u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)

Transkript

1 ATM-Matematik Mikael Forsberg Flervariabelanalys mag Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på varje inlämnat blad. 1. Den här uppgiften handlar om funktionen v(x, y = (x + ye x+y. Beräkna vinkeln mellan gradienterna till v(x, y i punkterna (, och (1, 1.. Beräkna riktningsderivatan D M om 1 u av funktionen u = u(x, y, z = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o = (1, 1, 1 i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 = (, 3, 1 3. Beräkna volymen av det område som ligger nedanför planet z = 3 y och ovanför paraboloiden z = x + y. 4. Den här uppgiften handlar om en rektangel som är inskriven i en cirkel, se figur 1. Visa att den inskrivna rektangel som har maximal area är en kvadrat. Figure 1: Figur till uppgift 4 5. Beräkna flödet av vektorfältet F (x, y, z = (x, y, 3 ut från området som begränsas av paraboloiden z = x + y och planet z = 4.

2 6. Krökning κ för en parameterkurva r = r(t = (x(t, y(t, z(t kan beräknas enligt κ = r r r 3, där en eller två prickar ovanför indikerar en eller två tidsderivator. Beräkna krökningen för parameterkurvan r(t = (a cos t, a sin t, ht 7. Beräkna x och då x, y och z är kopplade via ekvationen ( y arccos = y + ln(xz z 8. Låt S vara den del av cylinderytan y + z = 16 som ligger i första oktanten och som ligger mellan planen x = och x = 5. Beräkna flödet av fältet F (x, y, z = (3z x, x, y riktat bort från x-axeln och genom ytan S.

3 Svar till tentamen i Flervariabelanalys,

4 Lösningar till tentamen i Flervariabelanalys, Vi beräknar gradienten till v: [ v v(x, y = x, v ] = [e x+y + (x + ye x+y, e x+y + (x + ye x+y ] = e x+y (x + y + 1[1, 1] Eftersom gradientvektorn pekar i riktningen [1, 1] oberoende av x och y (endast gradientvektorns belopp ändras, i de båda punkterna så är vektorerna i våra punkter parallella, dvs vinkeln mellan dem är noll. a = v(, = [1, 1], b = v(1, 1 = 3e [1, 1] Vinkeln mellan två vektorer kan även beräknas explicit mha skalärprodukten: a b = a b cos θ cos θ = a b a b = 6e 3e = 1 θ =. Riktningen vi ska derivera längs, ges av vektorn a = M o M 1 = M 1 M o = (, 3, 1 (1, 1, 1 = (1, 4,, a = 17. Gradienten för funktionen i punkten M o blir u Mo = [yz, xz, xy] Mo = [ 1, 1, 1] Riktningsderivatan för u i a s riktning får vi mha skalärprodukten mellan ovanstående gradientvektor och en enhetsvektor längs a: D u = D M a u = u Mo a [ 1, 1, 1] [1, 4, ] = = 3 om 1 a De två ytorna skär varandra: x + y = 3 y x + (y + 1 = 4 som är en cylinder med cirkulär tvärsnitt i xy-planet. Cirkelskivan x +(y+1 4 kan beskrivas som x-enkel: 4 (y + 1 < x < 4 (y + 1, 3 < y < 1 Detta ger att vår volym kan beräknas med trippelintegralen I = (y+1 4 (y+1 3 y x +y dzdydx = (y+1 4 (y+1 3 y x y dxdy = Vi integrerar ju över en cirkelskiva D med radie centrerad i (, 1. Om vi använder polära koordinater med centrum i denna punkt så får vi x = cos t och y = 1 + sin t. Vi får π I = 3 y x y dxdy = 4 x (y + 1 dxdy = 4 r = = 8π D D 4. Vi använder oss av Lagrange s multiplikatormetod. Vi ska maximera arean för rektangeln under förutsättningen att hörnen ligger på cirkeln. Vi ställer upp ett uttryck för arean. Om vi utgår från figuren så har vi att arean för den del som ligger i första kvadranten ges av xy och p.g.a. symmetri så får vi att totala arean är A(x, y = 4xy

5 Villkoret är att (x, y ska ligga på cirkeln, dvs att x + y = 1, eller uttryckt på på annat sätt: VI ställer nu upp Lagrange s funktion x + y 1 = L(x, y, λ = 4xy + λ(x + y 1 Gradienten till L(x, y, λ ska vara noll, dvs partialderivatorna ska vara noll: L x = 4y + xλ = L = 4x + yλ = L λ = x + y 1 = Löser vi ut λ ur de två första ekvationerna och sätter dem lika så får vi x y = y x y = x y = ±x Båda dessa möjligheter ger oss en kvadrat. Bivillkorsekvationen ger då x + y 1 = x 1 = x = ± 1 Dessa två värden på x och villkoret att y = ±x ger oss fyra möjligheter för punkten x, y: Se figur. (± 1, ± 1 Figure : Lösningspunkternas placering för uppgift Om vi betecknar ytan med S så ges flödet genom ytan av F nds, S där n är den utåtriktade normalen för ytan. Ytan S består av två delar: parabolytan bildar en skål och planet z = 4 ett lock som stänger in en volym T (se figur??. Eftersom ytan består av flera delar så kan direkt beräkning av flödet bli komplicerat. Situationen är dock lämplig för att använda sig av divergenssatsen som ger oss möjligheten att istället beräkna en trippelintegral av divergensen av fältet över 5

6 volymen som stängs in. Det är lätt att se att volymen är z-enkel och kan lätt uttryckas i cylindriska koordinater, vilket gör att denna integral borde vara lätt att ställa upp och lösa. Divergenssatsen ger F n ds = F dv Divergensen blir S F = = z begränsas nedåt av parabolytan z = x +y = r och uppåt av z = 4. Denna del ligger ovanför en cirkelskiva x + y < 4 i (x, y-planet och beskrivs i polära koordinater som att < r < och < θ < π, vilket ger att vår volym kan beskrivas som och gör att vi kan beräkna integralen enligt π F dv = 6. Här behöver vi först beräkna r och r: T = {(r, θ, z : r < z < 4, < r <, < θ < π} T 4 T r r dz dr dθ = = 16π r = ( a sin t, a cos t, h r = ( a cos t, a sin t, r = a + h Sedan beräknar vi kryssprodukten i j k r r = det a sin t a cos t h = [ah sin t, ah cos t, a ] a cos t a sin t Längden av kryssproduktsvektorn blir r r = a a + h Nu kan krökningen beräknas κ = r r r 3 = a a + h ( a + h = a 3 a + h 7. Vi börjar med att notera att derivatan till arccos t är 1 1 t. Vi betraktar likheten ( y arccos = y + ln(xz z }{{} =ln x+ln z som att z implicit definieras som funktion av x och y. Vi beräknar partialderivatorna x och mha implicit derivering av (1 1 1 ( y z y z Detta förenklas till [ y ] z y x z = 1 z y x x = 1 x + 1 z x 6 x = z z y x(y z y (1

7 En motsvarande implicit derivering m.a.p. y ger som förenklas till ( y z z y 1 z 1 1 ( y z 8. Ytans utåtriktade ytelement ges av ( 1 z y z = y + 1 z = y + 1 z y = z y z y + 1 y z y ˆNdS = 1 y (, y, zdxdy = (, z, 1dxdy 16 y Vi har nu att F ˆN xy = y 16 y Flödet genom ytan blir nu S F ˆNdS = = = 5 ( xy y dxdy = 16 y (x 16 y y 4 (4x + 8dx = 9 dx = 7