YTTERLIGARE information om regler angående A- och B-uppgifter på sista sidan. LYCKA TILL! Program och grupp:

Transkript

1 UPPSALA UNIVERSITET Inst. för fysik och astronomi Mattias Klintenberg, Allan Hallgren, Staffan Yngve, Lennart Selander och Karin Schönning ID-Kod: Program: TENTAMEN MEKANIK II 1FA102 SKRIVTID: 5 timmar, kl , Bergsbrunnag. 15 Hjälpmedel: Nordling-Österman: Physics Handbook Råde-Westergren: Mathematics Handbook Räknedosa, personligt formelblad (A4 dubbelsidigt) Markera svarsalternativ för A-uppgifterna på bifogat svarsformulär. Börja varje B-uppgift på nytt blad. Skriv TYDLIGT ID-kod samt program/grupp på varje blad du lämnar in (saknas ID-Kod så använd ditt personnummer). Definiera införda beteckningar i text eller figur, motivera uppställda samband (endast B-delen). Motiveringarna utgör en väsentlig del av problemets lösning och avgör poängbedömningen (gäller endast B-delen). YTTERLIGARE information om regler angående A- och B-uppgifter på sista sidan. LYCKA TILL! ID-kod (alt. personnummer ): Program och grupp: Inlämnat antal lösningsblad till uppgifterna Uppgift Svarsformulär A-del B1 B2 B3 B4 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1

2 ID-Kod: Svarsformulär för A-delen Program: [ ] Markera om du lämnat kommentarer på separat papper. A.1a [ ] P [ ] P [ ] P [ ] P A.1b [ ] rω(î+ĵ) [ ] rωî [ ] rωĵ [ ] rω(î-ĵ) A.1c [ ] [ ] [ ] [ ] A.2a [ ] H P=(Rmv C/P +I C ω)ẑ (H = rörelsemängdsmoment) [ ] vc/p = RΩ [ ] p = mvc/p (p = rörelsemängd) [ ] Ω ω A.2b [ ] L 2/ 3 [ ] L/ 3 [ ] L [ ] L/3 A.2c [ ] 100Nm ẑ [ ] 50Nm ẑ [ ] -100Nm ẑ [ ] -50Nm ẑ A.3a [ ] Mekaniska energin har ej bevarats för B [ ] H C är lika för A och B [ ] v A >v B [ ] 1 2 mv 2 A = 1 2 mv 2 B I 2 cω B A.3b [ ] Mekaniska energin minskar [ ] Hastigheten bevaras [ ] Rörelsemängdsmomentet map C (H C ) bevaras [ ] Tröghetsmoment map C konstant A.3c [ ] v/[r (20)] [] v/r [ ] v/(10r) [ ] v/10 A.4a [ ] 1 rad/s [ ] 2 rad/s [ ] 3 rad/s [ ] 4 rad/s Α.4b [ ] x + 2d x +ω 2 x = 0, d = 3 / 2,ω 2 = 9 [ ] 2 θ +γθ +ω 2 θ = 0,γ =16,ω 2 = 32 [ ] y + d y +ω 2 y = 0, d = 3,ω 2 = 9 [ ] d 2 q dq + 2ζ + q = 0,ζ =1 2 dt dt A.4c [ ] ca. 0% [ ] ca. 5% [ ] ca. 10% [ ] ca. 15% Α.5a [ ] Vid C går tråden av och båda lagen faller pladask! [ ] Vid A övergår elastiskdeformation till plastisk deformation [ ] Vid C drar lagen som mest [ ] Vid B är dragkraften på handtagen som störst A.5b [ ] Den återförande kraften är proportionell mot förlängningen [ ] Beskriver ett förhållande mellan tryck- och volymändring [ ] Är ett linjärt samband [ ] Beskriver plastisk deformation bra. A.5c [ ] 1/2 [ ] 1 [ ] 3/2 [ ] 2 2

