Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 4. b) = 3 1 = 2

Transkript

1 Kapitel.1 101, 102 Exempel som löses i boken 10 a) x= x= = 2 c) x= 11 7 x= 7 11 = 77 b) x= 5 x 29 = 5 29 = 6 d) x= 2 26 x= 26 2= 1 10 a) x= x= = 5+ 5= 59 b) a = 8a 6= 8 6= 2 6= 18 c) x= x= = 21+ 7= 28 d) b= 9 81 b 7= = 9 7= a) x= x= b) = a) x= 10 9x= 9 10 b) 9 10= a) a = 8 2 a 1= b) = 1 = a) x= 7x= 7 = 28 b) x= 5+ 7x= 5+ 7 = 5+ 28= c) y = 9 5 y = 5 9=5 d) y = y = = 15 5= a) x= 1, x= ,5 = 80 + = 8 b) z = 1,2 65 z = 65 1,2 = 65,6 = 61, c) z = 7 12, 2 +, 2 z = 12, 2 +, 2 7 = 12, 2 + 0,6 = 12,8 d) x= ,12x= , = = a) a = 9 a = 9 = b) a = 9 5 a= 5 9=5 c) a = 9 8a 12 = = = 60 d) a = a= = = Antalet invånare om x år är x a) Om 2 år ( x = 2 ) är antalet = = Svar: Efter 2 år är antalet invånare b) Om 10 år ( x = 10 ) är antalet = = Svar: Efter 10 år är antalet invånare

2 112 Temperaturen i grader efter x h var 60 6x a) Efter 2 timmar ( x = 2 ) var temperaturen = = 8 grader Svar: Efter 2 timmar var temperaturen 8 grader b) Efter 5 timmar ( x = 5) var temperaturen = 60 0 = 0 grader Svar: Efter 5 timmar var temperaturen 0 grader Figur nr n innehåller 2n - 1 kvadrater a) Figur nr 1 ( n = 1) har enligt formeln (2 1 1 = 2 1 = 1) kvadrat Det stämmer med figuren. b) Figur nr 2 ( n = 2) har enligt formeln. (2 2 1 = 1 = ) kvadrater Det stämmer c) Figur nr ( n = ) har enligt formeln (2 1 = 6 1 = 5) kvadrater Det stämmer Svar: Formeln stämmer för alla figurerna Figur nr n innehåller n - 2 kvadrater? a) Figur nr 1 ( n = 1) har enligt formeln ( 1 2 = 2 = 1) kvadrat Det stämmer med figuren. b) Figur nr 2 ( n = 2) har enligt formeln ( 2 2 = 6 2 = ) kvadrater Det stämmer c) Figur nr ( n = ) har enligt formeln ( 2 = 9 2 = 7) kvadrater Det stämmer inte. Svar: Formeln stämmer för figur 1 och 2 men inte för figur nr. 115 x dygn efter att den fyllts innehåller tanken ( x) liter a) Efter 0 dygn innehåller tanken ( = = 1750) liter Svar: Efter 0 dygn innehåller tanken 1750 liter b) När den är full är x = 0 (Det har inte gått något dygn efter fyllningen) När den är full innehåller tanken ( = = 2200) liter Svar: När den är full (efter 0 dygn) innehåller tanken 2200 liter

3 116 a kg äpplen kostar 9a kr a) 2 kg kostar 9 2 kr = 18 kr b) 8 kg kostar 9 8 kr = 72 kr 117 a) x= x= ( 6) = 10 + ( 12) = = 2 b) x= 6 25 x= 25 ( 6) = 25 ( 2) = = a) x ( 12) 8 x = 12 5 = 5 = 5 = 16 5 = 21 b) x x = 12 = = = 9 x = = + = x minuter efter kl 9.00 är temperaturen i grader Celcius x a) x= x= = = 175 Svar: x = 25 innebär att klockan är Då är temperaturen 175 ºC. b) x= x= ( 20) = ( 60) = = 0 Svar: x = 20innebär att klockan är 20 min före 9.00, alltså 8.0. Då är temperaturen 0 ºC x = + = + = + = + = + = = x x , 122, 12 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 12, 125, Exempel som löses i boken 126, Se facit och den lösta uppgiften , 10 Se facit. Kvot: Resultatet av en division (delat). 11 Se facit. Feltryck i läroboken: en matematikbok väger a kg. 5 matematikböcker väger då 5a kg och 10 böcker i engelska väger 10b kg 12, 1, 1, 15 Se facit. 16 Priset från början är a kr. Prishöjning 5 kr. Nya priset blir a kr + 5 kr = (a + 5) kr Svar: Nya priset blir (a + 5) kr Kommer du ihåg? Summa: Resultatet av addition (plus). Differens betyder skillnad. Resultatet av en subtraktion (minus). Produkt: Resultatet av en multiplikation (gånger)

