A B = A + B A B, och mea allmät föutsatt att alla mägde A j eda ä ädliga Ifall k j=1 A j = k 1 +1 =1 E allmä fom av poduktegel 1 j 1 <j 2 <...<j k i=1. A ji C = { x 1, x 2,..., x k : x 1 A 1, x 2 A 2,x1,..., x k A k,x1,...,x k 1 }, dä A 1 = 1, fo vaje x 1 A 1 gälle A 2,x1 = 2 och så vidae så att fö alla x 1 A 1, x 2 A 2,x1,..., x k 1 A k 1,x1,...,x k 2 gälle A j,x1,x 2,...,x j 1 = j, 1 j k, så ä C = k. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I15 maj / 20

5 Välj föemål u e mägd med föemål elle elemet Det fis åtmistoe två sätt skilja på olika situatioe: Odat val: Det ha betydelse vid vilket val föemålet väljs Ite odat val: Det ha ite ågo betydelse vid vilket val föemålet väljs. Ige uppepig: ett föemål ka väljas baa e gåg Uppepig möjlig: samma föemål ka väljas måga gåge. Atalet olika sätt på vilket detta ka göas bli däfö: Ige uppepig Uppepig möjlig Odat Ite odat m m! Hä ä = j j! m j!. Uppepig ka både tolkas så att ma välje ett föemål, otea vilket det ä, och sätte tillbaka det, och så att elemete i mägde ä de olika slag av föemål som ma ka välja. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I15 maj / 20 Plocka bolla u e låda elle sätta bolla i e låda? Ett aat sätt att se på situatioe dä ma välje föemål u e mägd med föemål med ett odat elle ite odat val, med uppepiga elle uta ä att täka på föemåle i mägde, ite som bolla i e låda, uta som lådo i vilka ma välje att placea ett föemål, tex. e boll, som i det odade fallet ka vaa umeade elle på aat sätt idetifiebaa och i det ite odade fallet idetiska. Ett val uta uppepiga iebä då att i vaje låda ka sättas högst e boll och ett val med uppepiga att flea bolla ka sättas i samma låda. I ett odat val ä det alltså ite odige som ä det viktiga, det avgöade att vale ä olika på ågot aat sätt ä blad vilka föemål det gös, dvs. bollaa som sätts i lådo ä ite idetiska. Om ma seda på ågo sätt oda de valda föemåle elle lådoa i det ite odade fallet ha ige betydelse. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I15 maj / 20 Atalet fuktioe A B Atag A = m och B =. Atalet fuktioe: A B is ä m och däfö ä det föuftigt att betecka mägde av fuktioe A B med B A. Obsevea att e fuktio ä ett odat val med uppepiga av m elemet u e mägd med elemet. Atalet ijektioe A B ä 1... m + 1 =! m! m. Vafö? Oda elemete i A och gö seda ett odat val uta uppepiga av m elemet u mägde B som ha elemet så att de bli vädea av fuktioe. Atalet sujektioe A B ä 1 m. =0 Vafö? Atalet sujektioe ä atalet fuktioe mius atalet fuktioe till e stikt delmägd av B och detta seae atal ka ma äka med hjälp av iklusios-exklusiospicipe vilket efte divese äkiga ge fomel ova. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I15 maj / 20 Multiomialtal = 1, 2,..., k! 1! 2!... k! = k. Om ma ha valt föemål med uppepiga få e mägd med k elemet så att ma ha tagit 1 av typ y 1, 2 av typ y 2 och så vidae, då ä 1, 2,..., k atalet sätt på vilka dessa föemål ka odas så att föemål av samma typ ite ka skiljas åt. Om A ä e mägd med elemet och B = {y 1,..., y k } ä e mägd med k elemet och 1, 2,..., k ä icke-egativa tal så att k = så då ä 1, 2,..., k atalet fuktioe f : A B så att { x A : f x = y j } = j. Om 0 och k 1 så ä x x k = k = j 0 1, 2,..., k x x k k. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i disket matematiksammafattig, del I15 maj / 20