Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Transkript

1 Tentamen MVE31 Sannolikhet, statistik och risk kl. 8:3-13:3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Olof Elias, telefon: Hjälpmedel: Valfri miniräknare. Två blad (dvs fyra sidor) handskrivna anteckningar. Tabeller finns längst bak på tentamenstesen. Denna tentamen utgör grunden för betygssättning. För betyg 3 krävs minst 18 poäng, för betyg 4 minst 27 poäng och för betyg 5 minst 36 poäng. 1. (6p) Från en normalfördelning med väntevärde och varians µ och σ 2 har det dragits ett stickprov: X = (.11,.72,.81,.26,.53, 1.83,.8,.36) (a) Gör ett symmetriskt konfidensintervall av konfidensgrad 9 % under antagandet att σ 2 är okänd. (b) Gör nu samma sak men antag nu att det är känt att σ 2 = 1. Lösning. Det här är standarduppgifter. För del (a) gäller att (X µ)/(s/ n) t n 1 och det symmetriska konfidensintervallet för µ blir då, eftersom n = 8, µx ± Ft 1 7 (.95) s =.125 ± I (b) använder vi istället att (X µ)/(σ/ n) N(, 1), så µx ± Φ 1 (.95) σ 8 =.125 ±.155. (Det kan vara lite överraskande att det blir ett kortare konfidensintervall med okänd varians, men konfidensintervall är själva slumpmässiga och i det här fallet råkade stickprovsvariansen bli mindre än 1 trots att den äkta variansen var 1.) 2. (a) (4p) För data (x k, Y k ), k = 1, 2, 3, 4 vill vi göra linjär regression enligt standardmodellen Y k = a + bx k + ɛ k, där ɛ k :na är oberoende och N(, σ 2 )-fördelade. De data vi fick var (2, 365), (4, 22), (6, 117) och (8, 34). Skatta regressionslinjen y = a + bx och gör ett 9% konfidensintervall för b. Kom ihåg att s 2 = 1 n 2 ( S yy S2 xy S xx (b) (2p) Antag att man gjort en linjär regression och fått den skattade regressionslinjen y = â +ˆbx för data (x k, y k ), k = 1,..., n, där x 1 < x 2 <... < x n. Sedan visar det sig att man läst fel på sista y-värdet och att y n istället skulle vara y n där y n > y n. Man får då den nya skattade regressionslinjen y = â + ˆb x. Visa att ˆb > ˆb. Lösning: (a) Vi behöver S xx, S xy och S yy. Några snabba uträkningar ger xk = 2, x 2 k = 12, y k = 736, y 2 k = 19647, x k y k = ).

2 Enligt standardformel fås S xy = x k y k 1 xk yk = och som specialfall av denna formel S xx = 2, S yy = Vi får då s 2 = 1 2 ( S yy S2 xy S xx ) = så s = Nu fås ˆb = S xy S xx = 5.48 Den skattade regressionslinjen är alltså Konfidensintervallet ges av â = y ˆbx = 1 4 ( y k ˆb x k ) = 458. y = x. b = ˆb ± Ft 1 s 2 (.95) = 5.48 ± 1.45 (9%). Sxx (b) Eftersom ˆb = S xy /S xx och S xx inte beror av y k :na handlar det om att visa att S xy är växande i y n. För detta är det tillräckligt att visa att S xy / y n >. Men så S xy y n S xy = (y k 1 n yj )(x k x) = 1 n (xk x) + (x n x) = x n x >. 3. (6p) Låt T vara en stokastisk variabel med täthetsfunktion f T (t) = C(1 t 2 ), t (, 1). Låt nu X = T 2 och Y = cos(πt ). Bestäm konstanten C, beräkna väntevärdena för X och Y och Cov(X, Y ). Lösning. Konstanten bestäms av att 1 C(1 t 2 )dt = C [ ] 1 t t3 = C = 1 vilket ger C = 3/2. Enligt den omedvetne statistikerns lag gäller 1 E[X] = E[T 2 ] = t 2 f(t)dt = 3 1 t 2 (1 t 2 )dt = 3 ( ) = och och därmed också E[Y ] = E[cos(πT )] = 3 2 E[XY ] = E[T 2 cos(πt )] = (1 t 2 ) cos(πt)dt = 3 π 2 t 2 (1 t 2 12 π2 ) cos(πt)dt = π 4 Cov(X, Y ) = E[XY ] E[X]E[Y ] = 3(12 π2 ) π 4 3 5π 2 = 12(15 π2 ) 5π 4.