4 17 Lagen gör tillsammans 161 poäng. Det ena laget gör x poäng. Det andra laget gör (161 x) poäng Svar: Det andra laget gör (161 x) poäng 18 Minskning med 150 personer per år. (T ex efter år har det minskat med personer) Efter t år har befolkningen minskat med t 150 personer = 150 t personer Se facit. 10 Se facit och den lösta uppgiften Se facit. 12 Se facit och den lösta uppgiften Se facit. 1 Det mellersta av tre på varandra följande hela tal är x. (Tänk att du har en bit av tallinjen med tre heltal som ligger efter varandra. Det mellersta talet kallar vi x, det minsta är 1 mindre än x och det största är 1 större än x.) a) Det största talet är x + 1 b) Det minsta talet är x 1 15 Exempel som löses i boken 16 Folkmängden är idag personer. Ökning med 180 personer per år. a) På x år ökar folkmängden med x 180 personer = 180 x personer b) Efter x år är folkmängden personer x personer = ( x) personer 17 Kostnaden är 159 kr/månad och 70 kr i uppläggningsavgift. Antalet månader är x. 70 kr + x 159 kr = x kr Kostnaden blir ( ) 18 Temperaturen ökar med 0,0 ºC per meter. 15 ºC vid markytan. Djupet är x m. 15 ºC + x 0,0 ºC = x ºC Temperaturen blir. ( ) 19 Lokalhyra 2500 kr samt 20 % av biljettintäkterna. Man sålde x biljetter à 75 kr. Man sålde biljetter för x 75 kr = 75 x kr 20 % av det är 0,20 75 x kr = 15 x kr Lokalhyran blir 2500 kr + 15x kr = ( x) kr. 150 Se facit. 151, 152, 15, 15Se bokens ledning samt lösningen i facit.

5 Kapitel.2 201, 202 Exempel som löses i boken. 20 K = A+ 20 a) A= 15 K = = 5 b) A= 7 K = = z = 100 u a) u = 5 z = = 20 b) u = 25 z = = 205 Man betalar y kr för x kg äpplen. Priset för kg äpplen blir värdet på y då x = y = 12 x x= y = 12 = 6 Svar: kg äpplen kostar 6 kr. 206 p = a+ b a= 5 och b= 1,5 p= 5 + 1,5 = = U = B 10 a) B= 12 U = = 2 b) B= 19 U = = y = 9 x a) x= 2 y = 9 2 b) y = 9 2 = 18 Svar: y = P= 2q+ 15 a) q= 5 P = b) P = = = 25 Svar: P = y = x y = kostnaden i kr, x = antalet dagar man hyr cykel a) x= 7 y = b) y = = = 20 Svar: Det kostar 20 kr att hyra cykel i 7 dagar Vid lästal med formler ska du - skriva upp formeln - skriva vad alla variabler (bokstäver) betyder. Ange även enheten. - sätta in värdet i formeln (utan enhet) - räkna ut vad det blir - skriva svar 211 a) P= 15 + q q= 6 P= = 21 c) P= 29 q q= 6 P= 29 6 = 2 b) P= 7 q q= 6 P= 7 6 = 2 d) P= 2 q q = 6 P= 2 6 = P= 5 8n n= 0 P= 5 8 0= 5 0=5 n= P= 5 8 = 5 2= 21 n= 1 P= 5 8 1= 5 8=7 n= P= 5 8 = 5 2= 1 n= 2 P= 5 8 2= 5 16= 29 n= 5 P= 5 8 5= 5 0= 5

