1 Dimensionsanalys och π-satsen.

Transkript

1 Dimensionsanalys och π-satsen. Då man örsöker ställa upp en matematisk modell ör något ysikaliskt enomen skall man alltid göra dimensionsanalys. Dimensionsanalys handlar om att undersöka hur givna ysikaliska parametrar skalar i örhållande till varandra. En skalning med en aktor λ R ges av operationen R x λx R () Vi börjar med att diskutera begreppet ysikalisk dimension. I mekaniken utgår man irån ett antal oberoende grundstorheter. Dessa grundstorheter deinieras genom att man konkret anger hur de skall mätas, och att de är oberoende betyder då löst uttryckt att de kan mätas oberoende av varandra. Grundstorheterna i mekaniken är längd vars dimension betecknas L, tid vars dimension betecknas T samt massa vars dimension betecknas M. Begreppet ysikalisk dimension kan man se som en slags sortbeteckning, där det är möjligt att jämöra ysikaliska parametrar, eller mätvärden, vilka är av samma sort. För att kunna göra mätningar (vilka ju alltid bygger på jämörelser), deinierar man grundenheter ör de ysikaliska grundstorheterna, Metern ör längdmätningar, Sekunden ör tidmätningar samt Kilogrammet ör att mäta massa. Då vi har valt en grundenhet ör längdmätning, exempelvis metern, kan vi uttrycka varje annan längd som en (positiv) reell multipel, l, av denna grundenhet. Grundenheterna kan givetvis väljas på oändligt många olika sätt. Vi kan bestämma oss ör att mäta längd i ot, meter, stadion eller någon annan längdenhet. Vi kan transormera rån mätningar, (l), i en längdenhet till en annan genom skalning. Exempelvis skalar vi om rån ot till stadion genom l l 600 () Utirån våra ysikaliska grundstorheter deinierar vi s.k. härledda storheter. Härledda storheter deinieras också med hjälp av konkreta beskrivningar av hur man mäter dem. Ett exempel är storheten hastighet. Hastighet deinieras med hjälp av grundstorheterna längd och tid och är ett mått på hur många längdenheter någonting örlyttar sig per tidsenhet. (Hastighet har också en riktning till skillnad rån begreppet art.) Hastighetens ysikaliska dimension, V, blir då längd genom tid, V LT. Detta inses genom öljande skalningsbetraktelse. Antag att vi valt grundenheter ör storheterna längd och tid. Skalar vi om grundenheterna med aktorerna λ respektive λ, kommer våra längd och tidsmätningar att skalas om enligt l t λ l λ t (3) Detta medör, p.g.a. deinitionen av hastighet, att hastighetsmätningar, v, kommer att skalas enligt v λ λ v (4)

2 Vi säger att vi har sambandet V LT mellan storheterna. Andra härledda storheter i mekaniken är exempelvis krat vars dimension är massa gånger längd genom tid i kvadrat, MLT, eller area vars dimension är längd i kvadrat, L. Allmänt gäller att alla nya ysikaliska storheter kommer att å dimensioner bildade genom att orma produkter och ta reella potenser av de dimensioner vi redan har. Är de enda givna grundstorheterna längd (L), tid (T ) och massa (M), kommer alltså samtliga tänkbara ysikaliska dimensioner att ges av bildningar av typen L α T α M α 3, där α α α 3 är reella tal. Att de grundstorheter vi har valt är obereoende, betyder som sagt att de kan mätas oberoende av varandra, eller något mer precist uttryckt, att de kan skalas oberoende av varandra. Vad vi väljer som oberoende grundstorheter är godtyckligt. Istället ör att välja längd och tid, skulle vi kunna välja längd och hastighet. Att vi väljer längd och tid ramör längd och hastighet beror på att det är lättare att göra direkta mätningar av längd och tid. Inom ysiken örsöker vi att inna unktionella samband mellan olika mätbara storheter. Dessa unktionella samband måste, om de skall ha ysikalisk relevans, vara oberoende av hur vi har valt basenheter ör de ingående storheterna. De unktionella sambanden måste alltså vara vad vi kallar skalningsinvarianta. Denna skalningsinvarians hos möjliga ysikaliskt relevanta unktionssamband är grunden ör dimensionsanalys. Låt oss illustrera genom att ge ett exempel. Galileo Galilei observerade i början av 600-talet att oljelamporna som svängde i vinddraget i kyrkorna i Pisa hade en periodisk svängningstid som var oberoende av deras maximala utslagsvinkel. Detta stämmer i själva verket bara någorlunda väl ör en matematisk pendel (en punktormig massa hängande i ett masslöst snöre) om den maximala utslagsvinkeln är relativt liten. I annat all kommer periodtiden att märkbart bero på utslagsvinklen. Analysen av en verklig ysisk pendel kan väsentligen återöras på analysen av en associerad matematisk pendel. Låt oss utgående irån Galileis observation ponera att uppmätt periodtid, t, ör en matematisk pendel endast beror av dess längd, l, dess massa, m, samt tyngdkratsaccelerationen, g, vilken har dimensionen LT. Om det inns ett ysikaliskt relevant unktionellt samband av typen t l m g (5) så måste det vara skalningsinvariant. Detta etersom Naturen inte bryr sig om i vilka grundenheter vi mäter. Antag alltså att vi skalar om grundenheterna enligt l t m Då kommer tyngdkratsaccelerationen att skalas enligt λ l λ t λ 3 m (6) g λ λ g (7)