3 4. (5p) I en hatt ligger tre mynt, mynt 1, 2 och 3, som är sådana att de vid slantsingling ger klave med sannolikhet 1/1, 1/2 respektive 1/3. Ett av mynten väljs på måfå och singlas n gånger och det visar sig att det inte blir någon klave alls. Bestäm den betingade sannolikheten givet detta, att det valda myntet var mynt i, i = 1, 2, 3. Lösning. Låt A i vara händelsen att mynt nummer i väljs, i = 1, 2, 3. Låt X vara antalet klave som de n slantsinglingarna resulterar i. Det som söks är P(A i X = ). Enligt Bayes formel är detta proportionellt mot P(X = A i )P(A i ) och eftersom P(A i ) i detta fall är densamma för alla i så blir detta i sin tur proportionellt mot P(X = A t ) i det här fallet. Nu är ju, eftersom sannolikheten att få klave för mynt i är 1/(1i), ( P(X = A i ) = 1 1 ) n ( ) 1i 1 n =. 1i 1i För i = 1, 2, 3 blir dessa (9/1) n, (19/2) n respektive ((29/3) n. För att slippa bråkuttryck kan vi om vi vill, skriv bråken i termer av sextiondelar och notera att dessa är proportionella mot 54 n, 57 n respektive 58 n. Alltså: och P(A 1 X = ) = 54 n 54 n + 57 n + 58 n, P(A 2 X = ) = P(A 3 X = ) = 58 n 54 n + 57 n + 58 n. 57 n 54 n + 57 n + 58 n 5. (6p) En ishockeymatch spelas i tre perioder om vardera 2 minuter. Antag att målen i period 1 för respektive lag kommer som oberoende Poissonprocesser med parametrar 2 mål per timme för hemmalaget och 3/2 mål per timme för bortalaget. I period 2 är motsvarande siffror 3 mål per timme respektive 5/2 mål per timme och i period 3 är siffrorna 5 mål per timme respektive 4 mål per timme. Vad är förväntat totalt antal mål i matchen? Vad är sannolikheten att det blir totalt 6 mål? Vad är den betingade sannolikheten att hemmalaget vinner givet att det blir 6 mål? (I en ishockeymatch blir det ibland förlängning för att utse en vinnare om resultatet är oavgjort vid full tid. Vi bortser från detta här och avser bara vad som sker under ordinarie tid.) Lösning. Antalet impulser i en Poissonprocess med intensitet λ i ett tidsintervall om längd t är Poissonfördelat med parameter λt. Låt H vara antalet mål som hemmalaget gör och B antalet mål som bortalaget gör. Etersom summor av oberoende Poissonfördelade stokastiska variabler är Poissonfördelad med en parameter som är summan av de ingående parametrarna och en period varar 1/3 timme, får vi ( ) ( ) H P oi = P oi 3 3 och på samma sätt att B P oi(8/3). Vi söker först E[H + B] som vi direkt ser att vara lika med 1/3 + 8/3 = 6. Härnäst räknar vi ut 6 66 P(H + B = 6) = e 6! = e Till sist P(H + B = 6, H > B) P(H > B H + B = 6) = P(H + B = 6) P(H = 6, B = ) + P(H = 5, B = 1) + P(H = 4, B = 2) = P(H + B = 6) = (1/3) 6 6!.453. (8/3)! + (1/3)5 5! 6 6 6! (8/3) 1! + (1/3)4 (8/3) 2 4! 2!

4 6. (5p) Låt X 1, X 2,..., X n vara ett stickprov på en stokastisk variabel med täthetsfunktion f θ (x) = 2 3 (x θ)2, x (θ 1, θ + 1), där θ en okänd parameter. Visa att ML-skattningen ˆθ av θ uppfyller n 1 =. x ˆθ Beräkna också ˆθ då n = 3 och observationerna var 1/4, 1/2 och 3/2. Lösning. Det gäller att i=1 L(θ) = L(θ; x 1,..., x n ) = ( ) 2 n n (x i θ) 2 3 i=1 då x i 1 < θ < x i + 1 för alla i och annars. Alltså är ˆθ det θ (max i x i 1, min i x i + 1) som maximerar det givna uttrycket. Det gäller att och att ta l (θ) = ger l(θ) = log L(θ) = n ln n i=1 ( ) x i θ = som önskat. I det givna specialfallet ska vi lösa vilket ger andragradsekvationen n ln x i θ i= = θ x 1 θ x 2 θ x 3 3θ 2 2(x 1 + x 2 + x 3 )θ + x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = med lösningar θ = x ± x (x 1x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) som med de givna siffrorna ger θ = 9 ± Den lösning som är aktuell är den som ligger i intervallet (1/2, 5/4), dvs vi får ˆθ = (5p) Betrakta en Bayesiansk modell där θ 1 och θ 2 är två paramatrer som àpriori väljs oberoende och båda enligt en β(2, 1)-fördelning. Låt sedan, givet θ 1 och θ 2, de stokastiska variablerna X = (X 1,... X n ) vara oberoende och sådana att P(X i = 1) = 1 P(X i = ) = θ 1 θ 2. Beräkna, sånär som på en proportionalitetskontant, àposterioritätheten f θ1,θ 2 X(t 1, t 2 x) för (θ 1, θ 2 ) givet ett utfall x = (x 1,..., x n ) sådant att n i=1 x i = k. Ange också MAP (ˆθ 1, ˆθ 2 ) av (θ 1, θ 2 ), dvs de värden av (t 1, t 2 ) som maximerar denna àposterioritäthet.