6 21 s = 1, 5t+ 0,8 a) t = s = 1,5 + 0,8=,5+ 0,8= 5, b) t = 0,8 s= 1,5 0,8 + 0,8 = 1,2 + 0,8 = 2 21 p = 2a+ 2b a= 2 och b= 28 p= = = y = 0,x y = kommunalskatten i kr, x = inkomsten i kr För att beräkna skatten då inkomsten är kr, sätter vi in x = i formeln x= y = 0, = 2000 Svar: Skatten blir kr 216 y = x y = kostnaden i kr, x = antalet reklambroschyrer x= 500 y = = = 100 Svar: Det kostar 100 kr 217 y = x y = vikten i g, x = antal meter ståltråd x= 7 y = = = 56 Svar: Den väger 56 g 218 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 219 F 2 C = C = temperaturen i ºC, F = temperaturen i ºF 1, F = 11 C = = = 5 1, 8 1,8 Svar: Det motsvarar 5 ºC 220, 221 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 222, 22 Exempel som löses i boken. 22 Se facit och den lösta uppgiften Priset är 9 kr/kg. Varje kg kostar 9 kr. För att beräkna kostnaden tar vi vikten i kg kr kg kr gånger kilopriset. Kontroll av enheten visar att det stämmer: kg = = kr kg kg a) x = vikten i kg x kg kostar x 9 kr = 9 x kr b) p = kostnaden i kr, x = vikten i kg, p = 9x 226 Se facit och de lösta uppgifterna 12 och Se facit. Tänk efter hur du gör då du räknar med siffror! Du gör exakt likadant då du räknar med variabler. Om du t ex ska räkna ut hur mycket 1 % av 250 kr är så tar du 0, kr = 2,50 kr På samma sätt beräknas 1 % av x som 0,01 x = 0,01x

7 228, 229, 20, 21 Se facit. 22 Ett varv är 00 m a) Sträckan man springer på 2 varv är 2 00 m = 800 m b) Sträckan man springer på varv är 00 m = 1200 m c) Sträckan man springer på x varv är x 00 m = 00 x m y = sträckan i meter och x = antalet varv. y = 00x 2 Ett vykort kostar 7 kr a) x vykort kostar x 7 kr = 7 x kr b) y = kostnaden för vykorten i kr, x = antalet vykort y = 7x 2 Från början är det 2500 kr. a) Han sätter in x kr. Då finns det på kontot 2500 kr + x kr = ( x) kr b) Summan är y kr y = x 25 Ett varv är,2 km a) Efter x varv har man sprungit x,2 km =,2 x km b) y = antal km man sprungit y =,2x 26 a) I varje figur är det lika många rutor i bredd som figurens nummer. Höjden är 2 rutor. b) Om numret är n blir antalet rutor = 2 n = 2n c) N = antalet kvadrater, n = figurens nummer. Formeln blir: N = 2n 27 a) y = tiden i minuter, x = antalet timmar y = x 60 eller y = 60x Varje timme är 60 minuter. Genom att multiplicera antalet timmar med 60 får vi antalet minuter. 28 Exempel som löses i boken. 29 Resan tur och retur kostar 55 kr a) Varje musikkassett kostar 5 kr. 5 musikkassetter kostar 5 5 kr Resan och 5 musikkassetter kostar 55 kr kr = 55 kr kr = 20 kr b) Kostnaden = y kr, antalet kassetter = n, priset per kassett = a kr y = 55 + n a Jämför med uppställningen i a-uppgiften 20 a) Från början har han 2000 kr. Han sparar 250 kr/månad Efter 5 månader har han 2000 kr kr = 2000 kr kr = 250 kr b) a = kapitalet från början i kr, b = den summa i kr han sparar varje månad, t = antal månader, K = kapitalet efter t månader K = a+ t b Jämför med uppställningen i a-uppgiften 21, 22, 2, 2 Se bokens ledning samt lösningen i facit.

8 Kapitel. 01, 02 Exempel som löses i boken. 0 Se facit. 0 A1 = 50 och B1 = 0 a) A1 + B1 = = 80 b) A1 B1 = 50 0 = a) A1 + B1 = = 22 c) A1/B1 = 12/10 =1,2 b) A1 B1 = = 120 d) 2 A1 + B1 = = = 5 06 a) B1 0,25 = 200 0,25 = 50 b) B1 + B2 = = a) = 5 = 18 b) (B2 + B + B)/ c) = 51 = a) Summan = den fasta avgiften + antalet timmar timpriset. Antalet timmar = Värdet i B blir: = = 1100 b) Formeln blir: B1 + B2 B 09 a) 7 6 = 2 ; = 5 ; 5 = 18 ; = Det ska stå i ruta B5 b) cell formel B2 B1 6 B B B B/ B5 B - 2 B1 c) 10 6 = 60 ; = 72 ; 72 = 2 ; = Det ska stå i ruta B5 d) Det blir alltid. e) Man kan bevisa att det alltid blir genom att sätta in en variabel x i formeln. B1 = x B2 = 6x B = 6x + 12 B = 6 x x = + 12 = 2x + B5 = 2x+ 2x= 10 Se facit. Vi har: B1 = 2 A1 + 2 ; C1 = 2 B1 + ; D1 = 2 C1 + ; E1 = 2 D1 + 5 Varje nytt tal är alltså 2 det föregående + ett tal som ökar med 1 för varje steg

