TENTAMEN. Matematik för basår I. Stenholm :00-12:00

Transkript

1 Kursnummer: Moment: Program: Rättande lärare: TENTAMEN HF00 Matematik för asår I TENA /TEN Tekniskt asår Niclas Hjelm, Philip Köck & Jonas Stenholm Niclas Hjelm :00-:00 Eaminator: Datum: Tid: Hjälpmedel: Formelsamling: ISBN eller ISBN (utan anteckningar). Inga andra formelsamlingar är tillåtna! Miniräknare, penna, radergummi, linjal, gradskiva Omfattning och etygsgränser: Poäng Betyg F 4 E 5 7 D 8 0 C 3 B 4 6 A Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar. Lösningarna skall vara tydliga och lätta att följa. Införda eteckningar skall definieras. Uppställda samand skall motiveras. Skriv helst med lyertspenna! Svaret ska framgå tydligt och vara förenklat så långt som möjligt. Svara med enhet och lämplig avrundning på tillämpade uppgifter. Svara eakt på övriga uppgifter, om inte annat anges.

2 Är du godkänd på KS hoppar du över uppgift -. Lös ekvationen 3 =. Förenkla uttrycket a a så långt som möjligt. Är du godkänd på KS hoppar du över uppgift Bestäm h om linjen inuti triangeln är en parallelltransversal. 4. Lös ut ur formeln ad = + d, där alla ingående storheter är positiva. c Dessa uppgifter gör alla 5. Låt u vara vektorn från punkten (4,5) till punkten (3,). Låt v = (,6). Beräkna u+ v. 6. Lös ekvationen 56 =. 7. Lös ekvationen = 3 8. Förenkla uttrycket + n n så långt som möjligt 9. En trappa skall konstrueras så att redden cm och höjden h cm hos varje steg i trappan uppfyller villkoret 3+ 8h= 6. Bestäm och h för en trappa med lutningen 30. (Se figur.) Svar skall ges med tre värdesiffror.

3 0. Figuren visar grafen till ett andragradspolynom y. ( ) Polynomets skärningspunkter med koordinatalarna har heltalskoordinater och är markerade i figur. Några andra avläsningar i figuren kan inte göras. Bestäm polynomet.. Låt f( ) = och g ( ) =. Lös ekvationen f( g ( )) =. (3p). Alla hörnen hos en rätvinklig triangel ligger på kurvan y=. Den räta vinkelns hörn ligger i origo. Visa att hypotenusan hos varje sådan triangel skär y-aeln i samma punkt, samt estäm denna punkt. (3p)

4 . = 3 3 = 0 ( ) = 0 = = 0 eller 0 = ± + Lösningsförslag = ± Svar: = 0, =, 3 = +. a a a a a = = = = a a a a a a a a Svar: a 3. En parallelltransversal avskär en topptriangel som är likformig med hela triangeln. v v Likformighet/topptriangelsatsen ger: h, 6,3 = h 9,0 9, 0( h,) = 6,3h 9, 0h 8,9 = 6,3h,7h= 8,9 8,9 h= 7,0 km,7 Svar: Sträckan h är 7,0 km. 4.

5 ad = + d c ad d = c c( ad d) = cd( a ) = Svar: = cd( a ) Alternativa svar: = c( ad d) eller = acd cd 5. Vektorn u eräknas enligt slutpunkt-startpunkt u = (3,) (4,5) = (, 4) Vektorn u+ v eräknas: u+ v = (, 4) + (,6) = (,) Till sist får vi eloppet som: u+ v = + = 5 6. Med sustitutionen = t fås (notera att = ( ) = t ) 56 t = t 56 = 0 t = ± t = ± t = ± 4 5 t = ± t = 7 t = 8 Vi sustituerar tillaka och får: = 7 = 8 Svar: = 3 ********** saknar lösning = = 3 Komplettering till lösningsförslaget. Många studenter har gjort följande: 3 = 56 = 6 3 eller ( ) = 3 ( 3 ) vilket är en snygg omskrivning. = 3 lir nu en uppenar (trivial?) lösning till ekvationen. Prolemet är att man inte visar att detta är enda lösningen. Nu råkar den andra lösningen vara falsk, men detta visas inte.

6 Studera följande prolem: 3 = 3 = 3 eller ( 3) = ( 3) = lir även här en uppenar lösning till ekvationen. Prolemet är att detta inte är den enda lösningen. = 0 är också en lösning. Samtliga lösningar hittas om man gör enligt lösningsförslaget. 7. då = ( ) då < + = 3 = 3 = 5 0= 5 = 0 = 5 Tillhör inte intervallet Tillhör intervallet Svar: = = + = + = + = n n n n n n n n n n n n n n + = { a = ( a) } = + = = n n n n n ( ) Svar: 9. Det givna villkoret mellan och h ger: h= 6 8h= 6 3 h= () 8 Trappan skall luta 30º. Detta ger oss ekvationen: /

