AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys

Transkript

1 AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys En vektor är en storhet som dels har icke-negativ storlek dels har riktning i rummet. Två vektorer a och b är lika, a = b, om de har samma storlek och samma riktning. En vektor (utom nollvektorn) kan anges med en riktad sträka, dvs en sträka från en punkt A (utgångspunkt) till en annan punkt B (ändpunkt). Två lika långa och lika riktade sträkor anger samma vektor. Vektorn från A till B kan betecknas AB. Vektorn sägs vara avsatt från punkten A. En vektor kan avsättas från en godtycklig punkt. Nollvektorn svarar mot det urartade fallet då A sammanfaller med B. Varje punkt läge i rymden kan anges med hjälp av ett koordinatsystem, som består t ex av tre mot varandra vinjkelräta koordinataxlar. Om två icke-parallela vektorer e x och e y är givna i ett plan, kan varje vektor u i planet entydigt skrivas som u = xe x + ye y. (1) Vektorerna e x och e y kallas basvektorer. Vektorerna xe x och ye y kallas komposanter, talen x och y koordinater för u (eller u s komponenter), och beteckningen u = (x, y) kan användas. Om e x, e y och e z är tre i (tre-dimensionella) rummet givna vektorer som inte ligger i ett plan, kan varje vektor u i rummet entydigt skrivas som u = xe x + ye y + ze z. (2) Vektorerna e x, e y och e z kallas basvektorer. Vektorerna xe x, ye y och ze z kallas komposanter, talen x, y och z koordinater för u (u s komponenter), och beteckningen u = (x, y, z) kan användas. Om O (i detta sammanhang kallad origo) är en fix punkt i rummet (planet) är varje punkt P bestämd av vektor OP, som kallas ortsvektorn för P, och koordinater x, y, z för OP upfattas som koordinater för P. Då har ortsvektorn för P : (x, y, z) utgångspunkten O : (0, 0, 0) (origo) och ändpunkten P : (x, y, z); beteckningen r = [x, y, z] kan användas. Man säger att man har koordinaterna x, y, z i koordinatsystemet Oe x e y e z eller Oxyz (även xyz). På motsvarande sätt fås koordinatsystemet Oe x e y eller Oxy i ett plan. Vi inför följande beteckningar: R är mängden av alla reela tal, R 2 är mängden av alla reela talpar (x, y) och R 3 är mängden av alla reela taltripplar (x, y, z). Geometriskt, R representeras av punkterna på en linje (tallinje), resp. punkterna i ett plan eller i ett tre-dimensionellt rum. En vektor med beloppet (storlek) 1 kallas enhetsvektor. Om basvektorerna i ett koordinatsystem är parvis vinkelräta enhetsvektorer kallas koordinatsystemet ortonormerat, eller cartesiskt. I ett cartesiskt koordinatsystem, (2) skrivas som u = [x, y, z] = xi + yj + zk, (3) där basvektorerna är cartesiska enhetsvektorer i = e x, j = e y, k = e z i = [1, 0, 0], j = [0, 1, 0], k = [0, 0, 1]. (4)

