SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

Transkript

1 SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen utgörs av de tre första uppgifterna. Till antalet erhållna poäng från del A adderas dina bonuspoäng. Poängsumman på del A kan dock som högst bli poäng. Bonuspoängen beräknas automatiskt. Antal bonuspoäng framgår från resultatsidan. De tre följande uppgifterna utgör del B och de tre sista uppgifterna del C, som främst är till för de högre betygen. Betygsgränserna vid tentamen kommer att ges av Betyg A B C D E Fx Total poäng varav från del C För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt att följa. Det innebär speciellt att införda beteckningar ska definieras, att den logiska strukturen tydligt beskrivs i ord eller symboler och att resonemangen är väl motiverade och tydligt förklarade. Lösningar som allvarligt brister i dessa avseenden bedöms med högst två poäng. Var god vänd!

2 SF4 Algebra och geometri Tentamen 7 mars DEL A. Linjen L ges av x y = + t z och linjen L ges av x y = 4 + s 5 z (a) Bestäm i parameterform det plan Π som är parallellt med linjen L och innehåller linjen L. ( p) (b) Bestäm avståndet mellan linjerna L och L. ( p) a) Varje plan som har riktningsvektorn [ ] T till L som en av sina riktningsvektorer är parallellt med T. Därför är Π: x y = 4 + s 5 + t z en beskrivning av Π i parameterform. b) Punkten Q = [ ]T är på linjen L och punkten P = ( 4 )T är på linjen L. Då linjen L ligger i planet Π, följer det att avståndet mellan L och L är längden av vektorn proj n P Q - projektionen av P Q till normalvektorn n av planet Π. Normalvektorn ges av n = 5 =. 9 För att förenkla beräkningarna ska vi skala n och ta n = [ ] T.Vektorn P Q = 5. Av projektionsformeln har vi att proj n P Q = P Q n n n. Vi har att n = = 4, och att P Q n = = 4. Det följer nu att den sökta längden är n = 4.

3 . Vi har matrisen SF4 Algebra och geometri Tentamen 7 mars A = 4 5 (a) Bestäm alla egenvektorer till egenvärdena och. ( p) (b) Varför är matrisen A diagonaliserbar? ( p) a) Egenvektorerna tillhörande egenvärdet λ = ges som nollskillda vektorer i nollrummet till matrisen. Med andra ord planet som ges av ekvationen x + y =. Egenvektorerna är följaktligen t + s, för alla talpar (t, s) (, ). Egenvektorerna till egenvärdet λ = ges av nollrummet till matrisen. Vi kan stryka rad, och utför de vanliga radoperationerna. [ Detta ger att egenvektorerna är t [ ] T, med nollskillda tal t. b) Dimensionerna av egenrummen summerar till tre.. Den kvadratiska formen Q på R ges av Q( x) = x + x x + x. (a) Ange den symmetriska matris A som uppfyller Q( x) = x T A x. ( p) (b) Avgör om Q är positivt definit, negativt definit, positivt semidefinit, negativt semidefinit eller indefinit. ( p) a) Den kvadratiska formen Q( x) = x + x x + x kan skrivas som med den symmetriska matrisen A = x T A x,. ].

4 4 SF4 Algebra och geometri Tentamen 7 mars b) Egenvärderna till matrisen A ges som nollställen av λ det(λi A) = det = (λ ) λ 4. Vi löser ekvationen (λ ) 4 = och erhåller att λ = ±. Detta ger egenvärden och. Då alla egenvärdena är positiva, har vi att den kvadratiska formen är positivt definit.

5 SF4 Algebra och geometri Tentamen 7 mars 5 DEL B 4. Låt T A : R R vara den linjära avbildning som har standardmatris A =. (a) Låt L vara linjen som ges av x y =. Visa att T A avbildar L på en linje T A (L). ( p) (b) Hitta en linje L så att T A (L ) är en punkt. Ange ekvation för L. ( p) a) Matrisen A har rang och därför är bilden Range(T A ) en linje. Bilden T A (L) är antingen en enkel punkt eller denna linje. Vi måste utsluta att T A (L) är bara en punkt. Det räcker att betrakta punkterna P = 4 och Q = [ 7 ]. Båda punkterna ligger på L. Men 7 T A (P ) =, 4 medan T A (Q) = Därför består bilden av minst två punkter. b) Nollrummet till T A ges av matrisekvationen [ x =. ] y 4. 8 Detta ger ekvationen [ x + y =. Detta är en linje, och per definition skickas denna linje till punkten. ] 5. I R 4 har vi följande fyra vektorer u =, v =, w = och x = Vektorrummet V = Span( u, v, w). (a) Visa att β = { u, v} är en ortogonal bas för V. ( p) (b) Vi har basen γ = { v, w} för V. Bestäm koordinatvektorn till Proj V ( x) i basen γ. ( p)

