Växelström K O M P E N D I U M 2 ELEKTRO

Transkript

1 MEÅ NIVERSITET Tillämpad fysik och elektronik Sverker Johansson Johan Pålsson Rev.0 Växelström K O M P E N D I M ELEKTRO INNEHÅLL. ALLMÄNT OM LIK- OCH VÄXELSPÄNNINGAR.... SAMBANDET MELLAN STRÖM OCH SPÄNNING FÖR KOMPONENTERNA R, C OCH L Sambandet mellan i och u för en ren resistans Visardiagram Sambandet mellan i och u för en ren kapacitans Sambandet mellan i och u för en ren induktans Sambandet mellan i och u för en verklig spole KOMPLEXA METODEN (jw-metoden) EXEMPEL MED LÖSNINGAR Exempel Exempel Exempel Exempel

2 . ALLMÄNT OM LIK- OCH VÄXELSPÄNNINGAR Den likspänning (DC-spänning, DC Direct Current) som man får från ett stabiliserat likspänningsaggregat är konstant. Figur visar hur en sådan likspänning ser ut grafiskt. Figur Likspänning från ett likspänningsaggregat En likspänning kan dock ändras med tiden. Allmänt gäller därför för en likspänning att dess storlek anges med tidsmedelvärdet, dvs DC T T 0 u ( t) dt För en halvvågslikriktad växelspänning får man då där T perioden u sin ωt 0 t T/ 0 T/ t T T T u T T ( t) dt sin ωt dt V DC DC π π 0 0 En voltmeter i läge DC visar alltid tidsmedelvärdet. En periodisk växelspänning är en spänning vars polaritet ändras med tiden. Figur visar några vanliga typer av växelspänningar, för en ren växelspänning är tidsmedelvärdet 0 V, dvs DC 0 V.

3 3 Figur Några vanliga typer av växelspänningar Växelspänningar (-strömmar) har i regel sinusform, dvs u sin ωt Om t 0 blir u 0 dvs den grafiska bilden blir Nu kan tiden räknas från vilket ögonblick som helst, varför det allmänna uttrycket blir sin (ωt + φ) där φ fasvinkeln u 0 då φ t ω u momentanvärde amplitudvärde ω vinkelfrekvens t tid φ fasvinkel f frekvens T period (V) (V) (rad/s) (s) (rad) (Hz) (s) volt volt radianer/sekund sekund radian hertz sekund ω πf f l/t Det allmänna uttrycket för en sinusspänning är alltså u sin(ωt + φ). För specialfallet att φ π/ får vi att u u sin(ωt + π/) cos ωt. Sinus- och cosinusfunktionerna är fasförskjutna π/ rad (90º), men är för övrigt identiskt lika. Både integralen och derivatan av en sinusfunktion har därmed samma utseende som sinusfunktionen, men de är båda fasförskjutna π/ rad i förhållande till sinusfunktionen. Hur stor är fasvinkeln mellan integralen och derivatan av en sinusfunktion?

4 För icke sinusformade växelspänningar kommer kurvformen att ändras vid både integrering och derivering. Storleken på en växelspänning anges i regel med effektivvärdet (RMS-värdet, -RMS Root Mean Square). 4 RMS T T 0 u ( t) dt För en sinusformad växelspänning u sin ωt gäller att RMS /v Instrument avsedda för mätningar av växelspänningar och växelströmmar är normalt graderade endast för sinusformade spänningar och strömmar. Om växelspänningen eller växelströmmen har en annan kurvform (t ex fyrkant) visar alltså dessa instrument fel. Ju mera kurvformen avviker ifrån sinusformen desto större blir felet. Ofta gäller (t ex i förstärkare) att man inte har en ren växelspänning. Man kan då tänka sig att den totala spänningen består av en ren växelspänning och en likspänning enligt Figur 3. Figur 3 Allmän periodisk spänning Även om en signal ofta består av en likspänning och en överlagrad växelspänning (enligt Figur 3), är det ofta så, att man endast är intresserad av växelspänningen. Enklaste sättet att plocka bort likspänningen är att använda en kondensator enligt Figur 4. Kondensatorn blockerar då likspänningen så att man på utgången får en ren växelspänning. Figur 4 En kondensator blockerar likspänningen Eftersom det är mycket vanligt, att man vid mätningar med oscilloskop på en allmän signal (växelspänning och likspänningskomposant) endast är intresserad av växelspänningen, finns det alltid en kondensator inbyggd i oscilloskopet. Med hjälp av en omkopplare, vanligen märkt AC/DC, kan man då koppla in resp, koppla ur den inbyggda kondensatorn som motsvarar kondensatorn C i Figur 4. Lägg märke till att om växelspänningarna E har samma amplitud i Figur 3och Figur 4, så kommer en voltmeter i läge AC att visa samma värde om man mäter ut i de två fallen. En voltmeter i läge AC mäter effektivvärdet enligt den formel som står på sidan 8. De värden på signalen u(t) som gäller, är de värden man får när man går utifrån signalens