3 Lämna svar på bifogat svarsformulär för A-delen. A.1 Kraftmoment, kinematik samt accelererade referenssystem. (3p) a) Vilken av krafterna utövar störst kraftmoment i riktning ut ur pappret med avseende på punkten P? b) Bestäm punkten B s hastighet relativt O. Hjulet rullar utan att glida och B ligger på hjulets kant. c) En vacker sommarmorgon på ostkusten uppstår sjöbris som på förmiddagen ger en rak pålandsvind. Hur kan man förvänta sig att vinden lite senare har vridit sig på grund av Corioliseffekten? A.2 Dynamiken. (3p) a) En måne befinner sig i cirkulär omloppsbana (i xy-planet, tangenthastighet v c/p, radie R, vinkelhastikhet Ω) runt en planet (P). Månen roterar runt sin egen axel med vinkelhastigheten ωẑ, har tröghetsmomentet I C, massan m, radien r. Vilket/vilka påståenden är korrekta för månen? b) Av okänd anledning vill dirigenten Esa Pekka (EP) öka tröghetsmomentet med en faktor tre avseende på ena änden (betecknad A) hos sin dirigentpinne (dp). EPs dp har massan m, längden L och EP väljer att tejpa en liten vikt med massan m (samma massa som pinnen) på avståndet x från rotationsaxeln genom A. Rotationsaxeln är vinkelrät EP s dp. Vilket x ska Esa Pekka välja? c) En liten karusell (cirkulär skiva) har radie r=2.00m, höjd h=0.10m samt massa m=200kg. Maskinisten vill ha en vinkelacceleration α=0.25rad/s 2 medurs (sedd uppifrån) under de första 5s efter start. Vilket kraftmoment måste då motorn leverera m.a.p. C? A.3 Arbete-energi-stöt. (3p) a) Två identiska kulor har rulltävling nedför två parallella backar. Backarna är identiska så när som på friktionen. Backe A är glatt (µ=0) så att kula A glider. Backe B är sträv så att kula B rullar. Vilket/vilka påståenden är korrekta vid målgång? Båda kulorna startar från vila, dvs v=ω=0. b) Elsa, Otto och Axel spelar kula hemma på ett av de ojämna stengolven. Otto rullar sin kula, hastighet v, från A till B. Kulan hoppar till vid en av golvets extra stor ojämnheter (se figur). Vilket/vilka påståenden är korrekta om vi bortser från rullfriktion och luftmotstånd? Vid stöten utvecklas lite värme och stötkraften går ej genom C. 3

4 c) En roadrunner (New Mexicos statsfågel) med massan m kommer springande med hastigheten v. Den märkliga fågeln hoppar upp på ett lågt (fritt roterande) fågelbord (uniform skiva, byggt som en karusell) med radien R. Fågelbordets massa är 18m, dvs 18 gånger fågelns massa. Vilken vinkelhastighet får systemet (fågel+bord) om fågelbordet initialt är i vila, v är parallell med det runda fågelbordets tangent och roadrunnern klamrar sig fast på avståndet R från fågelbordets mitt? R v A.4 Svängningsrörelse. (3p) a) Säpo har Bond-party där det svänger ordentligt. Deltagarna har så roligt att man gör vågen och en deltagares rörelse i y-led kan beskrivas med ÿ + A ẏ + B y = C sin(4t), där A = 3 s - 1, B = 2 s - 2, C = 1 m/s 2. Vad är deltagarens vinkelfrekvens efter lång tid? b) Vilken ekvation beskriver ett kritiskt dämpat system? c) En ideal pendel som svänger i ett plan kan beskrivas med koordinaten θ. För vår pendel gäller att θ ligger i intervallet π/6 < θ < π/6 (dvs grader!). Den återförande kraften ges av Fθ=-mg sinθ. Om vi gör lämplig approximation för små svängningar, vad blir det maximala felet för Fθ i procent? Tips: studera (F exakt -F approx )/F exakt. A.5 Elasticitetsteori samt mekaniska vågor. (3p) a) Även tillväxtverket och SSF har seminarium (läs: festar kungligt). Denna gång är en av höjdpunkterna dragkamp. I stället för rep använder man en silvertråd med handtag (lika märkligt som den extravaganta festen!). Ett närstudium av trådens förlängning presenteras i figuren. SSF drar med kraften F. Vilket/vilka påståenden är korrekta? b) Vilket/vilka påståenden är korrekta för Hooke s lag, σ=εe? c) Två mekaniska vågor möts i ett medium. y 1 (x,t)=3/2cos(kx+ωt) och y 2 (x,t)=1/2cos(kx-ωt). Bestäm största amplitud vid superposition. 4