9 Kapitel. 01 Exempel som löses i boken x = x 18 Prövning med x = 5 a) VL = 12 2x = = = 2 b) HL = x 18 = 5 18 = = 2 c) Ja, VL = HL, x = 5 är en rot till ekvationen 0 2x + 10 = 5x 5 Prövning med x = 6 a) VL = 2x + 10 = = = 22 b) HL = 5x 5 = 5 6 5= 0 5= 25 c) Nej, VL HL, x = 6 är ingen lösning 0 6 = x 9 a) x = 20 VL = 6 ; HL = 20 9= 60 9= 51; VL HL x = 20 är ingen rot b) x = 15 VL = 6 ; HL = 15 9= 5 9= 6; VL = HL x = 15 är en rot 05 VL = 2x + 1 och HL = x + 7 ger ekvationen 2x + 1 = x + 7 x = 0 VL = 2x + 1 = = 0+ 1= 1 HL = x + 7 = 0+ 7= 0+ 7= 7 VL HL, x = 0 är ingen lösning till ekvationen x = 1 VL = 2x + 1 = = 2+ 1= 15 HL = x + 7 = 1 + 7= + 7= 11 VL HL, x = 1 är ingen lösning till ekvationen x = 2 VL = 2x + 1 = = + 1= 17 HL = x + 7 = 2 + 7= 8+ 7= 15 VL HL, x = 2 är ingen lösning till ekvationen x = VL = 2x + 1 = 2 + 1= 6+ 1= 19; HL = x + 7 = + 7= 12+ 7= 19 VL = HL, x = är en lösning till ekvationen Svar: Endast x = är en lösning till ekvationen 2x + 1 = x Prövning med x = 9 a) x x 9 = 12 VL = = = 12 = HL x = 9 är en lösning x x 9 b) + 2,5 = 8 VL = + 2,5 = + 2,5 = 7 8 = HL x = 9 är ingen lösning 2 2 2

10 07 a) 8x 1 = 12 Prövning med x = VL = 8x 1 = 8 1 = 2 1 = 11 ; HL = 12 ; VL HL, x = är ingen lösning b) VL = 11 och HL = 12 ; Om vi ökar VL med 1 så blir VL = HL. Ekvationen blir då:8x 12 = 12 Alternativt kan vi i stället minska HL med 1, vilket ger 8x 1 = Se facit 09 a) 5x + 25 = 5 Vi ser att 5x = 10 eftersom = 55x = 10 x = 2 eftersom 52 = 10 Svar: x = 2 b) x 10 = 290 Vi ser att x = 00 eftersom = 290x = 00 x = 100 eftersom 100 = 00 Svar: x = a) 6 = y 6 Vi ser att y = 2 eftersom 2 6 = 6y = 2 y = 1 eftersom 1 = 2 Svar: y = 1 b) 25(z + ) = 100 Vi ser att z + = eftersom 25 = 100 z + = z = 1 eftersom 1 + = Svar: z = 1 x x 11 a) 1 = 99 Vi ser att = 100 eftersom = 99 x = x = 00 eftersom 100 = Svar: x = 00 x x b) + 5 = 5 Vi ser att = 0 eftersom = x 0 80 = x = 80 eftersom = Svar: x = a) b) y = Vi ser att y + = 12 eftersom = y + = 12 y = 9 eftersom 9 + = 12 Svar: y = z =16 Vi ser att 5 z = eftersom 8 16 = 5 z = z = 2 eftersom 5 = 2 Svar: z = 2

