Vektoranalys I. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik

Transkript

1 Vektoranalys I Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 2 september 2015

2 Översikt över de tre föreläsningarna 1. Grundläggande begrepp inom vektoranalysen, nablaoperatorn samt kroklinjiga koordinatsystem. Övningar. 2. Kurvor och ytor samt olika slags integraler. Övningar. 3. Gauss och Stokes satser. Övningar.

3 Översikt 1 Vektorer & vektorfält, Kap Vektoroperationer Skalära fält och vektorfält 3 Nablaoperatorn, Kap. 1.2 Räkneregler 4 Kroklinjiga koordinater, Kap. 1.4 Kartesiska koordinater Cylindriska (polära) koordinater Sfäriska koordinater Lathund transformation mellan enhetsvektorer 5 Övningar Svar Lösningsskisser

4 Vektorer Elementär diskussion I Vektorer är riktade sträckor (representerar storheter med både storlek och riktning, t.ex. hastighet, kraft, acceleration) Beteckning: E, längd (storlek) E = E riktning Ê = E/E (enhetslängd) Origo ^E E

5 Vektorer Elementär diskussion II Vektorer är element i ett linjärt rum (vektorrum), d.v.s. de kan adderas (subtraheras) och multipliceras med en skalär C=A+B B D=aA A

6 Koordinatsystem För att representera vektorer använder vi ett ortonormerat kartesiskt koordinatsystem och en skalärprodukt Ortsvektorn: r = x ˆx + yŷ + zẑ (= x 1 ê 1 + x 2 ê 2 + x 3 ê 3 ) ^e 3 z r x y ^e 2 ^e 1 Basvektorer: ˆx = ê 1, ŷ = ê 2, ẑ = ê 3 Ortsvektorns komponenter: x, y och z (eller x 1, x 2 och x 3 )

7 Vektoroperationer I Skalärprodukt: definierar vinklar mellan vektorer u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 = 3 u i v i = uv cos φ i=1 v Á u

8 Vektoroperationer II Vektorprodukt: Två (polära) vektorer, u och v, definierar en ny (axial) vektor w, genom vektorprodukten w = u v Den nya vektorn ges av determinantschemat ê 1 ê 2 ê 3 w = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 u u v Á v w är vinkelrät mot både u och v, w = uv sin φ

9 Vektoroperationer III Skalär trippelprodukt { V (u v) w = V om u, v, w positivt orienterade om u, v, w negativt orienterade u v w u v V är parallellepipedens volym som spänns upp av u, v och w Cyklisk permutation: (u v) w = (w u) v = (v w) u = (v u) w

10 Vektoroperationer IV BAC-CAB-regeln A (B C) = B(A C) C(A B)

11 Skalära fält och vektorfält I Ett fält är en funktion av R 3 (eventuellt R 2 ) Fältet är skalärt om värdemängden är R Temperaturen i en kropp Trycket i en vätska Elektriska potentialen V (r) från en laddningsfördelning Fältet kallas vektorfält om funktionens värdemängd är R 3 (eventuellt R 2 ) Hastigheten hos en partikel i en vätska Gravitationskraften Elektriska fältet från en laddningsfördelning

12 Skalära fält och vektorfält II Skalärt fält: ψ : R 3 R Vektorfält: E : R 3 R 3 Exempel i två dimensioner E : R 2 R 2 Källor och sänkor

13 Translation av koordinatsystem I ett translaterat koordinatsystem, translation r 0, representeras ortsvektorn med komponenterna x, y och z : r = xê 1 + yê 2 + zê 3 = x ê 1 + y ê 2 + z ê 3 Samband mellan komponenterna kan ges som x x x 0 y = y y 0 z z z 0 ^e3 ^e3 r 0 ^e2 ^e1 r 0 r ^e2 ^e1

14 Rotation av koordinatsystem I ett roterat koordinatsystem, nya enhetsvektorer ê 1, ê 2, ê 3, representeras ortsvektorn med komponenterna x 1, x 2 och x 3 : r = x 1 ê 1 + x 2 ê 2 + x 3 ê 3 = x 1ê 1 + x 2ê 2 + x 3ê 3 Samband mellan komponenterna kan ges som x 1 a 11 a 12 a 13 x 1 x 2 = a 21 a 22 a 23 x 2 a ij = ê x 3 i ê j a 31 a 32 a 33 x 3 ^e3 ^e 0 3 ^e2 ^e 0 1 ^e1 ^e 0 2

15 Definition av skalärt fält En funktion ψ är ett skalärfält om funktionens värde är detsamma vid byte av koordinatsystem, d.v.s. vid rotation ψ (x 1, x 2, x 3) = ψ(x 1, x 2, x 3 )

16 Definition av vektorfält, Kap I Ett vektorfält v är en storhet vars komponenter transformeras som ortsvektorn vid rotation av koordinatsystem v 1 (x 1, x 2, x 3 ) a 11 a 12 a 13 v 1 (x 1, x 2, x 3 ) v 2 (x 1, x 2, x 3 ) = a 21 a 22 a 23 v 2 (x 1, x 2, x 3 ) v 3 (x 1, x 2, x 3 ) a 31 a 32 a 33 v 3 (x 1, x 2, x 3 ) eller v i = 3 a ij v j, i = 1, 2, 3 j=1

17 Nablaoperatorn I Differentiering av vektorfält utförs med nablaoperatorn = ˆx x + ŷ y + ẑ ( ) = ê 1 + ê 2 + ê 3 z x 1 x 2 x 3 1. Gradienter på skalära fält ψ ψ(r) = ˆx ψ(r) x + ŷ ψ(r) y + ẑ ψ(r) z Anger riktning och storlek på ψ:s variationer Gradienten transformerar ett skalärt fält till ett vektorfält, d.v.s. det är en vektor Riktningsderivatan av ψ i en riktning ê ges av = ê ψ(r) ψ(r) e

18 Nablaoperatorn II 2. Divergens på vektorfält E E(r) = E x(r) x + E y (r) y + E z(r) z Kvantifierar hur mycket ett vektorfält sprider ut sig från punkten r Divergensen transformerar ett vektorfält till ett skalärt fält

19 Nablaoperatorn III 3. Rotationen (Curl) på ett vektorfält E ˆx ŷ ẑ E(r) = x y z E x E y E z Kvantifierar hur mycket ett vektorfält snurrar runt punkten r Rotationen transformerar ett vektorfält till ett nytt vektorfält

20 Flera viktiga vektoroperationer 1. ( ψ(r)) = 0 2. ( E(r)) = 0 3. Laplace-operatorn ( ψ(r)) = 2 ψ(r) = ψ(r) Omvändningen 1. E(r) = 0 existerar ett skalärt fält V (ej entydigt, kallat vektorfältets potential): E(r) = V (r) 2. E(r) = 0 existerar ett vektorfält A (ej entydigt, kallat vektorfältets vektorpotential): E(r) = A(r) Exempel: Elektrisk potential V (r): E(r) = V (r)

21 Räkneregler I 1. (ϕ + ψ) = ϕ + ψ 2. (ϕψ) = ψ ϕ + ϕ ψ 3. (a b) = (a )b + (b )a + a ( b) + b ( a) 4. (a b) = (a b) + 2(b )a + a ( b) +b ( a) + a( b) b( a) 5. (a + b) = a + b 6. (ϕa) = ϕ( a) + ( ϕ) a 7. (a b) = b ( a) a ( b) 8. (a + b) = a + b 9. (ϕa) = ϕ( a) + ( ϕ) a 10. (a b) = a( b) b( a) + (b )a (a )b

22 Räkneregler II 11. (a b) = (a b)+2(b )a+a ( b)+b ( a)+a( b) b( a) 12. ϕ = 2 ϕ = ϕ 13. ( a) = ( a) 2 a 14. ( ϕ) = ( a) = (ϕψ) = ϕ 2 ψ + ψ 2 ϕ + 2 ϕ ψ 17. r = ˆr 18. r = ˆr = r = ˆr = 2/r