2 Antag att en vektor a= P Q har utgångspunkten P : (x 1, y 1, z 1 ) och ändpunkten Q : (x 2, y 2, z 2 ). Då kallas tre talen a 1 = x 2 x 1, a 2 = y 2 y 1, a 3 = z 2 z 1 (5) a s komponenter i koordinatsystemet xyz i rummet, och man skriver Vektors längd (storlek) a = [a 1, a 2, a 3 ]. a = a a a 2 3 (6) Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem och P : [x 1, y 1, z 1 ] och Q : [x 2, y 2, z 2 ] två punkter i rummet. Talet P Q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2 kallas avståndet mellan punkterna P och Q i rummet. EXEMPEL 1 P Q med utgångspunkten P : (4, 0, 2) och ändpunkten Q : (6, 1, 2) har kompo- Vektorn a= nenter a 1 = 6 4 = 2, a 2 = 1 0 = 1, a 3 = 2 2 = 0. Då a = [2, 1, 0] och längden (avståndet mellan punkterna P och Q) a = ( 1) = 5. Om man väljer ( 1, 5, 8) som a s utgångspunkt, då,, enligt (5), är motsvarande ändpunkten ( 1 + 2, 5 1, 8 + 0) = (1, 4, 8) EXEMPEL 2 a = [4, 0, 1] = 4i + k, b = [2, 5, 1 3 ] = 2i 5j k. Skalärprodukt Vinkeln mellan två vektorer erhåls genom att man avsätter dem från samma punkt. Om a och b är två vektorer och γ vinkel mellan dem är skalärprodukten av a och b a b = a b cos γ om a 0, b 0 a b = 0 om a = 0 eller b = 0. Om a = [a 1, a 2, a 3 ] och b = [b 1, b 2, b 3 ], då, a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3. Vektorn a kallas normal till vektorn b om a b = 0. Skalärprodukten av två vektorer a 0 och b 0 är 0 om och endast om de här två vektorerna är perpendikulär, dvs vinkeln γ mellan a och b är γ = π/2 (90 o ) (cos γ = 0).

3 Man kan bestämma vektors längd och vinkeln mellan två vektorer genom skalärprodukten EXEMPEL 3 cos γ = a b a b = a = a a (7) a b a a b b (8) Beräkna skalärprodukten, längd och vinkeln mellan vektorer a= [1, 2, 0] och b= [3, 2, 1]: a b = ( 2) = 1, a = a a = 5, b = b b = 14; γ = arccos a b a b = arccos ( 1) 70 = arccos ( ) = = o Ortonormerad bas Den ortonormerada basen a, b, c i tre-dimensionella rummet består av ortogonala (cartesiska) enhetsvektorer i = [1, 0, 0], j = [0, 1, 0], k = [0, 0, 1]. (9) För en given vektor vi har v = l 1 a + l 2 b + l 3 c, l 1 = a v, l 2 = b v, l 3 = c v. Enhetsvektorerna i, j, k bildar standardbasen. EXEMPEL 4 Normalvektor till planet Bestäm en enhetsvektor normal till planet 4x + 2y + 4z = 7. Ekvationen för ett plan i tre-dimensionella rummet är a r = a 1 x + a 2 y + a 3 z = c, a = [a 1, a 2, a 3 ] 0, r = [x, y, z]. Enhetsvektorn i riktningen a är Likheten a r = c dividerat med a är n r = p, n = 1 a a. p = c a. n (och n) är normalvektorn till planet. I Exempel 4, a = [4, 2, 4], c = 7, a = = 36 = 6; då n = (1/6)a = [2/3, 1/3, 2/3], och avståndet mellan planet och origo är p = 7/6.

4 Vektorprodukt Vektorprodukten a b av två, vektorer a = [a 1, a 2, a 3 ] och b = [b 1, b 2, b 3 ] är en vektor v = a b; dess längd är v = a b sin γ (γ är vinkeln mellan vektorer a and b) och v är perpendikulär till a och b. a, b, v bildar ett positivt orienterat högersystem. Vi har i j k v = [v 1, v 2, v 3 ] = a b = a 1 a 2 a 3 = v 1 i + v 2 j + v 3 k, b 1 b 2 b 3 EXEMPEL 5 v 1 = a 2 a 3 b 2 b 3, v 2 = a 3 a 1 b 3 b 1, v 3 = a 1 a 2 b 1 b 2 Beräkna vektorprodukten av vektorerna a = [4, 0, 1] och b = [ 2, 1, 3]: a b = i j k = i j k 4 0 = i 10j + 4k. 2 1 Skalära fält och vektorfält Låt U vara ett område i rummet och låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem. Antag att vi för varje punkt P = (x, y, z) U har definierat en vektor v = v(p ) = [v 1 (P ), v 2 (P ), v 3 (P ), ] Då säger vi att v = v(p ) är ett vektorfält i området U (v s värden är vektorer). motsvarande sätt fås definitionen av ett skalär fält På f = f(p ) där f(p ) = f(x, y, z) är en skalär funktion av tre variabler definierad i området U (f s värden är reela tal). Området (mängden) U, som består av alla de punkter P = (x, y, z) för vilka f(p ) existerar, kallas f s definitions mängd. EXEMPEL 6 En skalär funktion (avståndet mellan punkterna i rummet) Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem. Låt vidare P : [x, y, z] vara en punkt i rummet och P 0 : [x 0, y 0, z 0 ] en fix punkt i rummet. Då kallas skalära funktionen f = f(p ) = f(x, y, z) = P P 0 = avståndet mellan punkterna P och P 0 i rummet. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2

