Statistiska Institutionen Gebrenegus Ghilagaber (docent)

Transkript

1 Statistiska Institutionen Gebrenegus Ghilagaber (docent) Lösningsförslag till skriftlig tentamen i FINANSIELL STATISTIK, grundnivå, 7,5 hp, VT09. Onsdagen 3 juni Sannolkhetslära Mobiltelefoner tillverkas av 3 fabriker, F 1, F 2, och F 3, i andel 35 : 45 : 20. Av produkterna i de tre fabrik är 2%, 4%, resp. 5% defekt. a) Vad är sannolikheten att ett slumpmässigt vald mobil är defekt? (6p) P (D) = P (D \ S) = P [D \ (F 1 [ F 2 [ F 3 )] = P [(D \ F 1 ) [ (D \ F 2 ) [ (D \ F 3 )] = P (D \ F 1 ) + P (D \ F 2 ) + P (D \ F 3 ) = P (F 1 ) P (DjF 1 ) + P (F 2 ) P (DjF 2 ) + P (F 3 ) P (DjF 3 ) = (0:35) (0:02) + (0:45) (0:04) + (0:20) (0:05) = 0:035 = 3:5 % b) Givet att ett slumpmässigt vald mobil är defekt, vad är sannolikheten att det är tillverkad av fabrik F 3? (4p) P (F 3 jd) = P (F 3 \ S) = P (F 3) P (DjF 3 ) P (D) P (D) (0:20) (0:05) = = 0:28571 = 28:57 % 0:035 1

2 2 Simultant sannolikhetsfördelning Värdet på akie kan gå upp eller ned (alltså inga möjlighet att värdet blir oförändrat) med olika sannolikheter beroende på hur konjukturen ser ut. Följänade tabell ger den simultana sannolikhetsfördelningen för konjuktur och aktiens "rörelse": Akiens "rörelse" Ekonomiskt läge Upp (U) Ner (N) Högkonjuktur (H) Stabil (S) 0.2 Y Lågkonjuktur (L) X 0.22 Summa Z 0.45 a) Beräkna värdena på X, Y, och Z (6p) Y = 0:45 0:22 0:03 = 0:20 Z = 1 0:45 = 0:55 X = 0:55 0:2 0:3 = 0:05 b) Vad är sannolikheten för uppgång givet att det är lågkonjuktur (4p) P (UjL) = = P (U \ L) X = P (L) X + 0:22 = 0:05 0:05 + 0:22 = 0:05 = 0:18519 = 18:52 % 0:27 3 Kontinuerligt sannolikhetsfördelning Ett företag tillverkar ett slags komponenter som har en genomsnittlig livslängd av månader och varians på 9 månader. Livslängdens fördelning kan godtagbart approximeras med en normalfördelning. a) Anta att = 15. Beräkna sannolikheten att ett slumpmäsigt valt 2

3 komponent har livslängd kortare än 12 månader (3p) T P (T < 12) = P < 3 3 = P (Z < 1) = 0:5 P ( 1 < Z < 0) = 0:5 P (0 < Z < 1) = 0:5 0:3413 = = 0:1587 = 15:87 % b) Anta att = 15. Beräkna sannolikheten att ett slumpmäsigt valt komponent har livslängd längre än 21 månader (3p) T P (T > 21) = P > 3 3 = P (Z > 2) = 0:5 P (0 < Z < 2) = 0:5 0:4472 = 0:0528 = 5:28 % c) Anta nu att är okänt. Beräkna om 10 % av komponenterna varar längre än 17 månader. (4p) T P (T > 17) = 0:10 =) P > 17 = 0: =) P Z > 17 = 0:10 3 From the table (of standard normal distribution) we know that P (Z > 1:28) = 0:10: Thus, 17 3 = 1:28 =) = :28 = 13:16 4 Hypotesprövning Medelpris, ; på ett hotellrum i Stockholm påstås vara 800 SEK per natt. Ett stickprov på 25 hotellrum gav medelpris på 785 SEK och standardavvikelse på 37.5 SEK. 3

