Lektionsanteckningar. för kursen Matematik I:1

Transkript

1 Lektionsanteckningar för kursen Matematik I: till mina studenter i TBASA-AV VT05 Håkan Strömberg

2 TBASA-GH4 Planering i matematik I: P 4/5 Lärare: Niclas Hjelm niclas.hjelm@sth.kth.se (Niclas är pappaledig tisdagar och onsdagar under hösten!) Examinator: Niclas Hjelm Kursnr: HF00 Kursmapp: U:\KURS\HF00_Matematik för basår I Läromedel: Alfredsson, Bråting, Erixon, Heikne: Matematik 5000 Kurs 3c Blå Basåret ISBN Förlag: Natur och kultur Alphonce, Pilström; Formler och tabeller ISBN Förlag: Natur och Kultur eller den äldre upplagan Björk m.fl: Formler och tabeller ISBN Förlag: Natur och Kultur Kursbunt (utdelas vid kursstart) Datum Avsnitt Sidor i bok (KB = Kursbunt) Räkning med polynom 0-3, Andragradsekvationer 9-3 Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer -3, (ej u63-63) 4 Polynom i faktorform Rationella uttryck Förlängning och förkortning Addition och subtraktion Multiplikation och division Algebraiska uttryck och algebraiska metoder Implikation och ekvivalens KB 9 Repetition inför kontrollskrivning Kontrollskrivning 0 Potenser. 4-5 Kvadratrötter. Absolutbelopp. 6-8 Avrundning och gällande siffror Likformighet Areaskala. Volymskala. Bevis med likformighet KB Trigonometri Trigonometri Funktioner Räta linjen

3 7 Räta linjen KB 6 Direkt proportionalitet 66 8 Repetition inför kontrollskrivning Kontrollskrivning 9 Linjära ekvationssystem KB Andragradsfunktioner 48-5 Formelhantering KB 6-8 Olikheter Vektorer Komposanter, koordinater och vektorlängd Krafter och hastigheter Repetition inför kontrollskrivning 3 Kontrollskrivning 3 7 Repetition inför tentamen Tentamen Räknestugor Fredagar kl 3-5 ordnas räknestuga. Dessa syns på ert schema. Kontrollskrivningar (KS) Student som erhåller åtminstone 7 poäng av möjliga på en kontrollskrivning kan tillgodogöra sig bonus på ordinarie tentamen. Student som blir godkänd på KS hoppar över uppgifter motsvarande 4 p. Student som blir godkänd på KS hoppar över uppgifter motsvarande p. Student som blir godkänd på KS 3 hoppar över uppgifter motsvarande p. Tillåtna hjälpmedel Vid kontrollskrivning och tentamen är godkänd miniräknare (ej symbolhanterande) samt formelsamlingen (utan anteckningar!) tillåtna hjälpmedel. Kursmapp I kursmappen U:\KURS\HF00_Matematik för basår I finns en del material ni kan ha nytta av, t ex Kursbunten (pdf-fil). Extra algebraövningar (pdf-fil). Detta är väsentligen svårare uppgifter på det som tillhör KS Gamla tentor och kontrollskrivningar. Eftersom denna kurs är ny finns inga gamla tentor och kontrollskrivningar. Dock hittar ni gamla tentor och kontrollskrivningar i kursmappen för den gamla kurserna U:\KURS\HF00_HF003_HF004. Vissa moment har tillkommit, andra har flyttats. För att se skillnaderna mellan gamla och nya kurserna, titta på Vad har ändrats i nya kursen (word-fil). Notera även att de gamla kontrollskrivningarna inte överensstämmer helt med de nya. Rekommenderade övningsuppgifter Övningsuppgifterna i läroboken är indelade i tre svårighetsnivåer, A, B och C. Vi rekommenderar att ni löser några få A-uppgifter (dessa testar om ni är bekanta med

4 terminologin) och därefter en hel del B-uppgifter (dessa är lagom svåra och är dessutom på samma nivå som de flesta tentauppgifterna. Har ni därefter tid, och siktar på ett högt betyg, kan ni ge er på C-uppgifterna (dessa är svåra, i några fall t o m rejält svåra, och motsvarar de svåraste uppgifterna på tentamen).

5 Sidor i boken 0-3, Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Attprimtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett heltal större än, som inte kan skrivas som produkten av två heltal, båda större än. Exempel. Här har vi de 0 första primtalen. Vilka är de 0:e och :e primtalen? Svar: 9 och 3., 3, 5, 7,,3,7 9, 3 Exempel. Primtalsfaktorisera talen 40 och 900. Svar: 40 = = Exempel 3. 7, 93, 33. Ett av dessa tre tal är primtal, vilket? Svar: 7 är primtal. 93 = 3 3 och 33 = 7 9 När man ska ta reda på om ett heltal n är primtal eller inte behöver man inte testa divisioner av primtal över n. Till exempel [ kan man komma fram till att 54 är ett primtal genom att ingen av 54 ] divisionerna med primtal < = 3 går jämnt upp. Polynom i en variabel är en summa av termer. De termer som innehåller bokstavsbeteckningar (oftast x) kallas variabeltermer. Termer utan bokstav kallas konstanttermer. Variabeltermen är en produkt av en koefficient och en potens av variabeln med positiv heltalsexponent, som bestämmer termens grad. Poynomets grad avgörs av högsta graden hos polynomets termer. Några exempel på polynom x +3x+7 x 0 3 x 3 +x x Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom Ett polynom kan innehålla flera variabler. ab 3 + b 3a är ett polynom i två variabler a och b. Dess gradtal är 4, som bestäms av termen ab 3 genom +3 = 4 Två polynom kan adderas, subtraheras, multipliceras och divideras med varandra. Exempel 4. Utför i tur och ordning addition, subtraktion och multiplikation av två polynom (3x+)+(+4x) 7x+3 (4x 3x) (3x 3x) x (3a+)(+4a) 6a+a ++4a a +0a+ Vi hoppar över polynomdivision som just nu är lite för komplicerat! Håkan Strömberg KTH STH

6 Tre regler, som är ett måste att känna till, är de två kvadreringsreglerna och konjugatregeln (a+b) = a +ab+b (a b) = a ab+b (a+b)(a b) = a b Första kvadreringsregeln Andra kvadreringsregeln Konjugatregeln Det räcker inte med att man kan utveckla till exempel (3x+) = 9x +x+4 eller (x+)(x ) = x 4. Ibland måste man också kunna gå bakvägen. Man faktoriserar polynomet 4x +x+9 till (x+3)(x+3) (x+3). Ett annan situation kallar vi för att bryta ut. Polynomet 4x +8x = 4x(x+) blir faktoriserat genom att bryta ut 4x. Någon kanske nöjer sig med att enbart bryta ut 4 och få 4(x +x) eller enbart x och få x(4x+8). En anledning till att man vill faktorisera ett polynom är att man vill förenkla ett uttryck, mest för att den fortsatta beräkningen ska bli enklare och kunna göras snabbare. Exempel 5. Förenkla uttrycket (a b )+(a+b) +(a b) a b +a +b +ab+a +b ab 3a +b Det är förstås enklare att räkna vidare med 3a +b än med det ursprungliga uttrycket. Exempel 6. Ser du mönstret för att skriva uttrycket som en ( + ) 9x +4xy +6y 4 Först ser vi att 9x (3x) och sedan 6y 4 (4y ). När vi sedan ser att 3x 4y = 4xy förstår vi att 9x +4xy +6y 4 (3x+4y ) Ett rationellt uttryck är kvoten mellan två polynom till exempel Just detta uttryck kan man inte förenkla. 3x +4y +x+y Exempel 7. Förenkla x+5 3(4x+5) 4x Genom att bryta ut 3 kan vi därefter förkorta och vi får ett enklare uttryck Exempel 8. Förenkla Exempel 9. Förenkla 3x +6x 3x 3x(x+) 3x x+ 4a+8b a+b 4(a+b) a+b 4 När vi bryter ut 4 i täljaren visar det sig att polynomet i täljaren överensstämmer med det i nämnaren och vi kan förkorta Exempel 0. Förenkla (a+b)(b a) (a b) b a ab a +b ab (a ab+b ) b a 3ab 3a b a 3a(b a) b a 3a Som genom trolleri har vi förenklat det ursprungliga uttrycket till 3a Håkan Strömberg KTH STH

7 Med insättning i ett polynom menas ersättning av en bokstavsbeteckning med ett tal eller en annan bokstav. Ersätter man variabeln x med talet i uttrycket x x + 4 får man uttryckets värde för x =. Normalt skriver man för p(x) = x x+4, p() = +4 och får att p() = 4. Exempel. Bestäm p(x) = 3x +4x 0 för x = p() = p() = 3 Exempel. Bestäm f() f(0) då f(x) = 3x +5 f() f(0) (3 +5) (3 0 +5) = Exempel 3. Givet polynomet f(x) = x 3 +x +x+. Bestäm f(3) f() Först bestämmer vi f(3) = som ger f(3) = 40, sedan f() = som ger f() = 5. Vi får = 8 3 Problem. Beräkna 3( 4)+(3 4)(+)+00(3 (4 ))+( )( 4) Svar: 3( 4)+(3 4)(+)+00(3 (4 ))+( )( 4) 3 ( )+( )3+00(3 3) Problem. Bestäm exakt För att kunna addera bråk måste en gemensam nämnare bestämmas. Helst den minsta gemensamma nämnare, MGN, (även om det inte det är nödvändigt). Den som är van ser direkt att den MGN=. Det gäller att finna ett tal som samtliga nämnare går jämnt upp i. Vi ser att så är fallet här. När vi bestämt en gemensam nämnare ska vi förlänga varje bråk så att det antar MGN. Vi får Vi kan nu skriva summan som Problem 3. Bestäm exakt Den här gången är det lite besvärligare att hitta MGN. Visserligen fungerar den långt ifrån minsta gemensamma nämnaren = , men här ska vi verkligen försöka hitta MGN. Håkan Strömberg 3 KTH STH

8 Vi startar med att primtalsfaktorisera nämnarna 36 = = = 30 = 3 5 Endast tre faktorer förekommer:, 3, 5. Vi plockar nu ut så många faktorer av dem som det finns i den faktorisering som innehåller flest. Detta ger = 360 MGN=360, betydligt mindre än När vi nu ska förlänga de fyra bråken håller vi över De faktorer som ingår i respektive nämnare och multiplicerar övriga faktorer. Detta tal förlänger vi så bråket med Så jobbigt kan det vara! i sista steget faktoriserade vi 75 = och fick = 5 3 = 5 4 Problem 4. Bestäm Detta kallas för dubbelbråk. Så här hanterar man det a b c d a d b c Man multiplicerar bråket i täljaren med det inverterade värdet av bråket i nämnaren. Vi får Problem 5. Bestäm exakt Vi behandlar täljare och nämnare för sig, så att vi får ett bråk i täljaren och ett i nämnaren Problem 6. Skriv uttrycket som ett rationellt uttryck x+ + x Minsta gemensamma nämnaren är denna gång MGN= (x + )(x ) Precis som i aritmetiken fortsätter vi: (x ) (x+)(x ) + (x+) (x+)(x ) x +x+ (x+)(x ) = x x Håkan Strömberg 4 KTH STH

9 Ett rationellt uttryck är alltså division av två polynom. Problem 7. Är det någon skillnad på värdet mellan och 5+3 4? Svar: Nej eftersom multiplikation går före addition har båda uttrycken värdet 7. Observera att det finns dåliga räknedosor som inte klarar detta. Problem 8. a) Man tänker multiplicera stycken negativa tal. Vad kan man säga om resultatet? b) Man tänker multiplicera 5 stycken negativa tal. Vad kan man säga om resultatet? Svar: a) Resultatet blir positivt, > 0. b) Resultatet blir negativt, < 0. Problem 9. Givet polynomet f(x) = 0x 3 x +5x+0 Du ska beräkna ett av dessa värden: p(0), p() och p(). Du får välja vilket som helst. Vad väljer du (om du är lite lat)? Svar: Den som är latast väljer p(0) = 0. Den som inte är riktigt så lat väljer p() = = 04. Den som gillar att räkna kanske väljer p() = = 43. Problem 0. Vad ska det stå istället för för att uttrycket ska kunna faktoriseras med en kvadreringsregel? x +8x+ Svar: = 4 Problem. Faktorisera med kvadreringsreglerna a) x 6x+9 b) 6x +8x+ a) Här måste det handla om andra kvadreringsregeln x 6x+9 (x 3) Om man är osäker på om det är rätt kan man utföra multiplikationen av termerna. Ett krav är att två av termerna måste vara kvadrater. Det ser man ganska enkelt. Dubbla produkten ser man sedan om den kommer stämma. Tecknet framför dubbla produkten avgör om det är första eller andra kvadreringsregeln. b) 6x +8x+ = (4x+) Problem. Utveckla Lösning: (x+) 3 (x+) 3 (x+)(x+) (x+)(x +x+) x 3 +3x +x+x +x+ x 3 +3x +3x+ Håkan Strömberg 5 KTH STH

10 Problem 3. Med hjälp av konjugatregeln kan man ibland utföra en del multiplikationer i huvudet. Hur kan man förenkla 4 38 Lösning: (40 )(40+) Problem 4. Använd första kvadreringsregeln på ett smart sätt för att bestämma 5 Lösning: 5 (50+) Problem 5. Förenkla 5t(t t ) t (t 3)+t 3 Lösning: 5t(t t ) t (t 3)+t 3 5t 3 0t 5t (t 3 3t )+t 3 5t 3 0t 5t t 3 +3t +t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna framför parenteserna. Behåll parenteserna då det finns ett minustecken strax framför. Utför inte fler steg på en gång än du klarar av! Problem 6. Bollens höjd y(x) över golvet vid ett straffkast i basket kan beräknas med formeln y(x) =.5+.x 0.4x där x m från utkastet räknat längs golvet. Beräkna och tolka y(.5) y(.0) Lösning: Givet y(x) =.5+.x 0.4x Vi har fått i uppgift att bestämma y(.5) y(.0). y(.5) = = y() = = 4.7 y(.5) y() = = 0.75 Kommentarer: Sätt in (substituera) x med respektive.5 och och låt räknedosan göra resten. Som extra bonus får du här funktionen plottad. Eftersom det handlar om basket är det inte förvånande att det här visar sig vara en kastparabel, en andragradsfunktion med negativ x -term. Figur : Håkan Strömberg 6 KTH STH

11 Utkastet sker antagligen från x = 0. Det verkar ju troligt att då spelaren står med händerna över huvudet så befinner sig bollen mer än meter över golvet (x-axeln). När bollen har nått x-koordinaten har bollen nästan nått sin högsta punkt. Om x =.5 verkligen är det x-värde då bollen nått maximal höjd kommer vi att kunna avgöra senare i kursen. Det 0.75 vi fått som svar anger hur mycket bollen stigit från golvet sedan senaste avläsningen, x =. Problem 7. En 79 meter lång väg ska var färdig efter 0 dagar. Under 6 dagar arbetar 5 man och hinner med 35 meter. Hur många arbetare måste ytterligare anställas för att vägen skall bli bli färdig i rätt tid? Lösning: Antag att man behöver anställa ytterligare x arbetare. 5 man arbetar i 6 som ger 30 mandagar. Detta betyder att man klarar = 9 meter/dag. Eftersom det återstår = 44 meter kommer det att behövas 9 (0 6) (x+5) = 44 som ger x = 3. Svar: Det behövs 3 extra arbetare. Problem 8. Förenkla ( ) p+ ( p ) Lösning: ( p+ ) ( ) p (p+) 4 (p ) 4 (p +p+) (p p+) 4 p +p+ p +p 4 4p 4 p Problem 9. Ett bilmärke ökade sin marknadsandel från.4% till 5.5%. Hur stor var ökningen i a) procentenheter b) procent Lösning: a) Antalet procentenheter är = 3. b) Antag att det såldes 000 bilar ena året. Då var = 4 stycken av vårt märke. Nästa år såldes det åter 000 bilar = 55. Antag att tillväxtfaktorn x. x 4 = 55, som ger x =.5, vilket betyder att andelen steg med 5%. Svar: 3.% respektive 5%. Lös i första hand problemen på sidorna 69 och 3. Men du behöver mer träning... Läxa. Förenkla så långt möjligt (x+h) 7(x+h) (x 7x ) Håkan Strömberg 7 KTH STH