5 5 noll-linje. I Figur 3 är signalens noll-linje E och i Figur 4 är noll-linjen jord. Detta påverkar alltså inte effektivvärdet. Om E har samma amplitud i de två fallen blir ändå effektivvärdet detsamma (se även laboration 8: Spänningsmätning).. SAMBANDET MELLAN STRÖM OCH SPÄNNING FÖR KOMPONENTERNA R, C OCH L. Vi skall nu undersöka hur de tre vanligaste komponenterna R, C och L uppträder i en växelströmskrets. Vad vi först och främst vill ta reda på är. Har ström och spänning samma utseende?. Vilket fasförhållande råder mellan i och u? 3. Hur kan man åskådliggöra fas- och storleksförhållandet mellan i och u?.. Sambandet mellan i och u för en ren resistans i I sin ωt u R i Ohms lag u R i R I sin ωt sin ωt där R I Både i och u är sinusformade och de ligger i fas med varandra dvs fasvinkeln φ 0. Figuren visar att i och u är i fas med varandra ty i och u antar värdet 0 vid samma tidpunkt och max- och minvärden vid samma tidpunkter. Ett enklare sätt att åskådliggöra fas- och storleksförhållandet mellan växelströmsstorheter är att använda visar- eller vektor-diagram.... Visardiagram. En storhet (i eller u) tas till riktfas och läggs oftast i x-axelns riktning. Riktfasen har fasvinkeln 0 ström riktfas. I samma riktning som riktfasen lägger vi nu en strömvisare, där visarens längd är ett mått på strömmens storlek. Om det är möjligt så ritar man skalenligt och man använder amplitud- eller effektivvärdesskala.

6 ström riktfas (amplitudskala) 6 3. Vi har redan konstaterat att för en ren resistans R så ligger i och u i fas med varandra. Alltså skall det inte vara någon fasvinkel mellan I och visarna I och -visarna har samma angreppspunkt. Sammanfattning ström riktfas (amplitudskala) För en ren resistans R gäller att ström och spänning ligger i fas med varandra, dvs fasvinkeln φ 0... Sambandet mellan i och u för en ren kapacitans Kondensatorns laddning betecknas q C Notera att C här betyder enheten coulomb Alltså blir dq i dt q C u q C u ger att u sin ωt i C du dt dq C dt du dt ωc cosωt I cosωt du dt ω cosωt där I ωc eller I ω C (Ohms lag) Vi kan välja riktfas själv och om vi liksom för den rena resistansen R vill ha strömmen som riktfas dvs i I sin ωt så är det bara att flytta origo. Detta är gjort i högra figuren ovan. Om i I sin ωt blir alltså u - I cos ωt ωc X c - kallas reaktans och är negativ för den rena kapacitansen C. Reaktansen har ωc enheten (Ω) dvs ohm. Ritar vi visardiagram får vi

7 ström riktfas 7 Sammanfattning För den rena kapacitansen C ligger strömmen 90 före spänningen. OBS! Fasvinklarna räknas positivt, moturs (se övningshäftet, kapitel 3)..3. Sambandet mellan i och u för en ren induktans Strömmen tas till riktfas dvs i I sin ωt En ren induktans är en ideal spole, dvs spolens resistans R 0 Ω. I spolen induceras en emk E L E L i L t emk R i (Σ betyder summa) Eftersom vi har en ideal spole dvs R 0 i kretsen blir Σ R i 0 och därmed blir också Σ emk 0. Går vi runt i kretsen ovan får vi då E + E L 0 eller u + E L 0 dvs Då i I sin ωt blir i ωi cosωt t i u L t i u L ωl I cos ωt cosωt där ωl I t i och u är alltså fasförskjutna 90. Reaktansen X L ωl är positiv (Reaktansen har fortfarande enheten Ω) Vid tiden t 0 har u nått sitt maxvärde och sedan dröjer det en stund innan i når sitt maxvärde. Alltså ligger u före i tidsmässigt. Sammanfattning För den rena induktansen L ligger strömmen 90 efter spänningen.

8 .3.. Sambandet mellan i och u för en verklig spole 8 Strömmen tas till riktfas dvs i I sin ωt u u R +u L i dvs u R i + L (enligt tidigare) t u R I sin ωt + ωl I cosωt () I en lämplig tabell kan man finna att följande samband gäller sin(a + B) sin A cos B + cos A sin B Om vi sätter A ωt och B φ får vi sin(ωt + φ) sin ωt cos φ + cos ωt sin φ () Vi jämför nu ekvation och. Dessutom sätter vi Z cos φ R Z sin φ ωl Det visar sig nu att vi kan skriva spänningen u som Z I sin (ωt + φ) sin (ωt + φ) Z är här spolens impedans som anges i (Ω). Impedansen Z:s storlek är tydligen beroende av både R och ωl. Ett visardiagram som visar ekvation (3) klargör detta samband. Impedansdiagram (3) Beloppstecknet anger att det är längden på vektorn eller visaren som anges. Ofta utelämnas dock tecknet då det i alla fall brukar framgå vad som menas. Längden på visaren är ett mått på storleken på den storhet som är utritad. Vi har alltså funnit att för en spole gäller att om blir i I sin ωt u sin(ωt + φ) Ström och spänning ligger alltså fasförskjutna φ rad och där φ 0 φ π/ om R 8 (spolen går mot en ren resistans) om R 0 (spolen går mot en ren induktans)

9 9 Visardiagrammet för spolen får man genom att kombinera diagrammen för den rena resistansen R och den rena induktansen L. Lägg märke till att visare eller vektorer får man parallellförflytta, dvs man får flytta dem bara man inte ändrar längd och riktning. Den sk vektorsumman av R och L ger spänningen över spolen R + L R I + ( ω L) I I R + ( ωl) I Z (Ohms lag) Fasvinkeln φ får man genom att ta tan φ L ωl I ωl tanφ R I R R En verklig spoles avvikelse från den ideala spolen anges med det sk Q-värdet (ibland även med förlustfaktorn d) Q /d och Q tan φ dvs Q ωl/r Lägg märke till att Q-värdet beror av frekvensen. När man anger en spoles Q-värde måste man därför också ange vid vilken frekvens detta Q-värde gäller. 3. KOMPLEXA METODEN (jw-metoden) Ett komplext tal z kan skrivas x realdel z x + j y där j y imaginärdel Det komplexa talet representeras av en punkt i det komplexa talplanet z komplexa talets belopp φ komplexa talets argumentvinkel r figuren får vi z x + y tanφ y / x x z cosφ y z sin φ jämför ekvation (3), sidan 8 Om vi jämför visardiagrammet ovan med de visardiagram vi sett tidigare får vi att vi skall använda följande uttryck Ren resistans R Z R + j 0

10 Ren induktans jωl Z 0 + jωl Ren kapacitans (/ ) -j/ωc Z 0 - j/ωc Om man använder komplexa metoden, kan man också använda samma räkneregler som vid beräkningar på likströmskretsar (Ohms och Kirchoffs lagar tex). Vid beräkningar med hjälp av komplexa metoden får man då ett slututtryck på formen A x + j y z x + y tanφ y / x eller A x j y z x + y tanφ y / x 0 4. EXEMPEL MED LÖSNINGAR 4.. Exempel Signalgeneratorn i kretsen nedan är en sinusgenerator. E och R är uppmätta med voltmeter, läge AC. a) Rita ett visardiagram (spänningsdiagram) skalenligt b) Beräkna spänningen över spolen, dvs spole. c) Beräkna fasvinkeln mellan I och E. E 0 V R 7 V R 700 Ω r 00 Ω E och är uppmätta med voltmeter. Detta innebär att de angivna värdena på E och R är effektivvärden. Vi beräknar strömmen I och spänningen r med hjälp av Ohms lag. I R /R I 0 ma (effektivvärde) r r I r l V (effektivvärde) I fortsättningen går vi fram i följande steg:. Vi tar E som riktfas. Vi får välja riktfas själva och i detta fall är det lämpligt att välja E som riktfas (se punkt nedan). Vi väljer en skala cm V, dvs E blir 0 cm lång (se figur nedan).. Vi ritar en halvcirkel med E som diameter. Detta är en hjälpkonstruktion. Det finurliga med detta är, att om man skriver in en triangel i en halvcirkel, blir periferivinkeln alltid 90, oavsett var triangelspetsen hamnar på cirkelbågen. Detta skall vi utnyttja under punkt 3 och 4 nedan.