4 a) Testa påståendet på 5 % signi kansnivå (5p) H 0 : = 800 H 0 : 6= 800 n = 25; = 0:05 =) t tab = t ( 2 ;n 1) = t (0:025;24) = 2:064; x = 785; s = 37:5 t cal = x 0 s= p n = :5= p 25 = 15 37:5=5 = 2:0 < t tab = 2:064 Do not reject H 0! The data does not provide evidence to reject the null hypotheses that the average hotel-price is 800 kronor per night. b) Beräkna ett 99 % -igt kon densintervall för populationsmeddelvärdet : (5p) s s 99 % CI för : = x t ( ;n 1) p ; x + t 2 n ( ;n 1) p 2 n = x t (0:005;24) p s ; x + t (0:005;24) s p n n = 785 2:797 p 37:5 ; :797 37:5 p Regression = (785 2:797 7:5; :797 7:5) = (764:02; 805:98) Med hjälp av 25 observationer skall man skatta parametrarna i den multipel linjära regressionsmodellen Y i = X 1i + 2 X 2i + i där 1,..., 25 är oberoende normalfördelade variabler med väntevärde 0 och standardavvikelse : En datakörning gav följande tabeller av skattningar och variansanalys: 4

5 Skattningar Parameter Estimate StDev t-value a b c Variansanalys Källa df SS MS F Regression d e f Fel g h Total i j a) Fyll i tabellerna ovan (d.v.s., beräkna a; b; c; d; e; f; g; h; i, och j) (5p) a = 0:161 1:919 =: 4:8788; b = 0:033 0:637 = 3:0126; c = 0:186 1:065 = 0:19809; d = k = 2 e = 5:200 = 2:6; f = 2:6 2 49:798 = 0:0522 g = n k 1 = = 22; h = 22 49:798 = 1095:6 i = n 1 = 25 1 = 24; j = 5: :6 = 1100:8 b) Testa om 1 och 2 är signi kant skilda från noll på 1% signi ansnivå (3p) t 1 = 0:637 t 2 = 1:065 are both less than the tabulated value t (0:005;22) = 2:819 indicating both 1 and 2 are insigni cant. c) Hur stor andel av variationen i Y förklaras av X 1 och X 2? (2p) R 2 = SS R SS T = 5:3 1100:8 = 0: = 0:48 % implying the linear regression model explains nothing at all. 5

6 6 Tidsserie Följände tabell ger de antal bilar (Y t ) som ett bila är har sålt under 10 på varandra följande månader (t): Månad (t) Antal bilar (Y t ) a) Utjämna tidsserien med enkel exponensiell metod. Använd = 0:1 och låt startvärden (S 0 = Y 0 ) vara 20. (4p) so that S t = Y t + (1 ) S t 1 = 0:1 Y t + (1 0:1) S t 1 S 1 = 0:1 Y 1 + (1 0:1) S 0 = 0: (1 0:1) 20 = 20:3 S 2 = 0:1 Y 2 + (1 0:1) S 1 = 0: (1 0:1) 20:3 = 22:27 S 3 = 0:1 Y 3 + (1 0:1) S 2 = 0: (1 0:1) 22:27 = 22:543 S 4 = 0:1 Y 4 + (1 0:1) S 3 = 0: (1 0:1) 22:543 = 22:989 S 5 = 0:1 Y 5 + (1 0:1) S 4 = 0: (1 0:1) 22:989 = 23:89 S 6 = 0:1 Y 6 + (1 0:1) S 5 = 0: (1 0:1) 23:89 = 26:301 S 7 = 0:1 Y 7 + (1 0:1) S 6 = 0: (1 0:1) 26:301 = 26:971 6

7 S 8 = 0:1 Y 8 + (1 0:1) S 7 = 0: (1 0:1) 26:971 = 27:974 S 9 = 0:1 Y 9 + (1 0:1) S 8 = 0: (1 0:1) 27:974 = 28:877 S 10 = 0:1 Y 10 + (1 0:1) S 9 = 0: (1 0:1) 28:877 = 30:989 b) Hur många bilar förväntas bila ären sälja vid månad 12 enligt resultatet (2p) by 12 (10) = b Y 10+2 (10) = S 10 = 30:989 = 31 bilar c) Beräkna MAD (Mean Absolute Deviation), 1 n by t och kommentera hur bra utjämningen är MAD = 1 n nx je t j, där e t = Y t t=1 (4p) nx je t j = 1 (j23 20:3j + j40 22:27j + ::: + j50 30:989j) 10 t=1 = 1 (98:896) = 9: which is relatively large - indicating poor smoothing. 7