Kursinformation Mekanik f.k. TMMI39

Transkript

1 Kursinformation Mekanik f.k. TMMI39 Uppdaterad Linköpings universitet tekniska högskolan IEI/mekanik Joakim Holmberg Omfång 30 h föreläsningar och 24 h lektioner i period HT2, hösten 202. Kursansvarig, examinator, föreläsare och lektionsledare Joakim Holmberg, joakim.holmberg@liu.se, Ämnessekreterare Anna Wahlund, anna.wahlund@liu.se, Examination och tentamen Kursen avslutas med en skriftlig tentemen bestående av 5 problem, där varje problem ger maximalt 3 poäng. För godkänt krävs 6 poäng. Hjälpmedel: formelblad (medföljer tentamenstesen) samt räknedosa. Betygsgränser Summa poäng Betyg 0-5 UK Kurslitteratur Meriam J.L. & Kraige L.G.: Engineering Mechanics, STATICS & DYNAMICS (båda volymerna), 6 th edition, SI-version, Wiley, 2008.

2 Kursinnehåll Kursmoment Kapitel STATIK Kraftsystem 2D kraftsystem. Momentet m.a.p. en punkt D kraftsystem. Momentet m.a.p. en axel Jämvikt Kraft- och momentjämvikt i 2D & 3D DYNAMIK Plan kinematik för stela kroppar Translation, rotation och allmän rörelse Relativ hastighet. Momentant vridningscentrum Relativ acceleration. 5.6 Plan kinetik för stela kroppar Eulers rörelselagar Masströghetsmoment. Parallellaxelsatsen. B Energimetoder. 6.6 Impuls och rörelsemängd D-rörelse hos stela kroppar 3D-kinematik Rörelsemängds- och tröghetsmoment. Tröghetsprodukter. 7.7, B2 Kinetisk energi. 7.8 Eulers rörelselagar mha rörelsemängd och energimetoder Gyrodynamik. 7. Föreläsnings- och lektionsplan Fö Le Kapitel Uppgifter , 2.53, 2.93, 2.2, 2.2, 2.4, 2.48, , 3.68, 3.82, , 5.6, 5.4, 5.23, 5.35, 5.37, , 5.72, 5.79, 5.00, 5.07, , 5.29, 5.3, 5.50, 5.54, ,6.28, 6.44, 6.47, 6.64, 6.94, B B3, B9, B , 6.8, 6.23, , 6.77, 6.835, 6.90, 6.20, 6.203, , 7.7, 7.3, 7.40, 7.42, , B2 B5, B55, 7.53, 7.54, , 7.69, , 7.80, 7.84, 7.87, , 7.0, 7.4, Repetition

3 Svar till övningsuppgifter i kursen TMMI39 Joakim Holmberg November 26, 202 STATIK 2.27 T = 5.68 kn, R = 0.2 kn 2.53 T = 4.04 kn 2.93 R = 93.7 N, θ = T BC = 25 N 2.2 M = 75i j Nm 2.4 M A = 375i + 325j Nmm, M AB = 28i 64.2k Nmm 2.48 R = 792i + 82j N, M O = 260i 504j k Nm 2.5 R = F = 20i 80j 60k N, M = M O = 00j + 50k Nm 3.62 T A = 44 N, T B = 44 N, T C = 59 N 3.68 T A = 224 N, T B = 29.6 N, T C = 259 N 3.82 F AC = F CB = 240 N (drag), F CD = 046 N (tryck) 3.88 P = N, A y = N, B y = N DYNAMIK 5.2 (a) v A = 270i mm/s, a A = 80i 620j mm/s 2 (b) v B = 270i + 80j mm/s, a B = 900i 740j mm/s α = 6 rad/s 2, ω = 4 rad/s 5.4 v A =.68i.8j m/s, a A = 0.8i 0.08j m/s α = 36k rad/s 2, a A = 5.4i 33.8j m/s 2

4 5.35 v O =.2 m/s, ω =.333 rad/s 5.37 ω = rhω0 x 2 +h ω = v x ( x r ) v O = 8.49 m/s, ω = 2.6 rad/s 5.72 ω = 3.23 rad/s, v B = 4.38 m/s 5.79 (a) ω BC = ω (moturs) (b) ω BC = 2ω (moturs) 5.00 v A = m/s, v P =.58 m/s 5.07 v E = m/s, ω B = rad/s (moturs) 5.6 ω = 3 rad/s (moturs) 5.26 α AB = rad/s 2 (medurs) 5.29 v A = 5.2i + 2.2j m/s, a A = 6.25i + 2.5j m/s α = 4k rad/s 2, a A =.6i m/s α AB = rad/s 2 (moturs), a A = 4.89 m/s a G = 5.40 m/s a C = 23.4 m/s N B = 44 N, N C = 76.6 N, a = 4.4 m/s N = 257 kn 6.44 b = 53.6 mm, R = 7.6 N 6.47 x = l 2, α = g 3 3 l 6.64 α = 3.4 rad/s 2, F = 32.7 N 6.94 A x = 3M 2 2l, B y = A x 6.98 a A = g sin θ 3 4 cos2 θ B.3 I xx = 2 m(r2 2 + r) 2 B.9 I yy = ( ) ρl 3 B.2 I =.03 kg m 2, n = 97.8% 2