23 Räkneregler III 22. (a r) = a, a konstant vektor 23. (a )r = a 24. (a )ˆr = (a ˆr(a ˆr)) /r = a /r (r a) = 2 a + r ( 2 a) 26. u(f ) = ( f ) du df 27. F (f ) = ( f ) df df 28. F (f ) = ( f ) df df 29. = ˆr(ˆr ) ˆr (ˆr )

24 Kroklinjiga koordinater I Kartesiska koordinater beskrivs (representeras) ortsvektorn r med komponenterna x, y och z (eller x 1, x 2 och x 3 ) så att r = x ˆx + yŷ + zẑ = x 1 ê 1 + x 2 ê 2 + x 3 ê 3 Det finns andra möjligheter att representera ortsvektorn som är mer lämpliga i speciella geometrier, s.k. kroklinjiga koordinater De viktigaste i denna kurs är: 1. Kartesiska koordinater x, y och z (eller x 1, x 2 och x 3 ) 2. Cylindriska koordinater (polära koordinater): r c, φ och z 3. Sfäriska koordinater: r, θ och φ så att r = x ˆx + yŷ + zẑ = r cˆr c + zẑ = rˆr

25 Kartesiska koordinater ^e3 z r y ^e2 x ^e1 Enhetsvektorer: {ê 1, ê 2, ê 3 } = {ˆx, ŷ, ẑ} Koordinater: {x, y, z} r = xê 1 + yê 2 + zê 3, A = A x ê 1 + A y ê 2 + A z ê 3

26 Differentiering i Kartesiska koordinater ψ = ˆx ψ x + ŷ ψ y + ẑ ψ z 2 ψ = 2 ψ x ψ y ψ z 2 A = A x x + A y y + A z z ( Az A = ˆx y A y z ) + ŷ 2 A = ˆx 2 A x + ŷ 2 A y + ẑ 2 A z ( Ax z A ) ( z Ay + ẑ x x A ) x y

27 Cylindriska (polära) koordinater z ^e3 r ^e2 r c = x 2 + y 2 arccos φ = 2π arccos z = z x x 2 y 0 +y 2 x y < 0 x 2 +y 2 Á r c ^z ^Á ^r c ^e1 Enhetsvektorer: {ˆr c, ˆφ, ẑ} Koordinater: {r c, φ, z} r = r cˆr c + zẑ, A = A cˆr c + A φ ˆφ + A z ẑ

28 Differentiering i cylindriska (polära) koordinater A = 1 r c ψ ψ = ˆr c + r ˆφ 1 ψ c r c φ + ẑ ψ z 2 ψ = 1 r c r c ( r c ψ r c (r c A c ) + 1 A φ r c r c φ + A z z ( 1 A z A = ˆr c r c φ A φ z ) + ˆφ + ẑ 1 ( (r c A φ ) A c r c r c φ ( 2 A = ˆr c 2 A c A c rc 2 2 rc 2 + ẑ 2 A z A φ φ ) ψ rc 2 φ ψ z 2 ( Ac z A ) z r c ) ) + ˆφ ( 2 A φ A φ rc rc 2 ) A c φ

29 Sfäriska koordinater ^e3 µ r r ^r ^µ ^Á r = x 2 + y 2 + z 2 θ = arccos arccos φ = 2π arccos z x 2 +y 2 +z 2 x y 0 x 2 +y 2 x x 2 y < 0 +y 2 ^e2 Á θ är polvinkeln och φ azimutvinkeln ^e1 Enhetsvektorer: {ˆr, ˆθ, ˆφ} Koordinater: {r, θ, φ} r = rˆr, A = A rˆr + A θˆθ + A φ ˆφ

30 Differentiering i sfäriska koordinater I I ψ = ˆr ψ r + ˆθ 1 ψ r θ + ˆφ 1 ψ r sin θ φ 2 ψ = 1 ( r 2 r 2 ψ ) + 1 r r r 2 sin θ θ = 1 r 2 r 2 (rψ) + 1 r 2 sin θ θ ( sin θ ψ θ ( sin θ ψ θ ) + ) + 1 r 2 sin 2 θ 1 2 ψ φ 2 r 2 sin 2 θ q 2ψ φ 2

