ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM"

Kristina Pålsson
för 5 år sedan
Visningar:

1 RTNRMERADE BASER I PLAN (D) CH RUMMET (D) RTNRMERAT KRDINAT SYSTEM Vi säger att en bas i rummet e x e e z följande villkor är uppfllda: ( e x e i plan) är en ortonormerad bas om basvektorerna är parvis vinkelräta ( = ortogonala) basvektorerna har längden dvs e x = e = och e z = Då är tillhörande xz ett ortonormerat ( kortare N) koordinatsstem Nkoordinatsstemet kallas även det kartesiska koordinatsstemet ( efter franske matematiker Rene Descartes) Alltså i ett ortonormerat sstem är axlarna vinkelräta och enhetssträckorna har samma längd z-axeln e z e e x e e x Beteckning: Basvektorer i ett N-sstem betecknas oftast i j och k men även som ovan e x e e z eller e e e Längden av en vektor och avståndet mellan två punkter i ett N-Sstem Det är väldigt enkelt att göra avståndsberäkningar i ett N-koordinatsstem ( vi kan använda Ptagoras sats på rätvinkliga trianglar) Avståndsberäkning i planet x med N-koordinatsstem: v P(x) v = x + är längden av vektorn v = ( x ) m A( x ) och B( x ) är två punkter i planet med N koordinatsstem då är Sida av 5

2 AB = ( x x ) och längden blir enligt ovanstående formel AB = ( x x ) + ( ) Avståndet mellan två punkter A och B som vi betecknar d(ab) är samma som längden av vektorn AB dvs d(ab) = AB = ( x x ) + ( ) som vi kan även se direkt ( Ptagoras sats) på nedanstående figur - A ( x ) x - x B ( x ) d(ab) = AB = ( x x ) + ( ) På liknande sätt beräknar vi längden av en vektor i D-rummet med ett N koordinatsstem Låt v = ( x z) Då är vektors längd v = x + + z m A( x z) och B ( x z ) är två punkter i D-rummet med ett N koordinatsstem då är AB = ( x x z z) och längden blir enligt ovanstående formel AB = ( x x ) + ( ) + + ( z z) Nedanstående graf förklarar formeln v = x + + z z-axeln x v P(xz) d z P (x0) d v = d + = + + Därför v = x + + z z x z Sida av 5

3 Enhetsvektor är en vektor vars längd är Den enhetsvektor som har samma riktning som u är u u Exempel: a) Bestäm längden av vektorn v = ( ) b) Bestäm avståndet mellan punkterna A() och B ( - ) c) Bestäm den enhetsvektor som har samma riktning som u = (4 ) a) v = x + + z = = 4 (le) b) Först AB = x x z z ) = ( 0) ( Därför d(ab) = AB = = 5 (le) c) u = x + + z = = Den enhetsvektor som har samma riktning som u är 4 u = (4) = ( ) u u u Svar: a) v = 4 b) d(ab) = 5 c) u = (4 ) u ================== ÖVNINGAR: Uppgift A=() och B=( 4) är två punkter i rummet a) Beräkna längden av vektorn AB b) Bestäm två enhetsvektorer ( en med samma och en med motsatta riktning) som är parallella med AB c) Bestäm två vektorer med längden 5 som är parallella med AB d) Bestäm mittpunkten S på sträckan AB a) AB = ( ) AB = + + = 4 b) v = AB = ( ) AB 4 Sida av 5

4 v = AB = () AB 4 5 c) w = 5v = ( ) 4 5 w = 5v = () 4 x + x + z + z d) Mittpunkten på sträckan AB är S = ( ) = ( ) = ( ) Uppgift a) Beräkna omkretsen av triangeln ABC där A=() B=( 45) C=() b) Använd Ptagoras sats för att bestämma om ABC är en rätvinklig triangeln c) Bestäm tngdpunkten T för triangeln ABC a) Först vektorn AB = (04) Avståndet mellan AB är d ( A B) = AB = = 5 AC = () d ( A C) AC = + + = = BC = ( ) d ( B C) BC = + ( ) + ( ) = = = Därmed blir omkretsen 5++ = 8 + b) Ptagoras sats gäller för en triangel om och endast om triangeln är rätvinklig Sidan AB är störst i vårt fall Triangeln är INTE rätvinklig eftersom + ( ) 5 d) Tngdpunkten för triangeln ABC är x T = ( + x + x Svar: a) mkretsen = Uppgift Bestäm en punkt P sådan att + + z + z + z ) = ( ) = ( b) Nej c) T = ( ) 4 AP+ PB = CD där A=() B=() C=(00) och D =( 4) är fra punkter i rummet Låt P=(xz) Vi beräknar vektorerna AP = ( x z ) PB = ( x z) CD = () substituerar i ekvationen Sida 4 av 5 7 )

5 4 AP+ PB = CD och får 4 ( x z ) + ( x z) = () Efter förenkling har vi ( x z + ) = () Härav x= = och z+= Till slut x=/ = och z=/ Därmed P=(/ /) Svar: P=(/ /) Uppgift 4 Låt A=() B=(4) Bestäm den punkt P som delar sträckan AB i förhållandet :7 Låt P=(xz) A P B Från AP = AB har vi 0 ( x z ) = (0) 0 Härav x-=0 -= 6/0 och z- =9/0 eller x= = 6/0 och z=9/0 Svar: P= ( 6 9) Sida 5 av 5

Relevanta dokument

===================================================

=================================================== AVSTÅNDSBERÄKNING ( I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERAT KOORDINATSYSTEM ) Avståndet mellan två punkter Låt A ( x1, och B ( x, y, z) vara två punkter i rummet Avståndet d mellan A och B är d AB ( x z x1)