5 EXEMPEL 7 Ett vektorfält (gravitationsfält) En partikel A med massan M är belägen i origo. Den attraherar genom gravitation en partikel B med massan m i punkten P : [x, y, z] med en kraft p. I ett cartesiskt koordinatsystem P : [x, y, z], P 0 : [x 0, y 0, z 0 ] = O : [0, 0, 0] och avståndet mellan punkterna P och P 0 är r = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = x 2 + y 2 + z 2. Enligt Newtons gravitationslag är p riktad mot origo och p är omvänt proportionellt mot kvadraten på avståndet till origo, Vektorn p har samma riktning som vektorn r, där p = c, c = const. (10) r2 r = [x, y, z] = xi + yj + zk är ortsvektorn för P, r = r, och 1 r är en enhetsvektor som har samma riktning som vektorn r p (en enhetsvektor längs p). Enligt (10) är då gravitationskraften p = p ( 1 ) r r = c r 3 r = c x r 3 i c y r 3 j c z r 3 k (11) Då definierar (11) för varje punkt P = (x, y, z) O = (0, 0, 0) en vektor p = p(p ) = [p 1 (P ), p 2 (P ), p 3 (P )]. p = p(p ) är ett vektorfält som kallas gravitationsfält. Betrakta en partikel A med massan M i punkten P 0 : [x 0, y 0, z 0 ] och en partikel B med massan m i punkten P : [x, y, z] (i ett cartesiskt koordinatsystem). Avståndet mellan punkterna P och P 0 är r = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2, vektorn r = P 0 P = [x x 0, y y 0, z z 0 ] = (x x 0 )i + (y y 0 )j + (z z 0 )k, har utgångspunkten P 0 : (x 0, y 0, z 0 ) och ändpunkten P : (x, y, z), och gravitationsfältet (gravitationskraften) är p = p ( 1 ) r r = c r r = cx x 0 i c y y 0 j c z z 0 k (12) 3 r 3 r 3 r 3 Låt, t ex, P 0 vara origo P 0 = [0, 0, 0] och antag att punkterna P ligger på enhetscirkel x 2 + y 2 = 1 i planet z = 0. Vi har r = x 2 + y 2 = 1 och vektorfunktionen (11) skrivas som p = p ( r) = cr, (13) Då är p s storlek konstant i varje punkt på cirkeln och har p motsatt riktning mot ortsvektorn r. För en godtycklig cirkel x 2 + y 2 = a 2 och även en godtycklig sfär x 2 + y 2 + z 2 = a 2 får man samma påstående.

6 PROBLEM Bestäm en vektor med utgångspunkten P : (1, 1, 0) och ändpunkten Q : (4, 5, 0) och dess längd. P Q = v = [4 1, 5 1, 0 0] = [3, 4, 0] = 3i + 4j. v = = 25 = 5. PROBLEM Bestäm en vektor med utgångspunkten P : (1, 2, 3) och ändpunkten Q : (2, 4, 6). och dess längd. P Q = v = [2 1, 4 2, 6 3] = [1, 2, 3] = i + 2j + 3k. v = = 14. PROBLEM P Q = v = [2, 3, 0] = 2i + 3j och utgångspunkten vara P : (1, 0, 0). Bestäm ändpunkten Låt Q : (x 2, y 2, z 2 ). P Q = v = [x 2 1, y 2 0, z 2 0] = [2, 3, 0]. Då x 2 = = 3, y 2 = = 3, z 2 = = 0] and Q : (3, 3, 0) v = = 13. PROBLEM a = [3, 2, 1] = 3i 2j + k, b = [0, 3, 0] = 3j. Bestäm a + b och a + b. a + b = [3 + 0, 2 + 3, 1 + 0] = [3, 1, 1] = = 11. a = = 14. b = 3 2 = 3. a + b = a + b < a + b. PROBLEM Beräkna skalärprodukten av vektorerna a = [1, 3, 2] = i + 3j + 2k, b = [2, 0, 5] = 2i 5k, c = [4, 2, 1] = 4i 2j + k. a b = ( 5) = = 8 = b a.