5 6.6 ω = 3.07 rad/s, oberoende av massan 6.8 θ = ω = 0.86 g b 6.48 v = 3.04 m/s 6.75 v 2 = 2.3 m/s 6.77 ω =.093 rad/s 6.83 ω = 2.8 rad/s 6.84 O x = 3742 N 6.85 ω = rad/s 6.90 N = 2.04 rev/s 6.20 N = 32.0 rev/s N = 4.89 rev/s v = r k 2 +r 2 +rh 2gh (k2 + r 2 ) 7.8 ω = pj + ω 0 k, α = pω 0 i 7. v = m/s, a = 20 m/s 2, R = 50 mm 7.7 ω = 2.5 rad/s, α = 3j rad/s ω = 0.77 rad/s, α = 40j rad/s (a) α = i j rad/s 2 (b) α = j rad/s α = ( 3i 4j) rad/s v = π (0.i + 0.8j k) m/s, a = π 2 (6.32i + 0.k) m/s 2 B.5 I xy = 0, I yz = I zx = 2ml 2 B.55 I xy = ρπb4 52, I yz = I zx = H = mrω [ L 3 j + 2Rk], T = mr 2 ω H G =.63j 744k kg m 2 /s, H A = 537.5i 2.70j 744k kg m 2 /s 7.57 H = 3 ml2 ω sin θ (j sin θ k cos θ) 3

6 [( ) ] 7.65 H O = 3 0 mr h2 r Ωi + pk, [( ) 2 ] T = 3 0 mr2 4 + h2 r Ω p H O = (i + 8j) kg m 2 /s, T = 25 J 7.7 H O = 0.25 ( j k) N m s, T = 9.87 J 7.74 A x = B x = 0, A y = mrω2 3, B y = A y 7.80 A = 576 N, B = 247 N 7.84 M = 79i N m 7.87 ω = 7.92 A = mg 6 6g tan θ b(4 sin θ+3) 7.00 b = 26 mm 7.0 M = M = mk 2 Ω v r 7.4 R A = 37.5 N, R B = 60.5 N 7.6 M = 8.30i N m 4

7 Formelblad TMMI39 Beteckningar: A, B: godtyckliga punkter P: fix punkt i rummet O: fix punkt i kroppen och i rummet G: masscentrum V : godtycklig vektor d v : vinkelräta avståndet mellan A och v G d a : vinkelräta avståndet mellan A och a G I G G : masströghetsmoment m.a.p. axeln G G genom masscentrum I D D : masströghetsmoment m.a.p. axeln D D parallell med axeln G G d: vinkelräta avståndet mellan axlarna G G och D D Kinematik Naturliga komponenter: v = ṡe t = ρ βe t, Polära koordinater: v = ṙe r + r θe θ, a = a = ṡ2 ρ e n + se t ( r r θ 2) ( e r + r θ + 2ṙ θ ) e θ Derivering i roterande koordinatsystem (xyz) ( ) ( ) V dv dv = + Ω V dt dt /XYZ /xyz där Ω är vinkelhastigheten hos xyz relativt XY Z Hastighet och accelerationssamband: Låt A och B vara fixa punkter i en stel kropp. Då gäller Kinetik v B = v A + ω AB a B = a A + ω ( ω AB ) + ω AB Kraft- och momentlagar ΣF = Ġ = ma G ΣM G = H G, Momentlagar (2D) ΣM P = H P, ΣM A = H G + AG ma G ΣM G = I G α, ΣM O = I O α, ΣM A = I G α ± ma G d a Förflyttningssatser H B = H A + BA mv G ΣM B = ΣM A + BA ΣF Rörelsemängdsmoment H G = I G ω, H O = I O ω H A = I G ω ± mv G d v (2D)

8 Arbete och energi Energibalans T + V g + V e + U 2 = T 2 + V g2 + V e2 där En kraft F resp. ett kraftparsmoment C utför arbetet U 2 = U 2 = 2 2 Plan rörelse F dr resp. U 2 = F dr resp. U 2 = 2 2 C ωdt C dθ (2D) T = 2 mv2 G + 2 I Gω 2 T = 2 I Oω 2 Tredimensionell rörelse T = 2 mv G v G + 2 ω H G T = 2 ω H O Impuls och impulsmoment G + t2 H P + t2 t ΣF dt = G 2, G = mv G t2 ΣM P dt = H, H + P ΣM 2 G G dt = H G 2 t t Tröghetssamband I xx I xy I xz I = I xy I yy I yz I xz I yz I zz (y I xx = 2 + z 2) dm, I xy = xy dm d 2 2 y + d z d x d y d x d z I A = I G + m d x d y d 2 2 x + d z d y d z d x d z d y d z d 2 2 x + d y där d x d y d z = GA (eller AG) I D D = I G G + md 2, I Dxy = I G xy + md x d y Algebra a (b c) = b (c a) a (b c) = b (a c) c (a b) a b = a b sin ϕ

9 I Gxx =0, I Gyy = I Gzz = ml2 2 I Gxx = I Gyy = mr2 4, I Gzz = mr2 2 I Gxx = I Gyy = mr2 2, I Gzz = mr 2 I Gxx = I Gzz = m 2 (3r2 + h 2 ), I Gyy = mr2 2 I Gxx = I Gzz = m 2 (6r2 + h 2 ), I Gyy = mr 2 I Gxx = I Gyy = I Gzz = 2 5 mr2 I Gxx = I Gyy = I Gzz = 2 3 mr2 I Gxx = m 2 (b2 + c 2 ), I Gyy = m 2 (a2 + c 2 ), I Gzz = m 2 (a2 + b 2 ) Stång: Cirkelskiva: Ring: Cirkulär cylinder: Masströghetsmoment Cirkulärt rör: Sfäriskt klot: Sfäriskt skal: Rektangulärt block: