Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Transkript

1 Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på Detta är vår skolas tolkning av dessa kriterier. Avsnitt Skriftliga kunskaper Mål/lokal tolkning visar sina tankar och förklaringar i skrift. Betygskriterier G VG MVG genomför matematiska resonemang använder matematiska termer och symboler som hör till området gör beräkningar som går att följa och förstå löser enklare typuppgifter använder grafritande miniräknare för att lösa problem deltager i skriftliga redovisningar och uppgifter genomför matematiska resonemang och beräkningar på ett korrekt sätt använder lämpliga matematiska termer och symboler som hör till området gör med säkerhet beräkningar som lätt går att följa och förstå inklusive figurer löser enklare uppgifter genom att delvis kombinera kunskaper och metoder från olika områden använder grafritande miniräknare för att lösa givna problemställningar deltager i skriftliga redovisningar och uppgifter använder kunskaper från olika delområden av matematiken genomför matematiska resonemang och beräkningar på ett korrekt sätt använder korrekta matematiska termer och symboler gör med säkerhet beräkningar som lätt går att följa och förstå inklusive tydliga och korrekta figurer löser uppgifter genom att kombinera kunskaper och metoder från flera områden använder grafritande miniräknare för att lösa nya problemställningar deltager i skriftliga redovisningar och uppgifter använder kunskaper från olika delområden av matematiken bedömer beräkningars och slutsatsers rimlighet och giltighet

2 Muntliga kunskaper förklarar sina tankar och lösningar muntligt deltager aktivt på lektioner försöker att förklara sina teorier deltager på muntliga redovisningar och uppgifter deltager aktivt på lektioner förklarar sina teorier deltager på muntliga redovisningar och uppgifter deltager aktivt på lektioner och bidrar aktivt för att höja gruppens förståelse förklarar med säkerhet sina teorier och utvecklar desamma deltager på muntliga redovisningar och uppgifter Trigonometri använder enhetscirkeln för att definiera trigonometriska begrepp visar trigonometriska samband och ger lösningar till enkla trigonometriska samt utnyttjar dessa vid problemlösning beräknar sidor och vinklar i en godtycklig triangel härleder och använder de formler som behövs för att omforma enkla trigonometriska uttryck och lösa trigonometriska Enhetscirkeln har grundläggande förståelse för enhetscirkelns användning använder radianer och omvandlar mellan radianer och grader Trigonometriska satser och använder de grundläggande trigonometriska satserna, area-, sinus- och cosinussatsen löser fullständigt enklare gör enklare omformningar mellan trigonometriska uttryck Enhetscirkeln har förståelse för enhetscirkelns användning använder radianer och omvandlar mellan radianer och grader Trigonometriska satser och använder de grundläggande trigonometriska satserna, area-, sinus- och cosinussatsen och kan delvis kombinera dem. löser fullständigt, även sådana som kan kräva enklare omformningar gör omformningar mellan trigonometriska uttryck använder flera trigonometriska likheter och formler Enhetscirkeln har förståelse för enhetscirkelns användning använder radianer och omvandlar mellan radianer och grader Trigonometriska satser och använder de grundläggande trigonometriska satserna, area-, sinus- och cosinussatsen och kan kombinera dem och andra användbara satser löser fullständigt även de av sådan art att de kan kräva omformning gör omformningar mellan trigonometriska uttryck använder flera trigonometriska likheter och formler och kombinerar på nya problemformuleringar TG, TG, TG3, TG4, TG5 TVG, TVG, TVG3, TVG4, TVG5 TMVG, TMVG, TMVG3

