UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

Transkript

1 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel: Manuella skrivdon. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Varje korrekt löst uppgift ger högst poäng. För betygen 3,, krävs minst 18,, respektive 3 poäng. Påbörja varje uppgift på nytt papper och skriv endast på papperets ena sida. Lycka till! 1. Beräkna gränsvärdena (a) x x 3 x 3 x + 8x x 1 (b). x 1 x + 3 (c) x x 1 x + 1 x SVAR: (a). (b). (c). (a) Vi har (b) Vi har x 1 (c) Vi har x x 1 x + 3. Låt f(x) = x x. x 1 x + 1 x x x 3 x 3 x + 8x x 1 x + 8 x =. (x 1)( x ) x 1 ( x + 3 )( x ) x 1 ( x ) = + =. x 1 (x 1)( x ) (x + 3) (x 1) (x + 1) x x x + 1 x 1 x x x x x =. (a) Använd derivatans definition för att bestämma f (3). (b) Bestäm ekvationen för tangenten till grafen y = f(x) i punkten (3, 3).

2 SVAR: (a). (b) y = x + 9. (a) m h 3+h (3+h) 3 (3 + h) 3(h + 1) h h h(h + 1) h (b) I (3, 3): y 3 = (x 3) y = x + 9. h h(h + 1) = 3. Rita grafen y = f(x) till funktionen f(x) = x 3. Ange definitionsmängd samt eventuella x asymptoter och lokala extremvärden. Bestäm också de intervall på vilka funktionen f är konvex resp. konkav (Eng.: concave up resp. concave down). SVAR: Definitionsmängden är alla reella x utom x =. Lodräta asymptot: Linjen x =. Sned asymptot: y = x + då x ±. Lokala extrempunkter: maximum i (1, ), minimum i (3, 6). Funktionen f är konkav på intervallet (, ) och konvex på intervallet (, + ). Vi får f (x) = x(x ) (x 3)(1) (x 3)(x 1) (x ) = (x ) Alltså är f (x) = x = 1 eller x = 3. Teckenstudium x ( ) 1 3 ( ) f + - odef. + f ( ) odef. 6 ( ) Alltså är x = 1 ett lokalt max, x = 3 är ett lokalt min. Asymptoter: x = är vertikal asymptot och x 3 x x =, x 3 x + x = + Horisontella/sneda asymptoter: Vi har att x 3 x = x + x 3 x = x x, vilket ger att y = x + är sned asymptot då x ±. Om man beräknar andraderivatan, får man f (x) = (x )(x ) (x x + 3)(x ) (x ) = och teckenstudium av denna ger Grafen ser ut som följer (x ) 3. x 1 3 f odef. + + f konkav konkav odef. konvex 6 konvex

3 1 8 6 y 6 6 x Figur 1: Grafen till f.. Bestäm primitiva funktioner till: (a) x e x dx. (b) x + 3 x 3 x dx. SVAR: (a) (x x + )e x + C. (b) ln x ln x 1 3 ln x + C. (a) Vi bestämmer den primitiva funktionen till x e x med partiell integration: x e x dx = x e x xe x dx = x e x ( xe x ) e x dx = x e x (xe x e x ) + C = (x x + )e x + C. (b) Täljaren har lägre grad än nämnaren så vi skriver om integranden med partialbråksuppdelning: x + 3 x 3 x = x + 3 x(x 1)(x + 1) = a x + Vi multiplicerar båda leden med x 3 x och får x + 3 = a(x 1) + b(x + x) + c(x x) b x 1 + c x + 1. = ax a + bx + bx + cx cx = (a + b + c)x + (b c)x a, vilket ger ekvationerna a + b + c =, b c = 1, a = 3 som har lösning a = 3, b =, c = 1. Alltså är x + 3 x 3 x = 3 x + x x + 1 och integralen blir ( x x 3 x dx = x + x ) dx = 3 ln x + ln x 1 + ln x C. x + 1 3

4 . Låt f(x) = 3x3 x +. (a) Visa att funktionen f är injektiv (Eng.: one-to-one), och därför har en invers. (b) Bestäm (f 1 ) (). (Observera att f() =.) SVAR: (a) Se nedan. (b) (f 1 ) () = 3/1. Vi har f (x) = (x + )9x 3x 3 (x) (x + ) = 3x (x + 6) (x + ) Då f (x) > för alla x, undtagen x =, har f en invers. (b) Om y = f 1 (x), så är x = f(y) = 3y3 y +, och Så 1 = f (y) = (y + )9y y 3y 3 (yy ) (y + 3). y = (y + ) 3y + 18y. Då f() = och därmed f 1 () =, fås ( f 1 ) (y + ) () = 3y + 18y = 3 y= 1 6. Beräkna integralen 1 x arcsin (x) dx. SVAR: π/8. Vi partialintegrerar: U = arcsin x dx du = 1 x dv = x dx V = (1/)x. Då fås x arcsin x dx = 1 x arcsin x 1 x 1 x dx = 1 x arcsin x 1 sin θ dθ Låt x = sin θ, dx = cos θdθ = 1 x arcsin x 1 (θ sin θ cos θ) + C ( 1 = x 1 ) arcsin x + 1 x 1 x + C

5 Då arcsin 1 = π/, fås 1 x arcsin x dx = [( 1 x 1 ) arcsin x + 1 ] 1 x 1 x = π Ett begränsat område i planet inneslutes av kurvorna y = 8, y = x 3 och y-axeln. Detta område roteras runt y-axeln. Vilken volym får rotationskroppen? SVAR: Volymen blir 96π v.e. Vi bestämmer först punkterna där kurvorna möts. Den undre gränsen är x = och den övre gränsen fås då x 3 = 8 dvs x = 8 1/3 =. Först beräknar vi volymen som uppstår då vi roterar y =. Formeln för volymen av en cylinder ger V 1 = π 8 = π. Volymen som uppstår då vi roterar y = x 3 ges av Den sökta volymen blir så V = π [ x xx 3 dx = π ] = π = π6. V 1 V = π π6 = 16π 6π = 96 π v.e. 8. En låda utan lock skall tillverkas av plåt. Den skall ha volymen 36 dm 3, och den skall ha en rektangulär botten där längden är dubbelt så stor som bredden. Kostnaden att bygga lådan beror på arean av plåten som används. Bestäm de dimensioner av lådan (längd, bredd, höjd) som minimerar plåtens area. SVAR: Dimensionerna skall vara: Bredden = 3 dm, Längden = 6 dm, Höjden = dm. Låt bredden på lådan vara x. Då är längden x (enligt uppgift). Sätt höjden till y. Volymen av lådan är då V = (bredd) (längd) (höjd) = x x y = x y. Men volymen skall vara 36 dm 3 så y = 18/x. Arean av plåten som används är A = }{{} x + xy }{{} + xy }{{} = x + 6xy botten långsidorna kortsidorna och sätter vi in att y = 18/x får vi att A(x) = x + 18x 1. Derivatan blir då A (x) = x 18 x = x3 18 x = ( x 3 7 ) x.

6 Vi söker efter stationära punkter som fås då täljaren är noll dvs då x = 3. Att detta är en min-punkt ses om man gör en teckenstudium kring den punkten. Om x < 3 så är A (x) < och om x > 3 så är A (x) >, alltså har vi en minpunkt. Vi kan nu beräkna dimensionerna: Bredden = x = 3 dm, Längden = x = 6 dm, Höjden = 18 x = 18 9 = dm. 6