11 . 1 Vi vet att 2 + = 55 Om = 5 får man att 25 + = 55. Då ser vi att måste vara 5 eftersom = 55. För att = 5 måste = 15 eftersom 15 = 5 Svar: = 15 1 a) Hela sträckan är 159. Det är lika mycket som 29 + x + x Ekvationen blir: x = 159 b) Vågskålarna väger jämnt. Det betyder att 70 är lika mycket som 20 + x + x Ekvationen blir: 70 = x 15 2x + 8 = + x x VL HL VL > HL för x = 0, 2 och, men för x = 6 blir VL < HL. Roten bör därför ligga mellan och 6 x = 5 VL = 2x + 8 = 2( 5) + 8 = = 2 och HL = + x = + ( 5) = 5 = 2 VL = HL, x = 5 är en rot till ekvationen x = 81 2x x VL = x HL = 81-2x VL för litet för stort = = 1 för litet = = 1 för stort = = 7 för litet = = 5 VL = HL VL ökar om vi väljer ett större värde på x och minskar då x blir mindre. Man kan välja x-värden på känsla efter hur stor skillnaden mellan VL och HL är eller systematiskt ta hälften av avståndet från förra värdet. Principen vid ekvationslösning är att vänster led och höger led ska vara lika under hela proceduren. Det innebär att man får göra vilka räkneoperationer som helst så länge man gör samma sak med båda leden och att det finns andra lösningar än de som visas här. Målet är förstås att få variabeln ensam på ena sidan. Man gör sig av med de siffror som står tillsammans med variabeln genom att använda det motsatta räknesättet mot det som står. - Skriv om ekvationen för varje räkneoperation du gör - Ta med dig hela ekvationen under hela lösningen - Arbeta nedåt med det nya uttrycket under det gamla 17 Exempel som löses i boken.

12 18 a) x + 25 = 9 x = 9 25 x = 68 b) x 51 = 61 x = x = 112 c) x + 7 = 65 x = 65 7 x = 28 d) 7 = x = x = x eller x = a) x = 18 x/ = 18/ x = 6 b) x/2 = 5 2 x/2= 2 5 x = 10 c) 12x = 8 12x/12 = 8/12 x = d) x/9 = 12 9 x/9= 9 12 x = a) 5x = 22 b) 5x + = x = 25 5x/5 = 25/5 x = 5 x / = 15 x / = 15 x = 60 x / = 60 / x = x 18 = 22 a) Addera 18 till båda leden. Då får man x = b) Räkna ihop båda leden. x = 0 22 x = 2 1 x 1 a) Båda leden multipliceras med 1. Då får man = 21 1 b) Förkorta bort 1 i vänster led och räkna ihop höger led x = 26 2 a) x + 12 = 1 x = 1 12 x = 2 b) y 16 = 18 y = y = c) 1 = t = t = t eller t = 8 d) 100 = r = r = r eller r = 85 2 a) x = 15 x 15 = x = 5 b) p 10 = 270 p = x = 27 c) x /= 15 x = 15 x = 5 d) p /10 = 270 p 10 = p = 2700

13 25 a) x 12 = 61 x = x = 77 b) x = x = x = 70 c) 1280 = t = t = t eller t = 1829 d) 1000 = y = y = y eller y = 26 Se facit. OBS! Du behöver inte lösa ekvationerna. Tänk bara efter i vilken ordning du ska göra de olika räkneoperationerna. Vad händer om man börjar med en annan beräkning än vad facit anger? knöligare att räkna. Ex. 26 a) 5x + 5 = 0. Om vi skulle börja med att dela båda leden med fem. Då skulle vi få 5 x = vilket ger oss x + 1 = Kvar att göra är att subtrahera 1 i båda led. Det ger oss en lösning men det alternativet finns inte givet i uppgiften. Börja därför med att ta bort den ensamma femman. Då får vi 5x = 0 5, sedan får vi enkelt får x ensamt genom att dela med a) x + 5= 26 x + 5 5= 26 5 x = 21 x 21 = x = 7 b) s 6 = 9 s = s = 15 s 15 = s = 5 c) 17 = 5 + x 17 5 = x 12 = x 12 x = = x eller x = d) 0 = 11m 0 + = 11m + = 11m 11 = 11 m 11 = m eller m =