3 Funktioner ritar grafer till trigonometriska funktioner samt använder dessa funktioner som modeller för verkliga periodiska förlopp förklarar deriveringsreglerna och kan själv i några fall härleda dem för trigonometriska funktioner, logaritmfunktioner, sammansatta funktioner, produkt och kvot av funktioner samt kan tillämpa dessa regler vid problemlösning förklarar innebörden av begreppet differentialekvation och ger exempel på några enkla differential och redovisar problemsituationer där de kan uppstå Trigonometriska funktioner förstår begreppen amplitud, period och förskjutning för enklare funktioner deriverar enkla trigonometriska funktioner och löser enkla problemställningar använder med visst stöd andraderivatan vid extremvärdesberäkning Andra funktioner deriverar enkla produkt- och kvotfunktioner deriverar enkla sammansatta funktioner deriverar enkla logaritm-, potens- och exponentialfunktioner bevisar lösningen av enkla differential verifierar en given lösning till en enkel differentialekvation Trigonometriska funktioner förstår begreppen amplitud, period och förskjutning för enklare funktioner deriverar trigonometriska funktioner och löser problemställningar som min- och maxproblem med dessa använder andraderivatan vid extremvärdesberäkning Andra funktioner deriverar produkt- och kvotfunktioner deriverar sammansatta funktioner deriverar logaritm-, potens- och exponentialfunktioner bevisar lösningen av differential undersöker om en given lösning till en differentialekvation satisfierar densamma Trigonometriska funktioner förstår begreppen amplitud, period och förskjutning för mer komplexa funktioner deriverar komplexa trigonometriska funktioner och löser mer avancerade problem med dessa använder och förstår andraderivatan för att verifiera min- och maxpunkter Andra funktioner deriverar mer komplexa produktoch kvotfunktioner deriverar mer komplexa sammansatta funktioner deriverar mer komplexa logaritm-, potens- och exponentialfunktioner bevisar lösningen av mer komplexa differential undersöker olika givna lösningar till en differentialekvation verifierar given lösning till en mer komplex differentialekvation förstår och redovisar problemsituationer innehållande differential FG, FG, FG3, FG4 FVG, FVG, FVG3, FVG4 FMVG, FMVG, FMVG3 3

4 Integraler förklarar innebörden av begreppet integral och klargör sambandet mellan integral och derivata ställer upp, tolkar och använder integraler i olika typer av grundläggande tillämpningar Primitiva funktioner tar fram samtliga primitiva funktioner för enkla funktioner förstår skillnaden mellan en primitiv funktion och samtliga primitiva funktioner Integraler ställer upp och beräknar enkla integraler tolkar enkla integralers betydelse beräknar enkla areor mellan kurvor Primitiva funktioner tar fram samtliga primitiva funktioner för olika funktioner förstår skillnaden mellan en primitiv funktion och samtliga primitiva funktioner beräknar primitiva funktioner med villkor Integraler ställer upp och beräknar integraler tolkar integralers betydelse använder integraler vid problemlösning beräknar areor mellan kurvor Primitiva funktioner tar fram samtliga primitiva funktioner för olika sorters funktioner förstår skillnaden mellan en primitiv funktion och samtliga primitiva funktioner beräknar svårare primitiva funktioner med villkor Integraler ställer upp och beräknar svårare integraler tolkar integralers betydelse i nya situationer och använder tolkningar vid problemlösning använder integraler vid problemlösning beräknar areor mellan kurvor med flera integrationsgränser IG, IG, IG3, IG4 IVG, IVG, IVG3, IVG4 IMVG, IMVG, IMVG3 4

5 Numeriska metoder förklarar och använder tankegången bakom någon metod för numerisk ekvationslösning (Newton- Raphsons metod) och integration kan vid problemlösning använda grafisk, numerisk eller symbolhanterande programvara. Numerisk ekvationslösning hittar enkla s rötter grafiskt eller med värdetabell använder Newton-Rhapsons metod för att lösa enkla Numerisk integration beräknar enklare areor med över- och undersummor, rektangel- eller trapetsmetod NG, NG Numerisk ekvationslösning hittar s rötter grafiskt eller med värdetabell beskriver vad en iteration är använder Newton-Rhapsons metod för att lösa beskriver enkelt hur Newton- Raphsons metod uppkommer Numerisk integration beräknar areor med över- och undersummor, rektangel- eller trapetsmetod NVG, NVG, NVG3 Numerisk ekvationslösning hittar svårare s rötter grafiskt eller med värdetabell beskriver och ger exempel på iteration använder Newton-Rhapsons metod för att lösa och problem härleder Newton-Raphsons metod Numerisk integration beräknar areor även mellan kurvor med lämplig numerisk metod NMVG Fördjupnings uppgift analyserar, genomför och redovisar under eget ansvar, muntligt och skriftligt, en något mer omfattande uppgift där kunskaper från olika områden av matematiken används Se ovanstående kriterier för skriftliga och muntliga kunskaper Se ovanstående kriterier för skriftliga och muntliga kunskaper Se ovanstående kriterier för skriftliga och muntliga kunskaper 5

