TENTAMEN. Kursnummer: HF0021 Matematik för basår I. Rättande lärare: Niclas Hjelm Examinator: Niclas Hjelm Datum: Tid:

Transkript

1 TENTAEN Kursnummer: HF00 atematik för basår I oment: TENA / TEN Program: Tekniskt basår Rättande lärare: Niclas Hjelm Eaminator: Niclas Hjelm Datum: Tid: :00-:00 Hjälpmedel: Formelsamling: ISBN eller ISBN (utan anteckningar). Inga andra formelsamlingar är tillåtna! iniräknare, penna, radergummi, linjal, gradskiva Omfattning och betygsgränser: Poäng Betyg F 4 E 5 7 D 8 0 C B 4 6 A Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar. ösningarna skall vara tydliga och lätta att följa. Införda beteckningar skall definieras. Uppställda samband skall motiveras. Skriv helst med blyertspenna! Svaret ska framgå tydligt och vara förenklat så långt som möjligt. Svara med enhet och lämplig avrundning på tillämpade uppgifter. Svara eakt på övriga uppgifter, om inte annat anges.

2 . Förenkla uttrycket så långt som möjligt (p) ( st ) (8s t ). ös ut ur formeln. För full poäng krävs inte förenkling. (p). ös ekvationssystemet (p) 5 y 0 4 y 4. Förenkla uttrycket så långt som möjligt (p) ( y y y y ) 5. åt u,. Antag vidare att 5 u + v, 7. a) Bestäm v b) Bestäm v (p) (p)

3 6. Funktionen f ( ) + 8 har en maimipunkt. Bestäm funktionens största värde. (p) 7. ös ekvationen (p) + 8. injen ges av ekvationen (p) + y. En annan linje,, skär punkten ( 5, ). injerna är vinkelräta mot varandra. Bestäm ekvationen för. 9. Bestäm tredjegradspolynomet p() som har värdet noll då, och 0 45 samt går genom punkten,. (p) 7 0. I en rätvinklig triangel är hypotenusans längd 4 cm och den kortaste kateten har längden cm. Bestäm tangens för vinkeln mellan hypotenusan och den kortaste kateten. Tangensvärdet för denna vinkel ska anges eakt. (p). ös ekvationen 4 + (p)

4 . En triangel har vinklarna 0, 60 och 90. Vidare är hypotenusans längd längdenhet. Denna triangel kan delas upp i mindre rätvinkliga trianglar, se figuren nedan. Hur stor del av den största triangeln utgör den skuggade triangeln? (p)

5 Förslag till lösningar:. ( ) ) (8 t s st ( 0, 0 t s ) ( ) 8 ) (8 t s t s t s t s t s st +. ( 0 ) ) ( Svar: y y Vi multiplicerar den första ekvationen med och den andra med (-): y y

6 Additionsmetoden ger: 5 6y Dvs 7 4 Insättning av i 5 y 0 ger: 5 y 0 0 y 0 0 y 5 y Svar: Ekvationssystemet har lösningen y 5 ( y y ) 4. y y ( 0, y 0, y ) y y y y( ( y y ) y( y) ( + y)( y) + y y) y( y )

7 5. a) v 5, 7 u 5, 7, 5, 7 (,4) svar: v (,4) v + b) ( ) Svar: v Vi bestämmer funktonens nollställen, f ( ) 0, för att sedan kunna bestämma symmetrilinjen. Funktionen skrivs först om f ( ) ( 4) Sätt f ( ) 0 0 ( 4) Nollproduktsmetoden ger: Symmetrilinje ligger mittemellan funktionens nollställen, alltså är symmetrilinjen. Vi sätter in i funktionen för att beräkna funktionens största värde. f () Svar: Funktionens största värde är 8

8 7. Skriv om ekvationen: Kvadrering ger: ( ) + 0 Pq formeln ger lösningarna: ± + ± 9 4 ± ösningarna provas genom insättning i ursprungsekvationen: : V: + H: V H, ingen lösning : V: + ( ) + H: V H Svar: Ekvationen har lösningen.

9 8. injen kan skrivas som y + vilket ger riktningskoefficienten k För linjer som är vinkelräta mot varandra gäller: k k inje : s riktningskoefficient blir således: k k inje ekvation blir y + m m fås genom att använda punkten ( 5, ) : 5 + m 6 m Ekvationen blir då y 6 Svar: injens ekvation är y Tredjegradspolynomet p() kan skriva som p ( ) k( + )( )( 0) Eftersom polynomet skulle ha värdet noll för, och 0. Då återstår att 45 bestämma konstanten k. Insättning av punkten, ger: k ( + )( )( 0)

10 k( + )( )( ) k 7 45 k 4 ( ) ( 9) k 4 Polynomet blir då p ( ) ( + )( )( 0) 4 Svar: Polynomet är p ( ) ( + )( )( 0). 4 0.

11 åt v vara den vinkel som visas i figuren. ängden h på den längre kateten får från Pythagoras sats: ( 4) h + ( ) h ( 4) ( ) h ± ( 4) ( ) ± ( h > 0 ) Vi får tan v 6 Svar: Tangens för vinkeln v är 6.. Vi söker brytpunkter för uttrycken i absolutbeloppstecknen: Enligt definitionen av absolutbelopp gäller då 4 (4 ) då 4 (4 ) då > 4 () då 0 () då < 0 Vi försöker hitta lösningar i de olika fallen: () 4 och 0 dvs 0 4

12 4 + ösningen ligger i det givna intervallet (). 4 och < 0 dvs. < 0 4 () ösningen ligger i det givna intervallet () > 4 och 0 dvs. > 4 (4 ) Denna lösning ligger inte i det givna intervallet. (4) > 4 och < 0 det finns inga som uppfyller dessa villkor Svar: Ekvationen har lösningarna och -.

13 . Den skuggade topptriangeln är likformig med den stora triangeln. Om vi kan bestämma längdskalan ( y/ )kan vi sedan få fram areaskalan. Vi börjar med att bestämma med hjälp av den största triangeln som har hypotenusan med värdet : cos 0 cos 0 Från triangeln med hypotenusan kan vi på liknande sätt bestämma y: cos 0 y y cos 0 4 ängdskalan blir då y / / 4 4 Areaskalan(som är längdskalan upphöjt med ) ges då av

14 4 9 6 Svar: Den skuggade triangeln utgör 6 9 av den största triangeln.

15 Preliminär Rättningsmall:. Rätt/fel p/0p. Rätt/fel p/0p. Fel värde på -p Fel värde på y -p 4. Rätt/fel p/0p 5. a) Rätt/fel p/0p b) Rätt/fel p/0p 6. Svarar med koordinater -p 7. Prövning/kontroll saknas -p 8. Rätt beräknat k-värde för den andra linjen +p 9. Svarar inte med ett eakt värde på k -p 0. Ej förenklat svar -p. Delar inte upp ekvationen i tre fall -p Korrekt ersatta absolutbelopp och intervallen framgår tydligt, sen fel. -p Hittar samtliga lösningar, inklusive de falska, men inget resonemang om lösningars giltighet -p Felaktigt resonemang om lösningars giltighet -p/gång Definitionsmängder saknas, korrekt prövning av lösningars giltighet utan formella fel. -0p. Felaktig likformighetsekvation -alla poäng Ingen kommentar om likformighet(/topptriangel) varken i tet eller markerat i figur -p Gradtecken saknas helt eller delvis i beräkning ej avdrag under HT (Avdrag kommer göras fr.o.m period d.v.s. när ni börjat använda radianer)

16