31 Differentiering i sfäriska koordinater II A = 1 ( r 2 ) 1 r 2 A r + r r sin θ ( 1 A = ˆr r sin θ θ (sin θa θ) + 1 r sin θ θ (sin θa φ) A ) θ φ ( 1 A r sin θ φ ) r (ra φ) + ˆφ 1 r + ˆθ 1 r ( 2 A r 2A r A φ φ ( r (ra θ) A r θ ) 2 A = ˆr r 2 2 A θ r 2 θ 2 cot θ r 2 A θ 2 A φ r 2 sin θ φ ( + ˆθ 2 A θ A θ r 2 sin 2 θ + 2 A r r 2 θ 2 cos θ ) A φ r 2 sin 2 θ φ ( + ˆφ 2 A φ A φ r 2 sin 2 θ + 2 r 2 sin θ A r φ + 2 cos θ r 2 sin 2 θ ) A θ φ )

32 Lathund transformation mellan enhetsvektorer (r, θ, φ) (x, y, z) ˆr = ˆx sin θ cos φ + ŷ sin θ sin φ + ẑ cos θ ˆθ = ˆx cos θ cos φ + ŷ cos θ sin φ ẑ sin θ ˆφ = ˆx sin φ + ŷ cos φ (x, y, z) (r c, φ, z) ˆx = ˆr c cos φ ˆφ sin φ ŷ = ˆr c sin φ + ˆφ cos φ ẑ = ẑ (x, y, z) (r, θ, φ) ˆx = ˆr sin θ cos φ + ˆθ cos θ cos φ ˆφ sin φ ŷ = ˆr sin θ sin φ + ˆθ cos θ sin φ + ˆφ cos φ ẑ = ˆr cos θ ˆθ sin θ (r c, φ, z) (x, y, z) ˆr c = ˆx cos φ + ŷ sin φ = ( ˆxx + ŷy)/ x 2 + y 2 ˆφ = ˆx sin φ + ŷ cos φ = ( ˆxy + ŷx)/ x 2 + y 2 ẑ = ẑ (r, θ, φ) (r c, φ, z) ˆr = ˆr c sin θ + ẑ cos θ ˆθ = ˆr c cos θ ẑ sin θ ˆφ = ˆφ (r c, φ, z) (r, θ, φ) ˆr c = ˆr sin θ + ˆθ cos θ ˆφ = ˆφ ẑ = ˆr cos θ ˆθ sin θ

33 Övningar vektorer 1. Visa att r = 3 genom att använda a) kartesiska koordinater, b) cylindriska koordinater, c) sfäriska koordinater. 2. Låt ψ(r) = 3x 2 + 5y 2 + 7z 2. Beräkna riktningsderivatan av ψ i riktningen ê = (3, 4, 5)/ 50 i punkten r = (1, 1, 1). 3. Låt ψ(r) = zr 3. Beräkna gradienten av ψ. 4. Låt A(r) = (3z 2 r 2 )r. Beräkna divergensen av A. 5. Låt A(r) = (a r)f (r)r där a är en konstant vektor och f (r) en differentierbar skalär funktion av avståndet r. Beräkna A. 6. Låt A(r) = (a r)f (r)r där a är en konstant vektor. Bestäm den skalära funktionen f (r) så att A = Problem 1.8 i Griffiths

34 Övningar vektorer svar ê ψ(r) = då r = (1, 1, 1) 3. ψ(r) = 3xz ê r 5 1 3yz ê r ( 1 r 3 3z2 r 5 ) ê 3 4. A(r) = 5r 2 (3 cos 2 θ 1) = (15z 2 5r 2 ) 5. A = (a r)f (r) oberoende av f :s form 6. f (r) = C r 4, C godtycklig konstant