3 Att (5) är skalningsinvariant betyder då att λ t λ l λ 3 m λ λ g ör alla λ λ λ 3 R 3 (8) Vi skall nu se vad detta ger ör restriktioner på vilka möjliga utseenden unktionen ovan kan ha. För att örenkla analysen av detta inör vi den dimensionslösa kvantiteten π t gl (9) Att kvantiteten π t gl är dimensionslös betyder att den inte örändras vid skalning av de ingående parametrarna. Detta inses också omedelbart etersom π vid skalning av grundstorheterna som ovan skalas enligt π λ λ λ λ π π (0) Ur (5) ås att t gl l m g () där vi har inört den nya unktionen l m g gl l m g. Om () skall gälla, och vara ett ysikaliskt relevant unktionssamband, så måste alltså uttrycket λ l λ 3 m λ λ g () i själva verket vara oberoende av λ λ λ 3 vara en konstant unktion (varör?). Vi sluter oss alltså till att t gl C t R 3. Detta innebär att måste Cg (3) l där C 0 är en konstant som inte kan bestämmas med dimensionsanalys. Vi har självallet inte bevisat att denna ormel, med en lämplig konstant C, gäller ör periodtiden ör en matematisk (eller en verklig ysisk) pendel. Vad vi däremot vet är nu att om det inns något ysikaliskt relevant unktionellt samband mellan periodtid, massa, pendellängd och tyndkratsacceleration så måste det vara av ormen (3). I detta exempel såg vi hur kunskapen om en dimensionslös kvantitet hjälpte oss att enkelt inna ett möjligt ysikaliskt samband mellan de givna ysikaliska storheterna. Vi skall nu ge ett recept på hur man i ett helt allmänt all kan inna samtliga dimensionslösa kvantiteter.. Tillämpning av Buckinghams π-teorem Låt oss anta att Z Z m står ör dimensionerna av ett antal oberoende basstorheter och att X X X n är dimensionerna ör ur dem härledda storheter. Etersom storheter i ysiken alltid har dimensioner vilka ås genom att multiplicera reella 3

4 multipler av grunddimensionerna med varandra gäller att samtliga dimensioner X i kan uttryckas som X i Z α i Zα i Z α mi m ; i n (4) Om vi nu har inört grundenheter ör mätning av grundstorheterna så kommer vi att kunna uttrycka mätningar av dessa grundstorheter som positiva mutltipler av grundenheterna d.v.s som positiva reella tal z z z m. Vid byte av grundenheter kommer dessa tal att ändras med skalaktorer z z z m λ z λ z λ m z m (5) Måttet x i, av en härledd storheten med dimensionen X i kommer, i överensstämmelse med (4), därvid att skalas enligt x i λ α i λα i λ α mi m x i (6) Vi skall nu örsöka inna samtliga dimensionslösa bildningar av typen Π X β X β X β n n (7) Att Π är dimensionslös betyder att måttet, π, av en storhet med dimensionen Π är skalningsinvariant (vid skalning av basstorheterna). Etersom ett sådant mått π, p.g.a. av ekvation (4) och ekvation (7), vid skalning av basstorheterna enligt ovan skalas enligt π n i λ α i λα i λ α mi β m i π (8) så kan vi sluta oss till att bildningen Π är dimensionslös om och endast om n i λ α i λα i λ α mi β m i ör alla Vi inör nu matrisen A λ λ λ m R m (9) α i j och noterar att (9) är ekvivalent med att Aβ 0 (0) där β β β β n T. Att bestämmma samtliga dimensionlösa bildningar av typen (7), vilket svarar mot att inna samtliga skalningsinvarianta kvantiteter bland de ysikaliska parametrarna, är alltså ekvivalent med att bestämma nollrummet till den ovan inörda matrisen A. Låt oss nu använda detta genom att titta på ett lite mer krävande exempel på dimensionsanalys. Antag att vi vill beräkna dragkraten,, vilken verkar på ett öremål nedsänkt i en strömmande vätska. 4

5 Vi gissar att dragkraten, vars dimension är LMT, endast beror av vätskans densitet, ρ, vars dimension är ML 3, vätskans strömningshastighet, v, vars dimension är LT, öremålets diameter, d, vars dimension är L, samt vätskans viskositet, µ, vars dimension är ML T. Om grundenheterna nu skalas enligt l t m så kommer sålunda våra mätningar att skalas enligt ρ v d µ λ l λ t λ 3 m () λ 3 λ 3ρ λ λ v λ d λ λ λ 3µ λ λ λ 3 () Vi inör nu matrisen A bildad enligt receptet ovan. Vi år sålunda A (3) Nollrummet till matrisen A, vilket bestäms genom att lösa ekvationen Aβ 0, genereras av basvektorerna u 0 och u 0 (4) Detta innebär att samtliga dimensionlösa kvantiteter uttryckta i ρ v d µ och kan skrivas uttryckta i grupperna π ρvd µ samt π ρv d (5) Buckinghams π-teorem (vilken kommer att bevisas i kursen Matematiska strukturer ) säger nu att varje skalningsinvariant unktionssamband av typen F ρ v d µ 0 (6) kan skrivas uttryckt i de dimensionslösa grupperna π och π. Slutsatsen är sålunda att om det inns något ysikaliskt relevant unktionssamband mellan de ysikalika kvantiteterna ρ v d µ och, så måste det vara av typen d.v.s. π G π (7) ρv d G ρvd µ (8) där G : R R är en okänd unktion vilken ej kan bestämmas med dimensionsanalys. 5