6 SF4 Algebra och geometri Tentamen 7 mars a) Vektorerna u och v är ortogonala då u v =, och följdaktligen är de linjärt oberoende. Vi har vidare att w = = u + v, 5 och det följer nu att β = { u, v} är en ortogonal bas för vektorrummet V. b) Vi har att u = och att v = 7. Vi har därmed att { u, v 7 } är en ortonormal bas för V. Detta ger att proj V ( x) = u x u v x + 7 v u x v x = u v. Vi har att u x = + =, och att v x = =. Detta ger att proj V ( x) = u + 7 v. Tidigare har vi räknat ut att w = u + v, vilket ger att u = v w. Insätter vi detta i vårt uttryck för proj V ( x) erhåller vi att proj V ( x) = ( v w) v = 7 4 v w. [ 5 ] Koordinatvektorn i den sökta basen blir då 4.. Låt A vara en symmetrisk -matris. Anta att dess karakteristiska polynom har en enkel rot λ = med motsvarande egenvektor v = och en dubbelrot λ =. (a) Låt w =. Beräkna A 5 w ( p) (b) Bestäm matrisen A. ( p) a) Då matrisen A är symmetrisk vet vi att egenrummen är ortogonala, och att egenvektorerna spänner upp hela rummet. Vektorn w = [ ]T är ortogonal mot egenvektorn [ ] T, och därför är w en egenvektor. Egenvärdet är. Detta ger att A 5 w = ( ) 5 w =.

7 SF4 Algebra och geometri Tentamen 7 mars 7 b) Egenrummet E tillhörande egenvärdet λ = spänns upp av [ ] T. Vi har att egenrummet E tillhörande egenvärdet λ = ges av ekvationen x + y z =. En ortogonal bas för E är,. En ortonormal bas av egenvektorer ges därmed av vektorerna, och. Vi har vidare att A = P DP, där D är diagonalmatrisen med egenvärdena på diagonalen, och matrisen P har som kolonner en bas av egenvektorer. Vi väljer kolonnerna i P att vara de ortonormala egenvektorerna ovan, vilket ger att A = = 4 P T = = Var god vänd!

8 8 SF4 Algebra och geometri Tentamen 7 mars DEL C 7. Planen P och P i R ges av ekvationerna: P : x y + z = 5 P : x + z = 8 Linjen L är + t, godtyckliga tal t. Linjen L speglas genom P till en linje L. 4 Avgör om L skär planet P. (4 p) Vi bestämmer först skärningen mellan linjen L = + t 4t och planet P : x y = z = 5. Insättning ger + t + 4t = 5, vilket betyder att t = 7, det vill säga t = 7. Skärningspunkten P har koordinater P = =. En riktningsvektor för linjen L är vektorn v =, och en normalvektor för planet P är 4 n =. Vi har, av figur t.ex., att 4 proj n v + (v proj n v) = proj n v v är en riktningsvektor för den speglade linjen L. Vi har att Detta ger att proj n v = n v n n = + 4 n. proj n v v = 4 n v = 4 4 = är en riktningsvektor för L. Vi har att L går genom P, sådan att linjen L = + t 4. 4

9 SF4 Algebra och geometri Tentamen 7 mars 9 Insätter vi parameterbeskrivningen av L i ekvationen för planet P, erhåller vi ( + t) + (4 ) = t = 8, vilket har lösning, och vi har att speglingen L skär planet P. 8. Låt β = {cos(x), sin(x), cos(x), sin(x),..., cos(x), sin(x)}. Mängden β bildar en bas för ett delrum V av vektorrummet av reellvärda funktioner av en variabel x. Derivationsavbildningen D : V V är den linjära avbildning som skickar en vektor f(x) i V till D(f(x)) = df dx, dess derivata. (a) Hitta matrisrepresentationen till D i basen β. ( p) (b) Avgör om avbildningen D är diagonaliserbar. ( p) Vi har att d (cos(nx)) dx = n sin(nx) och att d (sin(nx)) dx = n cos(nx). Matrisrepresentationen av derivationsavbildningen i basen β blir då A = b) Vi bestämmer först det karakteristiska polynomet till derivationsavbildningen, det vill säga det(λi D). Vi noterar att determinanten till ett block på formen λ n är (λ + n ). Det följer att det karakteristiska polynomet till D är n (λ + )(λ + 4) (λ + ), som inte har några reella nollställen. Avbildningen är speciellt inte diagonaliserbar. λ 9. Låt A och P vara -matriser, där P är inverterbar. (a) Visa att tr(a) = tr(p AP ), där tr betecknar spåret av matrisen. ( p)

10 SF4 Algebra och geometri Tentamen 7 mars (b) Antag att A är diagonaliserbar och uppfyller följande tre villkor tr(a) =, tr(a ) = 4, tr(a ) = 8. Beräkna det(a). ( p) a) Det karakteristiska polynomet till A är på formen det(λi A) = λ c λ + c λ c. Lite eftertanke ger att c är spåret till matrisen. För att lösa uppgiften är det därför nog om vi påvisar att similära matriser har samma karakteristiska polynom. Vi har följande identitet av matriser, λi P AP = P (λi A)P. Detta ger att det karakteristiska polynomet till P AP är det(λi P AP ) = det(p ) det(λi A) det(p ) = det(λi A). Detta betyder att similära matriser har samma karakteristiska polynom, och vi har visat påståendet. b) Vi kan anta från uppgift a) att A är en diagonalmatris. Låt a, b och c vara diagonalelmenten i A. Vi vill beräkna det(a) = abc. Vi har att a + b + c =, att a + b + c = 4 och att a + b + c = 8. Den första ekvationen ger att c = a b, och att c = a + ab + b och att c = a a b ab b. Kombinerar vi detta med den tredje ekvationen, har vi vidare att 8 = a + b + c = (a b + ab ). Determinanten abc = ab( a b) = (a b + ab ) är därmed.