Lösningar/svar till tentamen i MTM119 Hydromekanik Datum:

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Lösningar/svar till tentamen i MTM119 Hydromekanik Datum:"

Per-Olof Åkesson
för 7 år sedan
Visningar:

1 Lösningar/svar till tentamen i MTM9 Hydromekanik Datum: Observera att lösningarna inte alltid är av tentamenslösningskvalitet. De skulle inte ge full poäng vid tentamen. Motiveringar kan saknas eller vara bristfälliga. De är också i vissa fall för kompakt skrivna. Detta för att spara kopieringskostnad. Uppgift Horisontell kraft ges av F x = p cv A v där V står för projektion på vertikal yta. p cv är trycket i centroiden för den vertikala ytan. Vertikal kraft ges av F B = ρgv 0 där V 0 är undanträngd vätskevolym. Här är den vertikala ytan en rektangel med area A v = RL. Centroiden är på djupet h + R. Trycket i centroiden är p cv = ρg h + R Horisontella kraften är F x = ρg h + R RL Den undanträngda vätskevolymen är här volymen ovanför luckan V 0 = (h+ RRL πr L = RL h + R π ( ( ( ( vilket ger den vertikala kraften F B = ρgrl h + R π Resultat: Horisontell kraft är ρg h + R RL. Riktad åt höger i figuren. ( ( Vertikal kraft är ρgrl h + R π. Riktad nedåt.

2 Uppgift Känt: D =5cm; D = 5cm; z z = 0cm ; Δh =0cm, ρ h0=998kg/m 3, ρ hg=3 590kg/m 3 Sökt: Volymflödet = Q p Bernoullis ekvation ger + V ρ H 0 + gz = p + V ρ H 0 + gz ( Tryckskillnaden mäts av manometern. Samma tryck vid den undre kvicksilverytan. På den del där vi har lika vattenpelare så tar bidragen till trycken ut varandra och behöver inte tas med i beräkningarna p + ρ H 0 g(δh + z z = p + ρ Hg gδh ( Kontinuitetsekvationen ger Q=VA V=Q/A, Här är A=πD / alltså V = Q (3 πd Lös ut tryckskillnader ur ekvation ( och ( p p = (ρ Hg ρ H 0 gδh ρ H 0 g(z z och p p = ρ (V H 0 V + ρ H 0 g(z z Detta ger ρ (V H 0 V + ρ H 0 g(z z = (ρ Hg ρ H 0 gδh ρ H 0 g(z z Vilket kan förenklas till ρ (V H 0 V = (ρ Hg ρ H 0 gδh Använd (3 i uttrycket ovan ρ H 0 Q πd Q πd = (ρ ρ gδh Hg H 0 Vilket kan förenklas ρ H 0 6Q π D D = (ρ ρ gδh Hg H 0 Lös ut Q ; Q = π gδh ρ Hg 8 ρ H 0 D D Numeriskt: Q = 9,83*0-3 m 3 /s = 9,83(dm 3 /s = 9,83liter/s Resultat: flödet är 9,8 liter/s Uppgift 3 När kulan når sluthastighet är den i jämvikt. Här försummas lyftkraften. Jämvikt ger F D mg = 0 Motståndskraften ges indirekt av diagrammet i uppgiften. Samband mellan F D och C D är C D = F D ρv A F D = C D ρv A Arean i formeln är tvärsnittsarea vinkelrät mot strömningen vilket här är A = πr = πd Sammanställning av formler ovan ger C D ρv 8mg πd mg = 0 C D = ρv πd

3 I grafen är C D ritad som funktion av Re, Reynolds tal. I formeln ovan ersätts V med Re. Reynolds tal är Re = ρvl där L är en viktig längd, här är diametern, D. Hastigheten, V, kan µ då skrivas V = µre ρd. Detta i uttrycket för C D ger C D = 8mg ρπd ρd µre = 8ρmg πµ Re Numeriskt: m= 5,9 0 6 kg. För luft vid 0 C gäller ρ=,76kg/m 3 och µ= 7, 0 6 Pa s vilket ger C D = 6,3 0 5 Re. C D Re,00E+0 6,00E+03 0,6,00E+03 0,6 Detta ritas i diagrammet nedan Skärning sker vid Re =, 0 3,vilket ger V = 7, 0 6, 0 3 =5,3m/ s,76 0,00 Resultat: Sluthastigheten är 5 m/s Uppgift a Hastighetsdiagram

