1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70

Transkript

1 1 Föreläsning tokes sats ats 1 åt vara en yta i R med randen. Vi antar att orienteringen på och är vald på ett sådant sätt att om man går längs i den valda riktningen då ligger till vänster (på vänstersidan). åt A vara ett vektorfält. Då är ( A) ˆnd. Bevis. Ramgard, s.7 Ex. 1 åt vara enhetskvadraten i xy planet, d.v.s. ges av x 1, y 1 och z =. åt också vara randen till. Räkna ut linjeintegralen av vektorfältet A = (y + x )ˆx + (x + y )ŷ längs kurvan. Orientering moturs sett från (,, 1). ösning. Enligt tokes sats är ( A) ˆnd där normalen måste väljas som ˆn = ẑ (läs om valet av orienteringar i tokes sats). Eftersom A = ẑ har vi att ( A) ˆnd = ẑ ẑd = d = 1. var:. 1 Ex. (Flödet av rotationen av ett vektorfält, Tentamen 1 jan., 1998, 4) Beräkna ( sin ϕ r ˆϕ) ˆnd där är ytan z = ρ 1, z 1 och ˆn är riktad bort från z-axeln. ösn. Randen till ytan består av två cirklar 1 : ρ = 1, z = och : ρ =, z = 1. För att använda tokes sats måste man välja orienteringen på 1 moturs och på medurs sett från (,, ). Nu använder vi tokes sats ( baklänges ) = = ( sin ϕ r ˆϕ) ˆnd = π π r ˆϕ ˆϕdϕ dϕ π π 1 1+ r dϕ = π sin ϕ r ˆϕ dr ˆϕ ˆϕdϕ ( ) 1

2 Ex. (kurvan är ej sluten, Tentamen 11 jan., 1999, ) Beräkna linjeintegralen av vektorfältet A = xˆx + yŷ + zẑ längs kurvan r = + sin ϕ, θ = ϕ där ϕ π/. ösn. Vi presenterar två metoder för att lösa uppgiften. 1. Man kan kontrollera att A =. Kurvan (vi ska beteckna den med ) har startpunkten ϕ = θ =, r = (eller (,, ) i kartesiska koordinater) och slutpunkten ϕ = θ = π/, r = (eller (,, ) i kartesiska koordinater). Vi inför sträckan 1 med startpunkten i (,, ) och slutpunkten i (,, ). Då blir kurvan + 1 sluten och omsluter en yta. Nu använder vi tokes sats ( A) ˆnd =. + 1 A dr. 1 För att räkna ut integralen i högerledet parametriserar vi kurvan 1 som r(t) = (, (1 t), t), t 1. Vi har 1 1. Vektorfältet A har en potential (x, y, z) (,, )dt = 1 Φ = 1 (x + y + z ). ( 9 + 1t)dt = 5. Kontrollera! å var. 5/. Φ(,, ) Φ(,, ) = 5. Ex.4 ( A men A ˆn =, Tentamen 4 juni 1999, ) Beräkna linjeintegralen av vektorfältet A = xz ˆx + yzŷ längs skärningskurvan x +y +z = 1, x+y+z = där x. Orienteringen väljer du själv. ösn. Vi har A = ( y, x, ). Men en normal till ellipsoiden är (x, 4y, z) och ( y, x, ) (x, 4y, z) =. Om ytan ligger på ellipsoiden är ( A) ˆn =. kärningskurvan (vi ska beteckna den med ) har ändpunkterna (, 1/, 1/) och (, 1/, 1/). Vi väljer den första som startpunkten och den andra som slutpunkten. Vi inför kurvan 1 som en del av skärningskurvan (egentligen är det en del av cirkeln med radien 1/ som ligger i yz planet) x +y +z = 1, x = med startpunkten i (, 1/, 1/) och med slutpunkten i (, 1/, 1/).