14 Hittills har lösningarna varit väldigt utförliga. Men när man lärt sig metoden brukar man inte skriva ut räkneoperationerna på den sida där x står, utan man visar bara resultatet på nästa rad. Naturligtvis räknar man ändå på precis samma sätt. 28 a) 9,5x 11 = 8 9,5x = 19 x = 2 b) 18,6 = 2,z + 1,8,8 = 2,z 2 = z c) 6,5z 9, = 10,2 6,5z = 19,5 z = d) 0,25x + 0,5 = 1,95 0,25x = 1,5 x = 6 29 a) x = 8 x = 2 c) b = 12 b = 12 b = 16 b) 2m = m 5 = m = 25 d) s 7 = 18 6 s( 7) = 7 s = 2 ( ) a) x = 12 x = 12 x = 8 x = 16 b) y = 12 y = 12 y = 6 y = 9 c) 5z =0 6 5z = 0 6 z = z = 6 d) 6t = 0 5 6t = 0 5 t = t = 25 1 a) x + = 8 2 x = 8 2 x = 5 2 x = 10 c) 5 x 10 = 25 5x = 5 5x 5 = 5 5 x = 21 b) y 1 = 5 + 0, 2 y 1 5 = 0, 2 80,2 = y y = 1,6 d) 12 = 20 y 12 = 20 y 6 20 = y 16 = y

15 2 a) 2 y = 5 5 2y = 8 5 2y = 0 y = 20 b) 6 z + 9 = 7 6z = 6 7 6z = 67 z = 7 Se bokens ledning samt lösningen i facit., 5, 6 Exempel som löses i boken. Problemlösning med ekvationer: - Skriv upp fakta och skriv vad x ska betyda. (Oftast det man frågar efter) - Skriv ekvationen - hitta uttryck så att det som står i vänster led är lika mycket som det som står i höger led. - Lös ekvationen - Tänk efter vad det frågades efter och gör ytterligare beräkningar om det behövs. - Skriv svar. Man kan lösa problem på många sätt, men du ska nu träna på att använda ekvation. 7 Talet är x. x 7 = 98 x = 98 7 x = 1 Svar: Talet är 1. 8 Efter köp för 19 kr har Petra kvar 8 kr. Före köpet hade hon x kr. Det hon hade från början minus det hon handlade för är det hon har kvar. x 19 = 8 x = x = 222 Svar: Före köpet hade hon 222 kr % av x är 5 Vi översätter direkt till ett matematiskt uttryck. 0,15x = 5 x = 5 0,15 x = 00 Svar: x är 00.

16 0 2 % av priset före rabatt är 96 kr. Priset före rabatt är x kr. 0,2x = 96 x = 96 0, 2 x = 00 Svar: Priset före rabatt var 00 kr. 1 Efter en ökning med 10 % var priset 85 kr. Före ökningen var priset x kr. En ökning med 10 % ger förändringsfaktorn 1,10 1,10 gånger priset före höjning är priset efter höjning 1,10x = 85 x = 85 1,10 x = 50 Svar: Före ökningen var priset 50 kr. 2 a) Talet är x. x = 8 b) x = 8 x = 8 x = 12 Svar: Talet är 12 a) Antalet kulor är x. 8 % av x skrivs som 0,08x b) 0,08 x = 2 0,08x 2 = 0,08 0,08 x = 00 Svar: Det finns 00 kulor i asken. Löneökning 50 kr/månad. Nya lönen blev kr. Lönen före ökning var x kr. Gamla lönen plus löneökningen är nya lönen. x + 50 = x = x = Svar: Före ökning var lönen kr % av priset var 6 kr. Priset före rabatt var x kr. 0,15 gånger priset är 6 kr 0,15x = 6 x = 6/0,15 x = 20 Svar: Priset före rabatt var 20 kr.

17 6 2 % svarade Nej. Det var 2 stycken. Antalet som svarade var x. 2 % av x var 2 0,2x = 2 x = 2/0,2 x = 175 Svar: Det var 175 personer som svarade på frågan. 7 p = 115 0,5x p = antalet liter, x = antalet timmar. Antalet liter = 50 Vi sätter in 50 i stället för p i formeln 50 = 115 0,5x 65 = 0,5x x = 10 Svar: Efter 10 h är det 50 l i kärlet. 8 Efter en ökning med 2 % är antalet Antalet före ökning är x. 1,02 gånger det ursprungliga antalet är det nya antalet. 1,02x = x = , 02 x ,27 Avrunda så du får samma noggrannhet som de givna talen. x Svar: Antalet året innan var Efter avkortning med 15 % är längden 70 cm. Före avkortning var längden x cm. Nya längden är 85 % av gamla längden. 0,85x = x = 0,85 x 82,5 82 Svar: Staven var tidigare 82 cm 50 Se facit. 51 a) 12 g salt till en 8-procentig saltlösning. Lösningens vikt är x g. 12 g är 8 % av x. 0,08x = x = 0,08 x = 150 Svar: Lösningen väger 150 g b) Lösningen väger 150 g och det salt som ingår väger 12 g Vattnets vikt är 150 g 12 g = 18 g Svar: Hon ska väga upp 18 g vatten.