5 B.1 Vår genom tiderna bästa pingisspelare, J-O Waldner, slår en skruvad boll så att den hamnar i vinkeln mellan golvet och en vägg enligt figuren. Bollen förblir roterande mot väggen. Tiden uppmäts till T från det att bollen träffar väggen tills den slutar rotera. Vilken vinkelhastighet har bollen då den träffar väggen? Bollen kan ses som ett tunnväggigt sfäriskt skal med massan m och radien r. Glidfriktionskoefficienten mellan boll och vägg samt boll och golv är µ. (5p) B.2 På många flygplatsterminaler finns det rullband för persontransporter. För en jäktad resenär som har kapacitet att springa 5.0 m/s kan ett rullband som rör sig med 1.00 m/s ge resenären en 20%-ig fartökning relativt terminalen. Filippa genomför ett experiment på ett horisontellt rullband som rör sig med farten v B. Filippa lägger ett homogent klot på rullbandet, vars längd är L. Friktionskoefficient mellan band och klot är µ. Bestäm tiden för klotet att röra sig sträckan L med lämpliga approximationer om klotets utgångsfart relativt terminalen är noll. Avgör speciellt om experimentet är någonting som är lämpligt för ovan beskrivna jäktade resenär. (5p) Numeriskt: v B = 1.00m/s, L = 100m, µ = B.3 Två rullar (homogena cylindrar, vardera med radie r = 0.1m och massa m = 4kg) bär upp en horisontell platta, massa M = 12kg. Vid plattan är fäst en fjäder och en dämpare enligt figur. Fjäderkonstanten är k = 600N/m och dämpningskonstanten c = 60Ns/m. Det förutsätts att rullarna rullar dvs det föreligger ingen glidning vare sig med golv eller platta. a) Bestäm svängningstiden för små svängningar om systemet approximativt betraktas som konservativt, dvs om dämpningen försummas (3p) b) Bestäm svängningstiden för den dämpade svängningen och avgör rimligheten av att betrakta systemet som konservativt vid beräkning av svängningstiden.(2 p) 5

6 B.4 För att mäta en projektils fart kan en ballistisk pendel användas. Pendeln består av en tunn homogen stav som är upphängd i sin ena ände så att den kan sväng fritt utan friktion kring upphängningspunkten. Stavens massa är M=0.200kg och längden l=1.00m. Projektilen har massan m=12.5g och är så liten att den kan ses som punktformig. Projektilen rör sig horisontellt när den träffar pendeln och fastnar i densamma 0.75m från upphängningspunkten. Efter stöten, som är ytterst kortvarig, slår pendeln upp till 68.2grader från lodlinjen. Beräkna projektilens hastighet. (5p) Tentamen består av två delar, A och B. Del A utgörs av de fem första problemen, A1 A5 och del B av de fyra sista B1 B4. A- delen ger maximalt 15 poäng (1p per fråga) och B- delen max 20 poäng (poäng fördelning angiven i varje uppgift). För godkänt krävs Dels minst 10 poäng sammanlagt på A- delen Dels minst 2 poäng på varje problem på A- delen Dels minst 8 poäng sammanlagt på B- delen Betygsgränser 3 18p 4 24p 5 30p Har du godkänd dugga erhålls 5 poäng på uppgift B1 utan att lösning behöver lämnas in. Inluppspoäng får tillgodoräknas på ett optimalt sätt med den inskränkningen att minst tre poäng måste ha erövrats på B2-4 (sammanlagt) innan inluppspoäng kan tillgodoräknas på någon av de uppgifterna. Observera även att examinator förbehåller sig rätten att utifrån en helhetsbedömning något avvika från ovanstående kriterier. Så ge inte upp, även om det verkar gå dåligt på en A- uppgift! För A- delen gäller: Bifogat svarsformulär lämnas in. Motiverade lösningar behöver EJ lämnas in för A- delen För B- delen gäller: Kom ihåg att vara noggrann med motiveringar och redovisning av din lösning. Ange vilka grundläggande samband du utnyttjar. Motiveringarna utgör en väsentlig del av problemets lösning och avgör poängbedömningen. En FIGUR med alla relevanta krafter markerade är oftast en viktig del av en motivering! 6