4 b Effekten ges av P=Mω. Rörelsemängdsmomentlagen ger momentet; ΣM = m r ut V ut r Kontrollvolym med hastigheter och moment vy från sidan ( in V in vy uppifrån Intressanta komposanter är här r in V in RV j och r ut V ut RV cosα Rörelsemängdsmomentlagen ger här M = ρq RV cosα RV j ( M = ρq( RV j RV cosα ( Absoluthastigheten vid utloppet, V, ges av figuren i a. V cosα = Rω V rel cos(π β = Rω + V rel cosβ ( V rel är hastigheten relativt skovelbladet. Då strömningen är stationär och förlustfri kan Bernoullis ekvation användas. Då tryck (atmosfärstryck och z-koordinat är lika vid in- och utlopp ger Bernoullis ekv. att V rel = V rel,ut = V rel,in = V j Rω (3 (3 i ( i( ger M = ρq RV j R Rω + ( V j Rωcosβ ( ( cosβ vilket ger effekten P = ρqωr V j Rω ( ( = ρqr V j Rω ( ( cosβ v.s.v c Effekten kan skrivas P = Cω( V j Rω. Effekten har max då dp/dω=0. Derivering ger dp dω = C ( V j Rω + Cω( R = 0 V j Rω = 0 ω = V j R = V j D v.s.v. Uppgift 5 Vi söker skärning mellan pumpkurva given in figuren, H pump, och systemkurvan H system Start mekaniska energiekvationen w t w f = α V + p ρ + gz på höjdform fås w t g w f g = α V g + p ρg + z där H pump = w t g och H system = α V g + p ρg + z + h f (3 ( (

5 Här är p = p, V = 0, kalla V = V. Antag turbulent strömning, vilket ger α =. Detta ger H system = z z + V g + h f med h f = V g f L fås D ( H system = z z + V g + V g f L D = z z + V g + f L D (5 Kontinuitetsekvationen ger Q =VA = VπD V = Q πd (6 (6 i (5 ger H system = z z + Q L g πd + f D Friktionsfaktorn f beror av Reynolds tal, Re, som ges av Re = ρvd. Här är lämpligt med Re µ som en funktion av flödet Q; Re = ρd Q µ πd = Q νπd Siffror: z z = 5,0m. L=50m, D=5,0cm.För vatten vid 0 C är ν =, m / s. 8 Här fås systemkurvan H system = π 0,05 + f 50 Q = 5+3( + f 000Q 0,05 och Re = Q νπd =, π 0,05 Q =,95 07 Q Q Re f H 0,000 0,00E+00 5,00 0,005 9,73E+0 0,08,8 0,00,95E+05 0,05 6,5 0,0,3E+05 0,05 35,6 0,03,53E+05 0,05 0,75 0,05,9E+05 0,0 9,6 Då Re>0 5 i intressant område har f bestämts med diagram. Ritas i figuren nedan. Skärning med pumpkurvan ger Q=0,0m 3 /s b som tidigare men D=0,0m Re = Q νπd =, π 0,0 Q = 9,75 06 Q H syst = 5,0+86( + f 500Q Q Re f H 0,000 0,00E+00 5,00 0,005,88E+0 0,0 5, 0,00 9,75E+0 0,08 5,83 0,05,6E+05 0,05 6,58 0,00,95E+05 0,05 7,8 0,05,E+05 0,0 9,3 0,030,93E+05 0,0 0,95

6 Ritas i figuren nedan. Skärning med pumpkurvan ger Q=0,07m 3 /s Resultat: a Q=0,0m 3 /s b Q=0,07m 3 /s

Relevanta dokument

Lösningar/svar till tentamen i F0031T Hydromekanik Datum:

Lösningar/svar till tentamen i F003T Hydromekanik Datum: 00-06-04 Observera att lösningarna inte alltid är av tentamenslösningskvalitet. De skulle inte ge full poäng vid tentamen. Motiveringar kan saknas