6 Exempelsamling Ma 04 Trigonometri exempel på Nivå G: TG, TG, TG3, TG4 Nivå VG: TVG, TVG, TVG3, TVG4, TVG5 Nivå MVG: TMVG, TMVG, TMVG3 TG I figuren till höger har man ritat en halv enhetscirkel. Bestäm med hjälp av figuren a) sin v b) vinkeln v. Svara i hela grader. TG Beräkna arean av triangeln TG3 Bestäm de vinklar i intervallet 0 v 80 för vilka sin v = 06., Svara i hela grader. 5π TG4 Hur många grader är radianer? TG5 Kurvan i figuren är av typen y = Acos kx. Bestäm kurvans ekvation. TVG Bestäm det exakta värdet av den sammanlagda arean av trianglarna i figuren. TVG Punkten P i en enhetscirkel har koordinaterna (a, b). o o Rita av figuren. Markera vinklarna v +80 och v Uttryck med hjälp av punkten P:s koordinater sin v + 80 o a) ( ) b) cos( v + 70 o ) v P(a, b) TVG3 Bestäm det exakta värdet av sin v + cosv om tan v = 3 4 och 0 v 80. TVG4 Lös fullständigt ekvationen cos( x + 60 ) = 05, TVG5 Kurvan i figuren är av typen y B + A k( x + v) Bestäm kurvans ekvation. = sin. 6

7 TMVG Visa att ( + tan x) sin = + x + cosx TMVG Lös nedanstående problem. x π a) Bestäm perioden för kurvan y = 3sin. 3 b) Bestäm koordinaterna för de två första maximipunkterna som kurvan har för positiva x. Svara exakt. TMVG3 En cirkelsektor (se figur) har omkretsen 0 cm a) Bestäm vinkeln u (i radianer) så att sektorns area är så stor som möjligt. b) Beräkna den maximala arean. 5 c) Visa att < r < 5 π + Funktionslära exempel på Nivå G: FG, FG, FG3, FG4 Nivå VG: FVG, FVG, FVG3, FVG4 Nivå MVG: FMVG, FMVG, FMVG3 FG Derivera följande funktioner a) y( x) = 4sin 0, 5x b) g( x) = cos9x sin3x FG Funktionen = ( 5x ) Ange y = f (u) och u = g(x). FG3 Bestäm y då y = x x. y är av typen f ( g(x) ) y =. Inför beteckningen u = g(x). 5 x FG4 Visa att y = e + 4x är en lösning till differentialekvationen y 5y= 4 0 x. FVG Bestäm f ( ) 0 då f ( x) = ( x ) 4. FVG Derivera följande funktioner cos 9 a) y( x) = 3x 5 4 sin 0, 5x b) g( x) = x cos 3x 3 x x FVG3 Visa att y = 3 e xe är en lösning till differentialekvationen y y + y = 0. 7