3 Vi inför också ytan som ligger på ellipsoiden mellan kurvorna och 1. Nu använder vi tokes sats ( A) ˆnd =. + 1 A dr. 1 Vi parametriserar 1 som x =, y = 1/ cos ψ, z = 1/ sin ψ, π/4 ψ π/4. Vi har 1 = 1 π/4 π/4 π/4 π/4 1. ite mer om potentialer (xz, yz, ) (, 1/ sin ψ, 1/ cos ψ)dψ sin ψ cos ψdψ = 1 [sin ψ] π/4 π/4 = 1 6 åt V vara ett område i R och låt A vara ett vektorfält i V. Vi har visat följande sats. ats åt V vara ett område R och låt A vara ett kontinuerligt deriverbart vektorfält. Följande tre påståenden är ekvivalenta: 1. A har en potential;. A dr beror bara på ändpunkterna av för som ligger i V ;. för varje sluten kurva i V. Här vill vi diskutera ett annat villkor som garanterar att vektorfältet A har en potential. Vi vet att om vektorfältet A har en potential så måste A =. Nu vill vi svara på frågan: När garanterar villkoret A = att vektorfältet har en potential? Det visar sig att detta gäller för så kallade enkelt sammanhängande områden. Def. Ett område V kallas enkelt sammanhängande om varje sluten kurva i V kan kontinuerligt deformeras till en punkt i V utan att lämna V. Följande mängder är enkelt sammanhängande: a) cirkelskiva i R ; b) ett klot i R ; c) R ; d) R \ origo. Exempel på områden som inte är enkelt sammanhängande är: a) R \ origo; b) R \ z axeln. ats åt V vara ett enkelt sammanhängande område och låt A vara ett kontinuerligt deriverbart vektorfält. Då gäller att A har en potential om och endast om A = i V.

4 Bevis. Om A har en potential Φ (d.v.s. Φ = ) så är A = ( Φ) =. Omvänt, låt A = och låt vara en sluten kurva i V. Eftersom V är enkelt sammanhängande kan man visa att är randen till en yta som ligger i V. Enligt tokes sats är ( A) ˆnd =. Enligt sats har A en potential. Ex.5 åt V = R \ z axeln. Det här området är ej enkelt sammanhängande. Betrakta vektorfältet A = 1 ρ ˆϕ i området V. Man kan kontrollera att A = i V. För att visa att det här vektorfältet inte har en potential tar vi en sluten kurva med parametriseringen ρ = 1, ϕ = ϕ, z =, ϕ < π. Det är enhetscirkeln i planet z =. Vi har π 1 ˆϕ ˆϕdϕ = π. ρ Det visar (enligt sats ) att vektofältet inte kan ha potential. Ex.6 (Vektorfält med singularitet) åt A vara samma vektorfält som i det föregående exemplet och vara skärningskurvan mellan cylindern ρ = 1 och planet x + y + z = 1. Vi väljer orienteringen på moturs sett från (,, 1). Bestäm linjeintegralen A dr. ösn. 1. (Fel lösning.) Rotationen av A är noll. åt vara området som omsluts av. Användes tokes sats för med randen fås att linjeintegralen är. Felet här är att innehåller singulariteter för A (fältet A har singulariteter längs hela z axeln).. (Korrekt lösning.) åt 1 vara kurvan ρ = 1, z = med orientering medurs sett från (,, 1). åt också vara ytan som ligger på cylindern ρ = 1 mellan kurvorna och 1. Nu innehåller inte singulariteter till A och tokes sats ger + 1 eller π enligt Ex.5 1 4

5 Ex.7 (En invariant definition av rotationen.) Betrakta A i punkten P. Vi väljer en riktningen ˆn och inför cirkelskivan ε med centrum i P och radien ε som ligger i planet ortogonalt mot ˆn. Om ε är randen till ε så har vi (efter rätt val av orientering på ε ) ( A) ˆnd. ε ε För små ε kan man skriva att ε ( A) ˆnd πε ( A(P )) ˆn. 1 ( A(P )) ˆn = lim ε πε A dr. ε Den här formeln ger en invariant definition av rotationen av vektorfält (högerledet är definierat utan val av kartesiska koordinater). 5