12 Läxa. Faktorisera med kvadreringsreglerna a) 50a +40a+8 b) x xy+36y Läxa 3. Lös ekvationen 5x (x+)(x 3) = 3(x+4)(x 4) Läxa 4. Beräkna exakt Läxa 5. Förenkla så långt möjligt 5x x 3x x Läxa 6. Förenkla så långt möjligt (3x+3y) 9 (x y) 4 (x+y) Läxa Lösning. (x+h) 7(x+h) (x 7x ) (x+h) 7(x +h +hx) (x 7x ) x+h (7x +7h +4hx) x+7x x+h 7x 7h 4hx x+7x h 7h 4hx Kommentarer: Vilka bokstäver man använder spelar förstås ingen roll. Det går lika bra om man byter ut y mot h, som när man på lågstadiet byter äpplen mot päron. Kom nu ihåg att det är bäst att behålla parenteserna så länge! Har man flera bokstavsfaktorer i en term brukar det vara vanligt att ordna dem i bokstavsordning skriv hellre 4hx än 4xh. Läxa Lösning. a) Vi ska alltså använda kvadreringsreglerna baklänges. 50a +40a+8 (5a +0a+4) (5a+) Kommentarer: Varken 50 eller 8 är heltalskvadrater. Därför kan vi inte tillämpa någon av reglerna direkt. Men om vi bryter ut ser det bättre ut. Det är alltså första kvadreringsregeln som kommer till användning här. b) x xy+36y x xy+(6y) (x 6y) Minustecknet framför dubbla produkten anger att det handlar om andra kvadreringsregeln. Håkan Strömberg 8 KTH STH

13 Läxa Lösning 3. Här dyker det plötsligt upp en ekvation, trots att vi ännu inte pratat om det! 5x (x+)(x 3) = 3(x+4)(x 4) 5x (x 6x+x 3) = 3(x 4x+4x 6) 5x x +5x+3 = 3x 48 5x x 3x +5x = 48 3 x = 5 5 Kommentarer: Starta med att utveckla parenteserna, men behåll dem. I andra steget tar vi bort parentesen på vänster sida och observerar samtidigt att det finns en minustecken framför den på vänstra sidan. På högra sidan kan vi multiplicera in 3 och samtidigt ta bort parentesen. Samla nu alla x och x -termer på vänster sida. Vilken tur att x -termerna försvann vi har ju inte talat om andragradsekvationer ännu! Resultatet 5/5 är lika med 0.. Läxa Lösning Först måste vi bestämma en gemensam nämnare och vi siktar in oss på MGN. 3 = 3 9 = 3 3 = 3 6 = MGN= 3 3 = 44 Nu är det dags att förlänga I nästa steg får vi Svar: Summan är Läxa Lösning 5. Läxa Lösning x+5 + x 3x 5 x 5(x+3) + x(x 3) 5 x (x+3)+(x 3) x (3x+3y) 9 (x y) 4 (x+y) 9x +8xy+9y 9 4x 8xy+4y 4 (x +xy+y ) 9(x +xy+y ) 9 4(x xy+y ) 4 x xy y x +xy+y (x xy+y ) x xy y x +xy+y x +xy y x xy y x +xy y (x xy+y ) (x y) Håkan Strömberg 9 KTH STH

14 I varje uppgift du kommer att lösa under denna kurs ingår mer eller mindre manipulerande av uttryck, kallat algebra. Därför är det speciellt viktigt att du kan hantera denna disciplin. Problem 0. Förenkla Svar: x 3 x +3x Problem. Förenkla Svar: 3x 3y+z Problem. Förenkla Svar: x 7x+ 3x x +5x+3x +4x 3 +x 6x x 3 3x x+y+3z+(x y z) (y 3x+x) (x+3y x) (x+)(x+3) (x+)(x+3)+(x )(x ) Problem 3. Förenkla (x 3 +x) (x 3 x) +(x 3 +x)(x 3 x) Svar: x 6 +4x x Håkan Strömberg 0 KTH STH

15 Sidor i boken 9- Andragradsekvationer Dagens tema är ekvationer, speciellt av andragradsekvationer. Men först några ord om ekvationer. En ekvation är en likhet som innehåller ett (möjligen flera) obekant tal, betecknade med en bokstav, där x är den absolut vanligaste. En lösning till en ekvation är ett sådant värde på den obekanta som innebär att likheten gäller. En lösning till en ekvation kallas ibland rot. 3x+ = x+6 är en ekvation av första graden, som har lösningen x =. Att x = är en lösning visar man genom att substituera för x. Man säger att man prövar lösningen. V.L. 3 + = 8 H.L. +6 = 8 V.L. = H.L. V.L. står för vänsterledet och H.L. för högerledet. Då båda leden har samma värde, gäller likhet. x = satisfierar eller uppfyller ekvationen. Till skillnad från förstagradsekvationen ovan är detta en ekvation av andra graden. x +x 6 = 0 Normalt lär man sig en formel för att snabbt kunna lösa denna ekvation. Om ekvationen skrivs x +px+q = 0, där p och q är reella tal är lösningen x = p ± (p ) q Bland studenter kallas ofta den här formeln för PQ-formeln. Under denna kurs kommer du att lösa minst 00 andragradsekvationer, så det finns all anledning att bekanta sig med denna formel. Exempel 4. Lös ekvationen Lösning: x +x 6 = 0 x +x 6 = 0 x = ± 4 +6 x = ± x = ± 5 4 x = ± 5 x = x = 5 3 Rötterna till ekvationen är alltså x = 3 och x =. En andragradsekvation har alltid två rötter. Men ibland är dessa rötter inte reella och kallas då imaginära. Vi ska dock inte befatta oss med Håkan Strömberg KTH STH

16 imaginära rötter i denna kurs. Någon gång är båda rötterna lika. Man säger då att ekvationen har en dubbelrot. Exempel 5. Lös ekvationen Lösning: Ekvationen har en dubbelrot. Exempel 6. Lös ekvationen Lösning: x 8x+6 = 0 x 8x+6 = 0 x = 4± 4 6 x = 4± 0 x = 4 x = 4 x +4x+6 = 0 x +4x+6 = 0 x = ± ( ) 6 x = ± Den här ekvationen saknar reella rötter. Anledningen till det är att inte är definierad i den matematik som tillhör den här kursen. Exempel 7. Lös ekvationen 3x 3x 6 = 0 Lösning: Om koefficienten till x -termen inte är kan man först dividera samtliga termer med denna koefficient. Här får vi då x x = 0 och nu kan vi fortsätta med PQ-formeln och få rötterna x = och x =. Man kan också använda den här, alternativa, formeln då ekvationen är ax + bx+c = 0 och a,b och c är reella tal. x = b± b 4ac a I vårt exempel får vi Exempel 8. Lös ekvationen x = ( 3)± ( 3) 4 3 ( 6) 3 x = 3± x = 3±9 6 x = x = x = 8 Här behöver vi dock inga formler. x = 8 har två rötter x = 9 och x = 9, som vi får genom att dra roten ur båda sidorna, upphöja båda sidorna med. Observera att formeln fungerar. Det är på grund av att p = 0, som allt blir så enkelt. Problem 4. Lös ekvationen x x 5 = 0 Håkan Strömberg KTH STH