7 Här, PROBLEM b + 3c = [2 2, 0, 2 ( 5)] + [3 4, 3 ( 2), 3 1] = [4 + 12, 0 6, ] = [16, 6, 7]. a (2b + 3c) = ( 6) + 2 ( 7) = = 16 = 2a b + 3a c. PROBLEM Bestäm vinkeln mellan två planen x + y + z = 1 och x + 2y + 3z = 6. Ekvationen för ett plan i tre-dimensionella rummet är för planet x + y + z = 1 och a r = a 1 x + a 2 y + a 3 z = c, a = [a 1, a 2, a 3 ] 0, r = [x, y, z]. a r = x + y + z = 1, a = [1, 1, 1], c = c 1 = 1 b r = x + 2y + 3z = 6, b = [1, 2, 3], r = [x, y, z], c = c 2 = 6 för planet x + 2y + 3z = 6. c 1 = 1, a = = 3; c 2 = 6, b = = 14. Enhetsnormalvektorn till planet x + y + z = 1 är n 1 = 1 a a = 1 3 a. Enhetsnormalvektorn till planet x + 2y + 3z = 6 är n 2 = 1 b b = 1 14 b. Vinkeln mellan två plan är vinkeln mellan två normaler som är lika med vinkeln γ mellan vektorerna a och b. Man kan bestämma vinkeln mellan två, vektorer genom skalärprodukten: cos γ = a b a b = a b a a b b (14) Vi har och cos γ = a b a b = = 6 42 = , γ = arccos = o. PROBLEM 8.3.1

8 Bestäm skalärprodukten och vektorprodukten av vektorerna a = [1, 2, 0], b = [ 3, 2, 0], och c = [2, 3, 4]. a b = i j k = k b a = a b = 8k. = 8k; a b = b a = 1 ( 3) = = 1. PROBLEM a c = i j k = i j k = 8i 4j k = [8, 4, 1]; PROBLEM a c = c a = = = 81 = 9. a c = = = 8. Betrakta skalära fältet (tryckfält) f(x, y) = 9x 2 + 4y 2 och estäm trycket i punkterna (2, 4), (0.5, 3.25) och ( 17, 1/ 6). f(2, 4) = = 4 (9 + 16) = 100. f(0.5, 3.25) = (3.25) 2 = = f( 17, 1/ 6) = (1/6) = / PROBLEM En nivåkurva till funktionen f(x, y) är en kurva med ekvationen f(x, y) = c där c är en konstant. Isobarer (kurvor av konstant tryck) är ellipser 9x 2 + 4y 2 = c, c > 0, e.g., 9x 2 + 4y 2 = 1: PROBLEM Isotermer (kurvor av konstant temperatur) är kurvorna med ekvationerna ln x 2 + y 2 = c. Isotermerna är cirklar x 2 + y 2 = C = e c > 0. PROBLEM 8.4.5

9 arctan y/x = c; då tan arctan y/x = y/x = C = tan c och isotermer är räta linjer y = Cx. PROBLEM Vi har x 2 y 2 y = x, c = 0. = c, och isotermer är parabeler y = ± x 2 c, c 0, eller räta linjer PROBLEM En yta med ekvationen f(x, y, z) = c där c är en konstant kallas en nivåyta till funktionen f(x, y, z). Här nivåytorna är planen 4x + 3y z = c. PROBLEM Nivåytorna är elliptiska cylindrarna x 2 + 3y 2 = c, c > 0.