7 h 6 3 tan 30 = tan 30 = 8 8 tan 30 = tan 30 = tan = 6 6 = tan 30 8, 4 Detta insatt i ekv () ger: 6 3 8,3 h 6, 4 8 Svar: Trappsteget har redden 8,4 cm och höjden 6,4 cm. 0. Ett andragradspolynom kan skrivas y( ) = k( )( ). Det finns ara ett värde för vilket y ( ) = 0. Det inneär att vi har följande nollställen: = = 5. Enligt faktorsatsen gäller då att polynomet har två faktorer ( + 5). Vi kan nu skriva polynomet y ( ) = k ( + 5)( + 5) = k ( + 5) Eftersom punkten (0, 0) ligger på grafen kan k estämmas: y(0) = 0 k + = (0 5) 0 5k = 0 0 k = = 5 5 Svar: y ( ) = ( + 5) 5 Alternativ lösning: Symmetrilinjen går genom andragradspolynomets ma/minpunkt. Vi avläser symmetrilinjen till = 5. En punkt på grafen är (0, 0). Av symmetriskäl vet vi att även ( 0, 0) ligger på grafen. Vi får nu ( ) = + + f a c a = f( 0) = 0 00a 0+ c= 0 5 f( 5) = 0 5a 5+ c= 0 = 4 f(0) 0 c 0 = = c= 0 Svar: f 5 ( ) = 4 0

8 . f( g ( )) = = = 3 = 4 3 = 8 3 = 8 9 = 64 Lösningar till en rotekvation måste prövas i ursprungsekvationen! 9 3 VL = = = = = HL = VL = HL 9 Svar: = 64.

9 Ett hörn ligger i punkten O=(0,0). De två andra hörnen A och B ligger på paraeln, vi inför eteckningarna A= ( aa, ) och B= (, ). Riktningskoefficienterna för sträckorna OA och OB tecknas: a 0 0 koa = = a kob = = a 0 0 Vinkeln AOB är rät, detta ger villkoret koa kob = a = = a (Samandet kan även fås med t e Pythagoras sats.) Riktningskoefficienten för sträckan AB: a a a + a a a kab = = = a a a a + a a Linjen AB:s ekvation kan nu skrivas (med lutning enligt ovan och punkten A känd): y = k + m a = a a+ m a m = Linjen som går genom A och B har alltså alltid m -värdet, d v s linjen passerar punkten (0,), för alla punkter A och B. [Att denna punkt dessutom ligger på nämnda linje d v s hypotenusan är uppenart, ty de två punkterna A och B kommer att ha olika tecken på sin -koordinat.] Svar: De skär y-aeln i punkten (0,).

10 Rättningsmall Generella riktlinjer för tentamensrättning Varje eräkningsfel (Därefter fortsatt rättning enligt nya förutsättningar) Beräkningsfel; allvarliga och/eller leder till förenkling Prövning istället för generell metod Felaktiga antaganden/ansatser - poäng - poäng eller mer - samtliga poäng - samtliga poäng Lösning svår att följa och/eller Svaret framgår inte tydligt - poäng eller mer Matematiska symoler används felaktigt/saknas -poäng eller mer Bl.a Om = saknas (t.e. => används istället) - poäng/tenta Om = används felaktigt (t.e. istället för => ) - poäng/tenta Teoretiska uppgifter: Avrundat svar Tillämpade uppgifter: Enhet saknas/fel Avrundningar i deleräkningar som ger fel svar Svar med felaktigt antal värdesiffror ( ± värdesiffra ok) Andra avrundningsfel Uppgiftsspecifika rättningsanvisningar - poäng/tenta - poäng/tenta - poäng/tenta - poäng/tenta - poäng/tenta. Varje saknad/felaktig lösning -p a. Felaktig förenkling = -p a a a 3. Motiverar inte likformighet genom tet eller genom att markera lika stora vinklar i figur -p 4. Felaktig förkortning (t e påstår att a = + ) c -p Felaktig förlängning (t e påstår att adc = + d ) -p Varje teckenfel -p 5. Vektorn u felriktad men i övrigt korrekt d v s u = (, 4) -p Övriga felaktiga u -p Felaktig eräkning av eloppet, t e u+ v = u + v -p Svarar med eloppet ± 5 -p Felaktigt användande av rotlagar, t e + = + -p 6. Sustituerar inte tillaka -p Lösningen t = 7 saknas till andragradsekvationen / Det framgår inte tydligt att ekvationen = 7 saknar lösning -p Gör omskrivningen = 6 3, och identifierar koefficienterna rätt. -p Gör omskrivningen = 6 3, och skriver att = 6 3 -p

11 7. Delar inte upp ekvationen i två fall / Felaktig användning av definitionen av asolutelopp -p Felaktigt/utelivet resonemang om lösningars giltighet -p Definitionsmängder saknas, men korrekt prövning av lösningars giltighet utan formella fel. OK n 8. Ofullständigt förenklat svar (t e + n n -p Korrekt villkor i en variael t e tan 30 =, fel vid eräknandet 8 -p Svarar ara med h eller ara med -p 0. Svarar inte med ett andragradspolynom -p Fel värde på k -p. Korrekt uppställd ekvation = +p Prövning saknas / formellt felaktig prövning -p. Felaktigt villkor för vinkelräta linjer -3p Felaktigt likformighetssamand -3p Otydligt motiverat svar (T e i punkten (0,m) där det inte framgår att m=) -p Rätt samand mellan a och (d v s = ) a +p