17 Lösning: Svar: x = 5 och x = 3 x x 5 = 0 x = ± +5 x = ±4 x = 5 x = 3 Problem 5. Lös ekvationen Lösning: x +x 3 = 0 Svar: x = + 3 och x = 3 Problem 6. Lös ekvationen Lösning: x +x 3 = 0 x = ± ( ) +3 x = ± x = ± 3 4 x = + 3 x = 3 x +3x = 0 x +3x = 0 x + 3 x = 0 x = 3 4 ± x = 3 4 ± x = 3 4 ± x = 3 4 ± 7 6 x = 3± 7 4 x = x = Man kan inte förvänta sig att det alltid är heltalslösningar. Det är ofta tillåtet att använda räknedosan för att få ett approximativt svar. Svar: x.30 och x.78 Problem 7. Lös ekvationen (x 3)(x+4) = 0 Lösning: Först den klumpiga vägen: (x 3)(x+4) = 0 x +4x 3x = 0 x +x = 0 x = 3 x = 4 Håkan Strömberg 3 KTH STH

18 Sista steget fixar vi med formeln: x = ± ( ) + +4 x = ± 4 x = ± +4 x = ±7 x = 3 x = 4 Den mindre klumpiga vägen. Målet är att finna ett (eller två) värden på x, sådana att dessa, insatta i den ursprungliga ekvationen medför att dess vänstra led blir lika med dess högra. Högra ledet i vår ekvation är 0, alltså vill vi finna värden på x, så att även vänstra ledet blir 0. Studerar vi nu ekvationen innan vi utvecklar parenteserna (x 3)(x + 4) = 0 så kan vi få vänstra ledet till 0 genom att välja x = 3 eller x = 4, där har vi de två rötterna! Problem 8. Lös ekvationerna x 4x+3 = 0 x +8x 9 = 0 y 3y 4 = 0 t +5t+4 = 0 Lösning: De fyra ekvationerna i denna uppgift kan alla direkt lösas med formeln ovan. Det orkar vi dock inte genomföra här. Istället ska ni förstå att skolan och lärarna i allmänhet är ganska snälla. Detta betyder att det är mer än troligt att en given andragradsekvation har heltalslösningar, det vill säga x och x är heltal. Vad har man nu för nytta av att veta detta? Vi påstår utan att bevisa det att p = x x och q = x x. Efter en del träning kan man se detta ganska enkelt. Vi försöker på de fyra ekvationerna x 4x+3 = 0 x = 3 x = x +8x 9 = 0 x = x = 9 y 3y 4 = 0 y = y = 4 t +5t+4 = 0 t = t = 4 Det gick ju utmärkt, åtminstone för mig. Du får se detta knep som överkurs. Kvadratkomplettering. Ett alternativt sätt att lösa andragradsekvationer är att använda sig av kvadratkomplettering. Vi vet att (x+a) x +ax+a genom första kvadreringsregeln. Om vi nu vill lösa ekvationen (x+) = 9, så är det lätt. Vi drar bara roten ur båda leden. (x+) = 9 (x+) = 9 x+ = ±3 x = x = 5 Men hur är det då att lösa x +4x 5 = 0 utan att använda PQ-formeln? Eftersom (x+) = 9 kan utvecklas till x +4x 5 = 0 är det ju samma ekvation som förstås har samma rötter. Eftersom (x+) = 9 är enkel att lösa skulle det vara bra om vi kunde skriva om x +4x 5 = 0 på den formen! Vi startar med att skriva om ekvationenx +4x = 5. Nu gäller det att hitta ett tal a så attx +4x+a = 5+a. Vilket värde ska a ha för att vi ska kunna skriva vänstra ledet som (x+a) x +ax+a? Jo, a =. Då får vi x + 4x +4 = 5 +4 eller (x + ) = 9 och vi har kommit fram till den enkla formen som ovan. Håkan Strömberg 4 KTH STH

19 Problem 9. Lös följande ekvationer med kvadratkomplettering a) x 4x+4 = 0 b) x 6x 55 = 0 c) x +8x+5 = 0 Lösning: a) b) c) x 4x+4 = 0 x 4x+a = 4+a x 4x+49 = 4+49 (x 7) = 5 x 7 = ±5 x = x = x 6x 55 = 0 x 6x+a = 55+a x 6x+9 = 55+9 (x 3) = 64 x 3 = ±8 x = 5 x = x +8x+5 = 0 x +8x+a = 5+a x +8x+6 = 5+6 (x+4) = x+4 = ± x = 5 x = 3 Problem 30. Givet andragradsekvationen x ax+35 = 0 där x-termens koefficienten är ett okänt reellt tal a. Istället vet man att x = 5. Sök a och den andra roten. Lösning: Vi startar med att ta reda på a och sätter in x = a+35 = = a a = 60 5 a = Nu har vi ekvationen x x+35 = 0 x = 6± x = 6± x = 5 x = 7 Håkan Strömberg 5 KTH STH

20 Svar: a = och x = 7 Problem 3. Rötterna till en andragradsekvation är x = och x =. Bestäm en ekvation med dessa rötter. Lösning: (x )(x ) = 0 Det står helt klart att om x = eller x = är H.L. = V.L.. Alltså är detta en av oändligt många ekvationer som är lösning till denna uppgift. Hur är det då med 47(x )(x ) = 0? Även den har rötterna x = och x =. Detta är inte lika lätt att se om man ger ekvationen ovan som 47x 433x +94 = 0. I första hand ska du lösa problem 6 74 i boken. När det är klart har du nött in konsten att lösa andragradsekvationer. Men det skadar inte med några till. En del kanske är lite klurigare... Vi börjar med några förstagradsekvationer Läxa 7. Lös ekvationen x+3 4x+5 3x+7+4x = 3x+5 3x Läxa 8. Lös ekvationen 3(x+) 4(3+x) (3x+) = (x ) 3(x+3) Läxa 9. Den här uppgiften gavs i realexamen HT (x+4) 3 (5+ 34 (x ) ) x = x+4 x 4 Klarar du den här klarar du nog de flesta förstagradsekvationer som kommer att dyka upp i den här kursen. Läxa 0. Lös andragradsekvationen x x 3 = 0 Läxa. Lös andragradsekvationen x +4x+4 = 0 Läxa. Lös ekvationen (x+3)(x 5) = 0 Läxa 3. Lös följande ekvationer med hjälp av kvadratkomplettering a) x x+30 = 0 b) x 3x 4 = 0 Håkan Strömberg 6 KTH STH

21 Läxa 4. Lös ekvationen 3x +5 x 4x = x + x+ x+ Läxa 5. Lös ekvationen 7 x 5 + x+5 = 40 x x 5 Läxa Lösning 7. Svar: x = 0 Läxa Lösning 8. Svar: x = Läxa Lösning 9. Svar: x = 7 Läxa Lösning 0. x+3 4x+5 3x+7+4x = 3x+5 3x x+5 = = x x = 0 3(x+) 4(3+x) (3x+) = (x ) 3(x+3) 3x+6 (+4x) (3x+) = (x ) (3x+9) 3x+6 4x 3x = x 3x 9 3x+6 4x 3x = x 3x 9 4x 8 = x 8 = 4x x 3 = 3x x = 3 (x+4) ( (x )) x = x+4 x 4 3x ( x 4 ) 3 4 x = x+4 x 4 3x x x x = x 4 3x x + x+4 x = x 4 6 3x x+ x = x+4 x 4 8x x+ x = x+4 x 4 44 = x+4 x 4 44(x 4) = (x+4) 44x 76 = x+48 3x = 4 x = 4 3 x = 7 x x 3 = 0 x = ± +3 x = ± x = 3 x = Håkan Strömberg 7 KTH STH

22 Svar: x = 3 och x = Läxa Lösning. Ekvationen har en dubbelrot. Svar: x = 3 och x = Läxa Lösning. x +4x+4 = 0 x = ± ( ) 4 x = ± 0 x = x = (x+3)(x 5) = 0 Här är det meningen att man direkt ska se att V.L. = 0 då den ena av faktorerna är = 0. Detta inträffar då x = 3 eller x = 5. Inte för något annat värde på x kan V.L. vara = 0. Svar: x = 3 och x = 5 Läxa Lösning 3. a) b) Läxa Lösning 4. x x+30 = 0 x x+a = 30+a x x+36 = (x 6) = 6 x 6 = ± 6 x = 6+ 6 x = 6 6 x 3x 4 = 0 x 3x+a = 4+a x 3x+ 9 4 = (x 3 ) = x 3 = ± 5 4 x = x = 3 5 3x +5 x 4x = x + x+ x+ 3x x x 4x+x+x+5 = 0 Svar: x = och x = x x = 0 x = ± 4 + x = ± x = ± 3 x = x = Håkan Strömberg 8 KTH STH