8 FVG4 En viss tid på året varierar vattendjupet y meter vid en brygga med tidvattnet approximativt enligt π( t ) formeln y = + 4 sin, där t är tiden i timmar från midnatt. 6 a) Bestäm tidvattnets period. b) Vid vilken tidpunkt på dygnet har man maximalt djup? FMVG I figuren är grafen till en funktion av typen y = Asin( kx+ v) ritad. Förskjutningen måste bestämmas algebraiskt efter någon lämplig avläsning i figuren. Bestäm kurvans ekvation. FMVG Undersök om funktionen y = x ln x har några extrempunkter i sitt definitionsområde. FMVG3 En viss tid på året varierar vattendjupet y meter vid en brygga med tidvattnet approximativt enligt formeln π( t ) y = + 4sin, där t är tiden i timmar från midnatt. 6 Vilka tider på dygnet är botten nedanför bryggan torrlagd? Integraler och primitiva funktioner på Nivå G: IG, IG, IG3, IG4 Nivå VG: IVG, IVG, IVG3, IVG4 Nivå MVG: IMVG, IMVG, IMVG3 IG 5 4 Bestäm samtliga primitiva funktioner F( x) till f ( x) = 6x + 5x + 4x IG Om man släpper en sten från en högt belägen plats får stenen en hastighet v() t = 98, t m/s under de första sekunderna av fallet. Teckna med hjälp av beteckningen för integraler den sträcka som stenen faller under de första fem sekunderna. IG3 Beräkna integralen ( 03, x 0, x) dx IG4 I figuren är kurvan y = 9 x ritad. Beräkna arean av det område som kurvan begränsar tillsammans med x-axeln

9 IVG, Bestäm den primitiva funktion F( x) till f ( x) = 5sin 0, x 0e 0 som uppfyller villkoret F( 0) = 0 x IVG I figuren är en primitiv funktion y = F( x) till y = f ( x) ritad. Beräkna f ( x) dx. 6 6 IVG3 Bestäm konstanten a så att ( ax ) dx = 0 3 IVG4 Kurvan y = x 3x och x-axeln begränsar enligt figuren ett område. Bestäm arean av detta område. Exakt svar krävs för full poäng. 3 0 IMVG I figuren nedan är den primitiva funktionen y = F( x) till y = f ( x) ritad. Beräkna med hjälp av figuren f ( x) dx + f ( x) dx 0 IMVG En stenkula släpps en bit ovanför en vattenyta. Grafen nedan visar hur stenens hastighet v m/s varierar med tiden t sekunder från det ögonblick då den släpps. a) Beskriv vad som händer med stenkulan i A, B, C och D. b) Hur högt ovanför vattenytan släpptes stenen? c) Stenkulans hastighet v () t m/s i vattnet kan 3t beskrivas med funktionen v() t = + 8e. Bestäm vattendjupet där stenkulan släpps. Ge svaret i meter med två decimaler. v m/s A B C D t s IMVG3 Funktionen y = cos x approximeras med y = kx så att areorna enligt figurerna blir lika. Bestäm konstanten k. y y = c o s x y y = - k x x x 9

10 Numeriska metoder på Nivå G: NG, NG Nivå VG: NVG, NVG, NVG3 Nivå MVG: NMVG 3 NG Lös ekvationen x x 4 = 0 med hjälp av Newton-Raphsons metod. Använd x = som startvärde. Svara med tre korrekta decimaler. NG Figuren visar grafen till funktionen y = f ( x). 5 Beräkna värdet av integralen f ( x) dx med valfri metod. 3 NVG I figuren är kurvan y = 4x 6x 4 ritad. Bestäm med Newton-Raphsons metod ett närmevärde med tre decimalers noggrannhet för y = 0. NVG Beräkna med hjälp av valfri numerisk metod ett närmevärde på integralen x dx. Använd fem delintervall. 0 NVG3 Figuren visar kurvorna f(x) och g(x). Teckna en integral som beräknar arean som innesluts av kurvorna och x-axeln. Beräkna sedan ett rimligt värde på denna area g(x) f(x) NMVG Lös ekvationen e 0,5x = x 3-4x med Newton-Raphsons metod. Startvärden får tas fram grafiskt. Ditt svar skall innehålla tre korrekta decimaler och redovisning steg för steg för full poäng. 0