5 Lösning. Vi har f θ1,θ 2 X(t 1, t 2 x) f X θ1,θ 2 (x t 1, t 2 )f θ1,θ 2 (t 1, t 2 ) = (t 1 t 2 ) k (1 t 1 t 2 ) n k t 2 1t 2 2(1 t 1 )(1 t 2 ) = t k+2 1 t k+2 2 (1 t 1 )(1 t 2 )(1 t 1 t 2 ) n k. Av symmetrin mellan t 1 och t 2 förstår vi att maximum måste hittas då t 1 = t 2 =: t. Med den likheten blir högerledet Ta logaritmen, derivera och sätt till och få G(t) = t 2(k+2) (1 t) 2 (1 t 2 ) n k. (k + 2)(1 t 2 ) t(1 + t) (n k)t 2 =, som ger t = (k + 2)(n + 3). 2(n + 3) 8. (6p) Simulering av exponentialfördelning och Poissonfördelning utgående från likformig fördelning: (a) Låt X vara en stokastisk variabel som är likformigt fördelad på (, 1). Bestäm en funktion g sådan att g(x) är exponentialfördelad med parameter λ. (b) Låt T 1, T 2,... vara oberoende och exponentialfördelade med parameter 1. Bestäm en funktion h(t 1, T 2,...) sådan att h(t 1, T 2,...) är Poissonfördelad med parameter λ. Lösning. Eftersom X likf(, 1) gäller att F (x) = x, x (, 1). Om Y är en stokastisk variabel med fördelningsunktion F Y och F Y är inverterbar, gäller att P(F 1 Y (X) x) = P(X F Y (x)) = F Y (x), dvs F 1 Y (X) har samma fördelning som Y. I (a) tillämpar vi detta med Y exp(λ), dvs F Y (x) = 1 e λx. Genom att lösa ekvationen y = 1 e λx m.a.p. x får vi att (y) = ln(1 y)/λ. Denna funktion ger alltså ett svar till (a); vi kan ta F 1 Y g(x) = ln(1 x). λ För (b), kom ihåg att antal impulser i en Poissonprocess med intensitet 1 i tidsintervallet [, λ) är P oi(λ)-fördelad. Nu ges ju en Poissonprocess med intesitet 1 av att mellanrummen mellan impulser är oberoende och exponentialfördelade med intensitet 1. Med andra ord, om man skapar en process genom att låta impulser komma precis vid var och en av tidpunkterna T 1, T 1 + T 2, T 1 + T 2 + T 2 etc, får man en Poissonprocess med intensitet 1. Antalet impulser före tid λ blir då det största n sådant att T T n < λ. Ta alltså h(t 1, T 2,...) = max{n N : n T i < λ}. i=1 Lycka till! Johan Jonasson

6 Tabell 1: Values of the cdf Φ(x) of the standard normal distribution [e.g., Φ(1.41) =.921] x Tabell 2: Values of Φ(x) commonly used in confidence intervals and tests, and the corresponding x values Φ(x) x

7 Tabell 3: Percentiles of the t distribution with DF degrees of freedom [e.g., F t7 (1.89) =.95] DF DF , Tabell 4: Percentiles of the chi-square distribution with DF degrees of freedom [e.g., F χ 2 2 (1.85) =.5] DF DF

8 Tabell 5: Percentiles of the F distribution with r and s degrees of freedom [e.g., F F8,2 (2.45) =.95] 2.5 % percentile s r = % percentile s r =

9 97.5 % percentile s r = Tabell 6: Critical values c for the Wilcoxon signed rank test, where n is the sample size and C = n(n + 1) c [e.g., if n = 2, then P (W 61) = P (W 149).5] n.25.5 n(n + 1)/2 n.25.5 n(n + 1)/

10 Tabell 7: Critical values c for the Wilcoxon rank sum test, where m is the size of the smaller sample, and C = m(m + n + 1) c [e.g., if m = 4 and n = 8, then P (W 16) = P (W 36).5] n P (W c) m =