23 Läxa Lösning 5. När man vet att (x 5) = (x 5)(x+5) är det lämpligt att multiplicera båda led med (x 5)(x+5) (x 5)(x+5) ( 7 7(x 5)(x+5) x 5 7 x 5 + x+5 = 40 x x 5 x 5 + x+5 ) = (x 5)(x+5) ( 40 x x 5 + (x 5)(x+5) x+5 = (x 5)(x+5)(40 x) x 5 7(x+5)+(x 5) = 40 x 7x+35+x 0 = 40 x 7x+x+x = x = 5 x = 5 0 x = 3 ) Svar: x = 3 Bokstavsräkning Algebra Du står nu inför en ny kurs i matematik, där meningen är att du ska tillgodogöra dig nya teorier, som samtliga leder fram till övningar och uppgifter. Även om du förstått vad teorin ska användas till och hur den ska tillämpas, är det inte säkert att dina lösningar leder fram till ett korrekt svar. Ofta beror detta på att du inte är speciellt vältränad på att hantera de uttryck, som du satt upp på papperet. Du är inte tillräckligt säker på hur du förenklar ett algebraiskt uttryck eller löser en ekvation. Denna färdighet är inte direkt kopplad till matematik, vad avser abstraktionsförmåga och problemlösning. Därför måste det vara speciellt tråkigt och frustrerande att snubbla på tröskeln och inte lyckats visa, att man egentligen förstått vad man håller på med. Med hjälp av de lösta och väl kommenterade uppgifter som finns här, är det tänkt att du ska finslipa dina förmåga att räkna med bokstäver. Det är tillåtet att tycka att detta är en tråkig disciplin, men tänk då på hur mycket glädje du kan få ut av några timmars tråkig träning. Att verkligen kunna visa att man förstått ett avsnitt i matematiken genom att lösa tillhörande uppgifter. Jämför det gärna med sport. Styrke- och konditionsträning hör inte till det det roligaste, men är nödvändiga inslag, för att nå toppen i många grenar. Det torde vara omöjligt att förvärva denna färdighet utan träning. Tidigare generationer, som bland andra dina lärare tillhör, har räknat sida upp och sida ned med denna typ av förenklingsuppgifter. Läs först igenom de regler och knep som presenteras här nedan. De utgör de kunskaper du behöver för att lösa de 30 uppgifterna. Varje uppgift går ut på att förenkla ett algebraiskt uttryck, så lång det går och det går här alltid väldigt långt. Ofta är svaret ett heltal eller en enda bokstav. Se detta som en ledtråd, som inte kan sägas gälla för uttryck i allmänhet. Lös en uppgift i taget och kontrollera sedan ditt svar i den kommenterade lösningen. Även om du lyckats få rätt svar, kan det vara idé att titta igenom lösningen. Är din lösning likadan, Håkan Strömberg 9 KTH STH

24 smartare eller för omständlig? Om du misslyckades i ditt första försök är det viktigt att du får med dig något från lösningen, som du kan använda i kommande uppgifter. Studera därför lösningen noga och är du ambitiös kan du försöka att lösa den igen, en annan dag. Mycket, när det gäller bokstavsräkning, är resultat av noggrannhet och god administrationsförmåga. Egenskaper man kan ha nytta av inom andra områden. Uppgifterna här anses svåra och när du känner att du behärskar dem väl, kan du känna dig trygg. Regler och knep vid bokstavsräkning I När man avlägsnar parenteserna i uttrycket (a+b) (a+b+c) (a b c) kommer termerna i en parentes, som föregås av ett minustecken att ändra tecken (a+b) (a+b+c) (a b c) a+b a b c a+b+c b II För att förenkla uttrycket 3(a b) (b a)+5(b+a) multiplicerar man in konstanten i parentesen. Denna lag kallas den distributiva lagen, a(x+y) = ax+ay. 3(a b) (b a)+5(b+a) 3a 3b b+a+5b+5a 0a III När vi stöter på ett uttryck liknande (a+b)(b c) tvingas vi ofta att multiplicera samman dessa parenteser till (a+b)(b c) ab ac+b bc Detta är inget annat än distributiva lagen i en annan skepnad, (a+b)(c+d) = (a+b)c+(a+b)d Antalet termer i de två parenteserna kan var godtyckligt stort. Om till exempel den ena parentesen innehåller 3 termer och den andra 4, kommer multiplikationen att ge 3 4 = termer (innan eventuell sammanslagning). IV Speciellt stöter vi ofta på uttrycken Första kvadreringsregeln Andra kvadreringsregeln (a+b) a +b +ab (a b) a +b ab som man bör kunna använda i båda riktningar. Det vill säga det är lika viktigt att kunna se att som att snabbt kunna utveckla Det kan vara bra att känna till även 4x 0xy+5y (x 5y) (0a+7b) 00a +40ab+49b (a+b) 3 a 3 +3a b+3ab +b 3 (a+b) 4 a 4 +4a 3 b+6a b +4ab 3 +b 4 Dessa formler blir mindre komplicerade då man känner till binomialkoefficienter och Pascals triangel. Håkan Strömberg 0 KTH STH

25 V Konjugatregeln (a b)(a + b) = a b ska kunna användas i båda riktningar. Man ska snabbt kunna se, att (4x 7)(4x+7) kan skrivas lika väl som att kan skrivas (4x 7)(4x+7) 6x 49 00a 64b 00a 64b (0a+8b)(0a 8b) VI Ser man i detta uttryck inte, att man kan bryta ut 9 i täljaren och 3 nämnaren 8x+9 6x+3 9(x+) 3(x+) = 3 kan man inte komma vidare. Detta är att använda distributiva lagen bakvägen. Även detta är ett exempel på att bryta ut: a(b+)+c(b+) a+c (b+)(a+c) a+c b+ VII Bryter vi ut ( ) ur parentesen (a b) får vi ( )(b a). Detta är ett vanligt återkommande knep som till exempel i uppgiften a b b a (a b) ( )(a b)) VIII Att förlänga ett bråk är samma sak som att multiplicera täljare och nämnare med samma uttryck ( 0). Dessa bråk är alla ekvivalenta: (a+b) (a+b) x3 x 3 (a+b)(x+y) (a+b)(x+y) IX Addition av bråk. För att kunna skriva dessa termer på samma bråk, måste man först göra liknämnigt: a + b b b a + a a b b+a ab ab är den minsta gemensamma nämnaren för de två termerna. Det är inget absolut krav att man hittar den minsta gemensamma nämnaren, även om det i praktiken leder till mindre räknande. I detta exempel är (a b)(a+b) minsta gemensamma nämnaren a+b + a b + 3 a b När vi skriver de tre termerna på samma bråkstreck får vi (a b)++3(a+b) (a b)(a+b) Håkan Strömberg KTH STH