35 Lösningsskiss 1 Använd A(r) = r = x ˆx + yŷ + zẑ = r cˆr c + zẑ = rˆr. Det ger A x = x, A y = y, A z = z, A rc = r c, A φ = 0, A r = r, A θ = 0. För divergensen gäller då enligt formelsamlingen A = A x x + A y y + A z y = 3 A = 1 r c r c (r c A rc ) + A z y = = 3 A = 1 r 2 r (r 2 A r ) = 3

36 Lösningsskiss 2 Vi börjar med att beräkna gradienten av ψ(r) = 3x 2 + 5y 2 + 7z 2. ψ(r) = 6x ˆx + 10yŷ + 14zẑ Riktningsderivatan ges av ê ψ(r), d.v.s. ê ψ(r) = (3ˆx + 4ŷ + 5ẑ) (6x ˆx + 10yŷ + 14zẑ) / 50 = (18x + 40y + 70z) / 50 Speciellt i punkten r = (1, 1, 1) blir riktningsderivatan ê ψ(1, 1 1) = ( ) / 50 = 12/ 50 = 6 2/5

37 Lösningsskiss 3 Beräkna gradienten av ψ(r) = zr 3 genom räkneregel 2 för nabla-operatorn, och evaluera gradienterna i kartesiska respektive sfäriska koordinater. ( zr 3) = r 3 z + z r 3 = r 3 ẑ 3zr 4ˆr = r 5 ( x 2 + y 2 + z 2) ẑ 3zr 5 (x ˆx + yŷ + zẑ) = 3xz 3yz ˆx r 5 r 5 ŷ + ( 1 r 3 3z2 r 5 ) ẑ

38 Lösningsskiss 4 Låt A(r) = (3z 2 r 2 )r. Det finns flera sätt att bestämma A. Ett sätt är att utrycka A(r) i kartesiska koordinater och kartesiska enhetsvektorer. Ett annat sätt är att utrrycka A i sfäriska koordinater. I det sistnämnda fallet gäller (notera att z = r cos θ) Formelsamlingen ger A(r) = A rˆr = (3 cos 2 θ 1)r 3ˆr A(r) = 1 r 2 r (r 2 A r ) = (3 cos 2 θ 1)5r 2 = 15z 2 5r 2

39 Lösningsskiss 5 Beräkna rotationen av A(r) = (a r)f (r)r genom räknereglerna 9 och 2. ((a r)f (r)r) = (a r)f (r) r + ((a r)f (r)) r = (f (r) (a r) + (a r) f (r)) r eftersom r = 0. Nu gäller för konstant vektor a att (a r) = a och att f (r) r = f (r)ˆr r = 0 Således A = (a r)f (r) oberoende av f :s form

40 Lösningsskiss 6 Beräkna divergensen av A(r) = (a r)f (r)r genom räknereglerna 6 och 2. ((a r)f (r)r) = (a r)f (r) r + ((a r)f (r)) r = 3(a r)f (r) + (f (r) (a r) + (a r) f (r)) r eftersom r = 3. Nu gäller för konstant vektor a att (a r) = a och att f (r) r = f (r)ˆr r = rf (r) Således gäller ((a r)f (r)r) = (a r) ( 4f (r) + rf (r) )

41 Lösningsskiss 6, forts. Om divergensen skall vara noll krävs att f 4f (r) (r) = r med lösning f (r) = C r 4, C godtycklig konstant

42 Ekvation (29) ger och ( Ay A z ( By B z Lösningsskiss 7 ) ( ) ( ) cos φ sin φ Ay = sin φ cos φ A z ) ( ) ( ) cos φ sin φ By = sin φ cos φ Bilda skalärprodukten i det roterade systemet A y B y + A z B z = (A y cos φ + A z sin φ) (B y cos φ + B z sin φ) + ( A y sin φ + A z cos φ) ( B y sin φ + B z cos φ) = A y B y ( cos 2 φ + sin 2 φ ) + A z B z ( cos 2 φ + sin 2 φ ) B z = A y B y + A z B z