11 3. Vi avsätter en korda som är R + r lång, dvs cm lång. Vi markerar R och r. Eftersom r och R båda ligger i fas med I (se sidan 5), kommer R och r att ligga i fas med varandra. 4. Vi ritar upp L. Vi vet att E summan av delspänningarna och att L ligger 90 före I (se sidan 7 och punkt ovan). 5. Vi konstruerar fram spole. 6. Vi mäter spole med linjal och fasvinkeln φ med gradskiva. Visardiagram Mätningar med linjal och gradskiva ger nu spole 6, V L 6,0 V φ 37 (I ligger 37 efter E) Notera L kan man inte mäta upp med en voltmeter. Däremot går det naturligtvis bra att mäta spole. Vi kan även beräkna L med hjälp av Pythagoras sats ( + ) eller E ( + ) E + R r L L R r L V På motsvarande sätt kan vi beräkna spole eftersom + spole r L Detta ger spole 6, V Vi kan även beräkna spolens Q-värde för den frekvens som gäller i detta exempel. Q tan φ L / r Detta ger Q 6 Slutligen kan vi kontrollera att mätningen av fasvinkeln φ blev rätt. tan φ L /( R + r ) dvs tan φ 6/8 0,75 φ 36,9

12 4.. Exempel Rita visardiagram (spänning- och impedansdiagram) skalenligt för kretsen nedan. E 60 V f 300 Hz R 00 Ω r 50 Ω L 00 mh Z R + r + jωl Z ( R + r ) + ( ω L ) ωl πf L ωl π Ω ωl 88 Ω Z Z 40 O I E / Z I 60/40 A I 0,5 A R I R R 0,5 00 V R 5 V tan φ ωl/(r+r) tan φ 88/50 φ 5,4 spole spole r 49 V + L Z 50 + j 88 Z spole 50 + j 88 Z 40 O Z spole 95 O 4.3. Exempel 3 Finns det någon frekvens hos E där AB 0 V? R kω C µf E 0 sin ωt AB A - B 0 gäller om man för det komplexa uttrycket för AB får att realdelen och imaginärdelen 0 var för sig. Vi söker uttryck för A och B.

13 Z Z A p B S A R E R + Z R R + R jωrc + p R E R + Z S R + B jωrc + B A jωrc + E jωrc + jωrc E 3 jωrc + jωrc + jωrc 0 E E 0 jωrc + 3 jωrc + (jωrc+)(3jωrc+) - jωrc (jωrc+) 0-3(ωRC) + jωrc + 3jωRC + +(ωrc) - 4jωRC 0 (ωrc) - 0 ωrc πfrc f /(πrc) Vid frekvensen f 60 Hz är AB 0 V (bryggan är i balans). f 60 Hz Exempel 4 Mellan punkterna A och B skall en impedans Z anslutas. Hos Z kan man välja resistans och reaktans var för sig på önskat sätt. Beräkna hur Z skall se ut för att man skall få maximal effektutveckling i Z. Hur stor blir denna effekt? R kω C µf f khz E 0 V (mätt med voltmeter i AC-läge) Vi gör om kretsen till en Thevenin ekvivalentkrets med avseende på polparet AB. Antag att Z th R - jx. Då kan man visa att maximal effekt utvecklas i Z om Z R + jx, dvs Z th Z och reaktanserna skall ta ut varandra. Z th R R + R R jωr C + ( jωrc ) + ( ωr C) ωr C πr C π ,3 Z th ( j6,3) j Z th 5 - j , Maximal effekt i Z om Z 5 - j 60 R 5 Ω och X L 60 Ω

14 Av det komplexa uttrycket för Z framgår att Z måste vara en induktiv last. X L ωl L X L /πf L 5 mh E E E th,6 V eff R + jωr C + E th E är mätt med voltmeter. Alltså är E 0 V eff. P Z (max) (E th /) /R P Z (max) 5 mw Svar Z skall utgöras av en spole med R 5 Ω och L 5 mh. Maximal effektutveckling i spolen är 5 mw. 4