26 X Division av bråk. En regel som ofta används är: Division av två bråk är samma sak, som att multiplicera täljaren med det den inverterade nämnaren. Att invertera ett bråk är att byta plats på täljare och nämnare. Alltså a a+b a (a+b) a a+b (a+b) a a+b Vi har här ett dubbelbråk. Vi skriver om huvudbråkets täljare. Inverterar bråket i nämnaren och multiplicerar med täljaren. För dessa tre uppgifter gäller det att förenkla så långt möjligt. Problem 3. (a+5)(8a+8) (4a+6)(4a+3) Lösning: (a+5)(8a+8) (4a+6)(4a+3) 6a +36a+40a+90 (6a +a+64a+40) 6a +36a+40a+90 6a a 64a 40) 3 76a+9 76a Vi inleder med att multiplicera samman de två paren av parenteser (). Eftersom det finns ett minustecken framför det andra paret, tar vi det försiktigt och behåller först parenteserna (). När vi sedan tar bort dem, kommer samtliga termer inuti parentesen att byta tecken (). Återstår att slå samman termer som hör ihop (3). Svar: 4 Problem 33. (3a+8) +(4a 6) (5a+7)(5a 7) Lösning: (3a+8) +(4a 6) (5a+7)(5a 7) 9a a+6a a (5a 49) 9a a+6a a 5a I tur och ordning använder vi här första kvadreringsregeln, andra kvadreringsregeln, och konjugatregeln (). När vi slår samman de åtta termerna är det bara de konstanta som inte tar ut varandra (4). Svar: 49 Håkan Strömberg KTH STH

27 Problem 34. (3a a+) (3a a) +a( 3a) Lösning: (3a a+) (3a a) +a( 3a) (9a 4 3a 3 +3a 3a 3 +a a+3a a+) (9a 4 6a 3 +a )+(a 6a ) 9a 4 3a 3 +3a 3a 3 +a a+3a a+ 9a 4 +6a 3 a +a 6a 3 9a 4 9a 4 3a 3 3a 3 +6a 3 +3a +a a +3a 6a a a+a+ 4 När den första parentesen kvadreras får vi före sammanslagning 9 termer. I den andra använder vi andra kvadreringsregeln (). För att se hur de olika typerna av termer tar ut varandra sorterar vi dem efter exponentens storlek och ser att nästan alla tar ut varandra (3) Svar:. Problem 35. a(b+c) d(b+c) (d a)(b+c) Lösning: a(b+c) d(b+c) (a d)(b+c) (b+c)(a d) (d a)(b+c) ( )(b+c)(a d) ( )(d a)(b+c) 3 (b+c)(a d) (a d)(b+c) 4 Vi inleder med att bryta ut (b+c) i täljaren (). Täljare och nämnare är lika, så när som på (a d) i täljaren och (d a) i nämnaren (). Om vi utför multiplikationen ( )(d a) övergår parentesen till (a d). Detta kan vi åstadkomma genom att förlänga bråket med ( ) (). i täljaren kan lika väl skrivas framför bråket (3). Vi kan nu förkorta båda parenteserna och kvar blir Svar:. Håkan Strömberg 3 KTH STH

28 Sidor i boken -3, Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer Rotekvationer Med en rotekvation menas en ekvation, i vilken den obekanta förekommer under ett rotmärke. Observera att betecknar ett positivt tal. Ekvationen x+ = 3 saknar därför rot. Däremot har ekvationen x+ = 3 roten x = 8, vilket man inser om båda leden i ekvationen kvadreras. x+ = 3 ( x+) = 3 x+ = 9 x = 8 För att förstå det här med rotekvationer måste vi införa några grafer (eller kurvor). Lite för tidigt måste vi här nämna ordet funktion. f(x) = x är just en funktion. När vi plottar dess graf får vi En graf till ska vi plotta, som ni säkert redan är bekanta med. Vi kallar den räta linjen. Ett exempel y = x Nu över till rotekvationer. Detta är en rotekvation som vi vill lösa Exempel 9. x = x Håkan Strömberg 4 KTH STH

29 Här undrar vi som vanligt, när är vänstra ledet lika med högra? Om vi plottar de två graferna i samma figur får vi Rötterna får vi nu genom att läsa av var de två graferna skär varandra. På ett ungefär verkar de vara x och x 9. Observera dock att det aldrig i den här kursen är tillåtet att ge grafiska lösningar. Därför måste vi lösa ekvationen analytiskt. x = x+3 4 ( x) = ( x+3 4 ) x = (x+3) 4 x = x +6x+9 6 6x = x +6x+9 x 0x+9 = 0 x = 5± 5 9 x = 5±4 x = 9 x = Det stämmer med vår grafiska avläsning! Lösningen är exakt x = 9 och x =. Vi utgår ifrån ( ) att alla vet att =. Idén med att lösa rotekvationer är alltså att kvadrera båda leden och hoppas att rottecknen försvinner. Men det finns komplikationer! Exempel 0. Lös ekvationen x = x Vi plottar funktionerna och får Här skär den räta linjen rotgrafen endast en gång. Vi gissar att roten är x =. Över till den analytiska lösningen x = x ( x) = ( x) x = 4 4x+x x = 4 4x+x x 5x+4 = 0 x = 5 ± (5 ) 4 5 x = 5 ± x = 5 ± 3 x = 4 x = Håkan Strömberg 5 KTH STH

30 Men här får vi ju två rötter!. Ja, men en är falsk. När man kvadrerar båda sidor i en ekvation kan det uppstå falska rötter! Man avgör om roten är falsk genom att sätta in den i den ursprungliga ekvationen = ger = och verkar helt OK. Men ger, så x = 4 är falsk. Svar: x =. Vi tar en till för säkerhets skull Exempel. 4 = 4 x = x+ Först den grafiska lösningen Oj då, här verkar inte de två graferna skära varandra över huvud taget! Det ska bli intressant att se vad den analytiska lösningen ger x = x+ ( x) = (x+) x = x +x+ x +x+ = 0 x = ± ( ) x = ± 4 44 x = ± Negativt under rottecknet, lika med inga reella rötter. Svar: Ekvationen saknar lösning. 3 4 Mer om polynomekvationer Här några polynomekvationer Förstagradsekvation 0x + 53 = 73 x = Andragradsekvation x x = 0 x = 3, x = 4 Tredjegradekvation x 3 +6x 63x 09 x =, x = 7, x 3 = 3 Fjärdegradsekvation x 4 +x 3 x 9x+08 x = x = 3, x 3 = 3, x 4 = 4 Ekvationer av första och andra graden ska vi alltid klara av hur de än ser ut. En godtycklig ekvation av tredje graden, klarar åtminstone inte jag av utan dator eller tabell. Samma gäller 4:e-gradare. Då talar vi hela tiden om exakta lösningar. Allmänna 5:e-gradare och högre gradtal, klara ingen av att lösa exakt, därför att man bevisat att det inte går. Men det hindrar inte att det finns speciella ekvationer av alla gradtal som man hädelsevis kan lösa. Till exempel Håkan Strömberg 6 KTH STH

31 Exempel. x 3 = 7 med som åtminstone har en rot x = 3 (och två andra imaginära). Här kommer en speciell typ av 4:e-gradare som du ska kunna lösa Exempel 3. Lös ekvationen x 4 5x +4 = 0 Ett krav är att ekvationen saknar termer av 3:e och :a graden, som här. Knepet är att man substituerar x = t och får ekvationen t 5t+4 = 0 5 t = 5 ± 4 4 t = 5 ± 5 t = 5 ± 9 4 t = 5 ± 3 t = 4 t = Men nu har vi ju bestämt att x = t, så då får vi x = 4, x = ± 4, x =, x = och att x =, x = ± som ger x 3 = och x 4 = Problem 36. Lös ekvationen x+ = x Lösning: En rotekvation av den enklare sorten x+ = x ( x+) = ( x ) x+ = x x = Vi ser lång väg att detta är en äkta rot eftersom + Svar: x = Problem 37. Lös ekvationen x +5 = x 5 Lösning: x = är en falsk rot. Svar: Ekvationen saknar rötter. x +5 = x 5 ( x +5) = (x 5) x +5 = x 0x+5 0x = 5 5 x = Vänstra ledet Högra ledet Håkan Strömberg 7 KTH STH

32 Problem 38. Lös ekvationen Lösning: Vi testar x = 4 x = 4 är en äkta rot. Vi testar x = 7 x = 7 är en falsk rot Svar: x = 4. x x 8 = 0 x x 8 = 0 x 0 = x 8 (x 0) = ( x 8) x 40x+400 = x 8 x 4x+408 = 0 68 x = 4 ± x = 4 ± 49 4 x = 4 ± 7 x = 4 x = 7 Vänstra ledet Högra ledet Vänstra ledet Högra ledet Problem 39. Lös ekvationen Lösning: x+4 x = x 4 x+4 x = x 4 ( x+4 x ) = ( x 4) x+4 x+4 x +x = x 4 x+4 x = x 4 x 4 x+ (x+4)(x ) = 7 x (x+4)(x ) = 7+x ( (x+4)(x )) = (7+x) 4(x+4)(x ) = 49+4x+x 4(x x+4x 4) = 49+4x+x 4x +x 6 = 49+4x+x 3x x 65 = 0 x x = 0 x = 3 ± x = 3 ± 4 3 x = 5 x = 3 3 Håkan Strömberg 8 KTH STH

33 Så är det dags att testa rötterna Vänstra ledet Högra ledet Roten x = 5 är en äkta rot Vänstra ledet Högra ledet I två av termerna blir det negativt under rottecknet vilket betyder att roten är falsk. Svar: x = 5 Problem 40. En bakteriekultur tillväxer enligt formeln N(x) = x+5x där N(x) är antalet bakterier x minuter efter försökets början. Hur länge dröjer det innan antalet bakterier har fördubblats? Lösning: Antalet bakterier i burken följer funktionen N(x) = x+5x. Efter minuter till exempel finns det N() = = Hur många bakterier finns det i burken när försöket startar? Får vi genom T(0) = 500. Vi vill alltså ha reda på hur lång tid det dröjer innan det finns dubbelt så många Detta ger oss ekvationen: x+5x = x+x = 00 x +4x 00 = 0 x = 7± x = 5. x = 9. Som du ser började vi dividera ekvationen med 5. Den här ekvationen är inte så enkel, det vill säga den ger inte heltalsrötter. Åter en ekvation där en av rötterna är omöjlig. Svaret blir då 5. minuter. Lös ekvationen Problem 4. x (x+) 64(x+) = 0 Lösning: För att kunna lösa ekvationen x (x+) 64(x+) = 0 får man absolut inte starta med att utveckla parenteserna, för då hamnar man i en tredjegradsekvation, som vi inte har något verktyg för att lösa. Nej, titta i stället på ekvationen. Vad händer då x =? Båda termerna blir ju 0. Vi har hittat en rot x =. Dividerar vi nu båda sidor med (x+) återstår x 64 = 0 eller x = 64. Huvudräkning, x = 8 och x 3 = 8. Tre rötter!? Inte ett dugg överraskade, om en förstagradsekvation har en rot, en andragradsekvation två rötter, så är det väl logiskt att en tredjegradsekvation har tre. Lös ekvationen Problem 4. 3x 5 = x Lösning: Ekvationen 3x 5 = x ser kanske besvärligare ut än den i verkligheten är. Rottecknet försvinner om upphöjer det till. Jag menar att ( x ) = x Vi kvadrerar alltså båda sidor i Håkan Strömberg 9 KTH STH

34 ekvationen: 3x 5 = x ( 3x 5 ) = (x ) 3x 5 = x + x x 5x+6 = 0 x = x = 3 Som tur är kan vi direkt se vilka rötterna är genom knepet som vi nämnt. Nu tillkommer en komplikation när det gäller rotekvationer. Vid kvadreringen kan falska rötter tillkomma och man är alltid tvungen att testa om de duger genom att sätta in dem i den ursprungliga ekvationen. Som vi ser uppfyller x = villkoret att båda sidor ska vara lika 3 5 =. Detta gäller även för x = 3 som ger = 3. I figur visar vi grafen Figur : Problem 43. Lös ekvationen s+3 7 s = Lösning: Den här ekvationen är verkligen besvärlig! Kvadrerar vi båda sidor får vi fortfarande ett rottecken kvar. Men varför skulle man då inte kunna kvadrera en gång till. s+3 7 s = ( s+3 7 s ) = 0 (s+3)(7 s) = 4 8 = (s+3)(7 s) 64 = (s+3)(7 s) 64 = 7s s +9 3s s +6s 7 = 0 s = 3 s = 9 OK, nu har vi funnit två rötter s = 3 s = 9. Innan vi ger dem som svar måste vi pröva dem. s = = 4 = s = 9 ( 9)+3 7 ( 9) = 4 Alltså är det bara s = 3 som fungerar. Men hur ska man förstå detta? Innan vi kvadrerar har vi funktionerna (VL) f (s) = s+3 7 s och (HL) f (s) =. Plottar vi dem får vi följande graf: Vi ser helt klart att ekvationen bara har en rot. Den ena kurva skär den andra på ett ställe, s = 3. Plottar vi nu de två funktionerna f 3 (s) = ( s+3 7 s ) och f4 (s) = 4, sådana de ser ut efter en kvadrering får vi En extra (falsk) rot har dykt upp för x = 9, som förresten inte försvinner då vi kvadrerar ytterligare en gång. Denna uppgift är kanske onödigt komplicerad i den här delen av kursen. Håkan Strömberg 30 KTH STH

35 Figur 3: Figur 4: Räkna i första hand uppgifterna på sidan 7 73 och 3. Läxa 6. Lös ekvationen x+ = x Läxa 7. Lös ekvationen x+4+ x = 3 Läxa 8. Lös ekvationen x+5 = x Läxa 9. Bestäm konstanten a, så att ekvationen får en ax (a 5)x (a ) = 0 Läxa 0. Lös ekvationen x 4 0x +9 = 0 Läxa Lösning 6. x+ = x ( x+ ) = ( x ) x+ = x x = 4 Varje gång vi i en ekvation kvadrerar båda sidorna, måste vi testa att att rötterna vi fått inte är falska. Håkan Strömberg 3 KTH STH

36 Sätter vi in x = 4 får vi 6 = 6 Vilket betyder att roten är äkta! Svar: x = 4 Läxa Lösning 7. x+4+ x = 3 ( x+4+ x ) = 3 (x+4)+(x )+ x+4 x = 9 x++ (x+4)(x ) = 9 = 7 x ( (x+4)(x )) = (7 x) 4(x+4)(x ) = (7 x) 4(x x+4x 8) = 49+4x 8x Denna rot måste prövas och det visar sig att den fungerar. 4x +8x 3 = 49+4x 8x 8x 3 = 49 8x 36x = 8 x = 9 4 Svar: x = 9 4 Läxa Lösning 8. x+5 = x ( x+5 ) = ( x) x+5 = x+x x 3x 4 = 0 0 = 4 3x+x x = 3 ± x = 3 ± 5 4 x = 3 ± 5 Vi testar x = 4 som är falsk. Sedan testar vi x = x = 4 x = V.L. 4+5 = 3 H.L. 4 = 3 V.L. +5 = H.L. ( ) = Håkan Strömberg 3 KTH STH

37 som är äkta Svar: x = Läxa Lösning 9. Vi vet att en rot är x = och sätter därför in den Båda dessa ekvationer har en rot x = och Läxa Lösning 0. Vi substituerar t = x. I nästa steg löser vi först och sedan Svar: x = 3, x = 3, x 3 =, x 4 = ax (a 5)x (a ) = 0 a (a 5) (a ) = 0 a a+5 a + = 0 a +a 6 = 0 a = ± 4 +6 a = ± a = ± 5 a = a = 3 x ( 5)x ( ) = 0 x +x 3 = 0 x = x = 3 ( 3)x ( ( 3) 5)x (( 3) ) = 0 3x +x 8 = 0 x = x = 8 3 x 4 0x +9 = 0 t 0t+9 = 0 t = 5± 5 9 t = 5±4 t = 9 t = 9 = x x = ± 9x = 3 x = 3 = x x = ± x 3 = x 4 = Håkan Strömberg 33 KTH STH

38 Problem 44. (a b)(a +ab+b )+(a+b)(a ab+b ) Lösning: (a b)(a +ab+b )+(a+b)(a ab+b ) (a 3 +a b+ab a b ab b 3 )+(a 3 a b+ab +a b ab +b 3 ) a 3 +a b+ab a b ab b 3 +a 3 a b+ab +a b ab +b 3 3 a 3 +a 3 +a b a b a b+a b+ab +ab ab ab b 3 +b 3 4 a 3 När man multiplicerar en parentes med 3 termer med en med termer får man total 3 = 6 termer. Total ska vi här alltså hantera termer (). I (3) har vi samlat ihop liknade termer. Den som har en administrativ vana kan gå direkt från () till svaret. Svar: a 3 Problem 45. a a 3 Lösning: a+ a 3 a a 3 a+ a 3 3a 3 a 3 3a 3 + a 3 3a a 3 3a+a 3 3 a 3 3 4a 4 Vi startar med att göra de liknämnigt i täljaren och nämnaren oberoende av varandra. Nu råkar båda ha samma minsta gemensamma nämnare (). Nu kan vi skriva termerna på samma bråkstreck (). Division av två bråk är samma sak som att multiplicera det första med det andra inverterat (3). Efter förkortning får vi Svar: Håkan Strömberg 34 KTH STH

39 Problem 46. (6a+9) (a+9) (a+6) Lösning: (6a+9) (a+9) (a+6) (36a +36+8a) (4a +8+36a)) 4a +36+4a 3 3a 9a+80 4a +4a+35 8(4a 4a+35) 4a +4a Två gånger första kvadreringsregeln i täljaren och en gång i nämnaren ger (). Sammanslagning av termer ger (). I () ser vi att det är möjligt att bryta ut 8 i täljaren som ger (3). Svar: 8 Problem 47. Lösning: a b a + a a b ab+b a ab a b a + a a b ab+b a ab (a b) (a b) (a b) a + a a a (a b) b(a+b) a(a b) (a b) +a b(a+b) a(a b) a +b ab+a ab b 3a 3ab a(a b) 3a(a b) a(a b) a(a b) 6 3 Vi strävar nu efter att kunna skriva de tre bråken på samma bråkstreck. a(a b) är en gemensam nämnare (för övrigt den minsta). Vi förlänger bråken med lämpliga uttryck (). Nu har vi nått första målet (). I (3) förenklar vi täljaren till resultatet i (4). I (4) ser vi att det är möjligt att bryta ut 3a. Efter förkortning av (5) för vi Svar: 3 Håkan Strömberg 35 KTH STH

40 Sidor i boken 4-5 Vi räknar en KS För att ni ska få en uppfattning om hur en KS kan se ut räknar vi här igenom den enda KS som givits i denna kurs! Totalt kan man få poäng. Om man lyckas skrapa ihop 7 poäng eller mer är man godkänd och får tillgodoräkna 4 poäng på ordinarie tentamen. Problem 48. Förenkla uttrycket så långt som möjligt (p) (a 3b) +a(6b a) Lösning: Svar: 9b (a 3b) +a(6b a) (a 6ab+9b )+(6ab a ) a 6ab+9b +6ab a 9b Problem 49. Förenkla uttrycket så långt som möjligt. (p) Lösning: a 4 6a a+ a a 4 6a a+ a a 4 a 6a a+ a(a 4) 6a (a+) a(a )(a+) 6a (a+) (a ) a Kommentarer: Ett dubbelbråk. Vi vet att vi kan skriva om det som en produkt där nämnaren är inverterad. Vi tillämpar konjugatregeln på första faktorn i täljaren. Innan vi multiplicerar samman faktorerna i täljaren och nämnaren passar vi på att förkorta så långt möjligt. Svar: (a ) a Håkan Strömberg 36 KTH STH

41 Problem 50. Lös ekvationen (p) x 3 = 3x Lösning: Direkt ser vi att likhet råder då x = 0 eftersom det insatt ger 0 = 0. Det betyder att x = 0. Vi kan nu lugnt dividera båda leden med x och får x = 3 x = 3 x = 6 x = ± 6 x = ±4 x = 4 x 3 = 4 Här en alternativ lösning som går ut på att vi faktoriserar polynomet och direkt ser när vänstra ledet blir = 0 x 3 3x = 0 x(x 6) = 0 x(x 4)(x+4) = 0 x = 0 x = 4 x 3 = 4 Svar: x = 0, x = 4, x 3 = 4. Problem 5. Lös ekvationen (p) x x + = x Lösning: Vi ser här att x för om x = får vi 0 i två av termerna. Medveten om detta löser vi ekvationen. x x + = ( ) x ( ) x (x ) x + = (x ) x x (x ) +(x ) = x x x x +x = x +x 3 = 0 x = ± +3 x = ± (x = ) x = 3 Svar: x = 3 Problem 5. Lös ekvationen (p) x 4 4x 45 = 0 Lösning: Normalt kan vi inte lösa polynomekvationer av 4:e graden. Ett undantag är då ekvationen saknar både x 3 -term och x-term. Det är precis vad som är fallet här. Tillvägagångsättet är då att substituera t = x och vi får ekvationen x 4 4x 45 = 0 t 4t 45 = 0 t = ± 4+45 t = ±7 t = 9 t = 5 Håkan Strömberg 37 KTH STH

42 Återstår att bestämma 9 = x som leder till x = 3 och x = 3. Men 5 = x leder till x = ± 5, som inte leder till reella rötter. En 4:e gradsekvation har alltid 4 rötter om man räknar både reella och imaginära. I vår kurs redovisar vi inte imaginära rötter, vilket betyder att en 4:e gradare har 0, eller 4 rötter. I detta fall finns två rötter. Svar: x = 3 och x = 3. Problem 53. Förenkla uttrycket så långt som möjligt. (p) ( ) a (a a b ab ) Lösning: ( ) a (a a b ab ) ( a a b a b ) a(a b) a b ( ) a (a b) a(a b) a b ( b a b ( b(a b) a a b ) a(a b) ) ab Svar: ab Polynom i faktorform Målet med föreläsningen är att kunna skriva ett polynom på faktorform. Polynomet består av tre termer. Det kan också skrivas som 3x 6x 4 3(x+)(x 4) Nu som tre faktorer. Den som inte tror kan multiplicera samman faktorerna 3(x+)(x 4) 3(x 4x+x 8) 3(x x 8) 3x 6x 4 Det stämmer! Men utför man faktoriseringen? Vi tar ett nytt exempel Exempel 4. x 8x 4 Lösning: Först bryter vi ut så mycket vi kan. Vi kan dock inte bryta ut mer än (x 4x ) Håkan Strömberg 38 KTH STH

43 Det som står inom parentes betraktar vi som en andragardsekvation som vi måste lösa. x 4x = 0 x = ± 4+ x = ±5 x = 7 x = 3 Andragradsekvationen kan nu skrivas, som vi tidigare nämnt Det betyder att vi kan skriva i tre steg (x 7)(x+3) = 0 x 8x 4 (x 4x ) (x 7)(x+3) Istället för tre termer består nu polynomet av tre faktorer. Nästa exempel Exempel 5. Faktorisera polynomet som är av tredje graden 3x 3 +3x 6x Lösning: Först bryter vi ut allt vi kan Sedan löser vi ekvationen Det betyder att faktoriseringen ser ut så här Om vi hade att lösa tredjegrasekvationen 3x 3 +3x 6x 3x(x +x ) x +x = 0 x = ± 4 + x = ± x = ± 9 4 x = ± 3 x = x = 3x(x )(x+) 3x 3 +3x 6x = 0 så kan vi utifrån faktorerna direkt säga att rötterna är x = 0, x = och x 3 =. Att vi klarar att lösa den här tredjegradsekvationen beror på att den är speciell. Den saknar konstant term och därför ser vi direkt att x = 0 är en rot. Hade vi istället stött på denna ekvation, också av tredje graden x 3 3x 0x+4 = 0 så hade vi inte haft någon annan chans än att gissa rötterna. Därför kommer vi inte att träffa på någon ekvation av 3:e graden i denna kurs om den inte är speciell som i vårt exempel. Med det datorprogram som jag har och som finns på skolans datorer kan man skriva Solve[x^3-3x^-0x+4==0] {{x-> -3}, {x-> }, {x-> 4}} Håkan Strömberg 39 KTH STH