18 52, 5, 5 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 55 Exempel som löses i boken. 56 a) x x x 5 = 8 b) = 7 1 = 8 x 7 7 = 57 1 x = 2 x = 5 = 2,5 2 Ekvationer utan text ska du alltid lösa exakt. Det innebär att du kan behöva räkna med bråk. Ett avrundat decimaltal är inte exakt hur många siffror du än tar med. 57 a) 5 = y x 9 b) = 5 10 y x 5 = = = y x = y = 2 x = a) 6 x = 2 b) 12 = x 6 x x = 2 x 12 x = x x 6 = 2x 12x = 6 2 = x x = Då x står i nämnaren börjar du med att multiplicera båda leden med x. Sedan förkortar du bort x på den sida där det finns i både täljare och nämnare. x = x = 1 59 a) = 8 5 b) x x = 10 7 x 8 x 5 x = = 10 x x x 7 x = 8 57 = 10x x = 8 57 x = 10 x = 12 x =,5

19 60 a) 9 p = 7 b) 7 10 = 5 z 9 p = p 7 z = 5 z p 7 10 z 97 = p 7z = 5 10 p = z = 7 p = 21 z = a) 5 2x = 10 b) 2 s = = 10 2x 2 6= 1s x = 5 s = x = 0,25 s = Då båda leden består av bråk får du snabbt ett enklare uttryck att räkna med om du samtidigt tar båda leden gånger båda nämnarna. 62 x y a) + 2 = 5 b) 7 = 2 x y = 5 2 Byt tecken = 7 2 x = genom att ta y = 2 båda leden x = 12 gånger 1 ( 1)( y) = ( 1)( 6) y = 6 6 a) 8 1 x = 15 b) = 15 z 8 x = z = x 18 z = 16 x = 6 z x z 8 = 16x 18 = 6z x = 8 z = x = 0,5 z = 6 Förhållandet mellan stolpens höjd och skuggans längd är: - för grindstolpen 1, m : 1, m - för telefonstolpen x m : 7,0 m Då får vi ekvationen: 1, 1, = x 7,0 1, 7, 0 x = 1, x = 6,5 Svar: Telefonstolpen är 6,5 m hög

20 65 Jakob, som väger 8 kg får 10 ml Kåvepenin. a) Johan väger 20 kg. Han får x ml. Dosen proportionell mot vikten. x 10 = Teckna antalet ml per kg kroppsvikt. Det ska vara lika x = 8 x = 25 Svar: Johan ska ha 25 ml b) Pia får 15 ml. Hon väger y kg Använd inte samma variabel för olika betydelser 15 y = y = 10 y y = 10y y = y = 12 Svar: Pia väger 12 kg 66 Se även bokens ledning samt lösningen i facit Det går 18 liter på 25 mil. a) På 6 mil går det x liter Teckna antalet liter per mil. Det är lika båda gångerna. x 18 = 6 25 x = , Svar: Det går åt ca 26 liter b) På 6 liter kan hon köra y mil 6 y = = 18y 6 25 y = 18 y = 87,5 Svar: Hon kan köra 87,5 mil på full tank dollar kostade 1950 kr a) Linus fick betala x kr för 600 dollar x 1950 = Vi tecknar hur många kr varje dollar kostar x = x = Svar: Han fick betala 680 kr b) Sofia får y dollar för 120 kr 120 = y = 1950 y y 250 y 250 y= 00 Svar: Sofia får 00 dollar för 120 kr = 1950y y =

21 68 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 69 Exempel som löses i boken. 70 Se bokens ledning samt lösningen i facit. Studera noggrant lösningen till exempel 69 71, 72, 7 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 7 Se bokens ledning samt lösningen i facit. Man multiplicerar båda leden med MGN 75 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 76, 77, Exempel som löses i boken 78, 79 Man arbetar på precis samma sätt med formler som med ekvationer man gör hela tiden samma sak på båda sidorna, tills man kommit fram till det uttryck man vill ha. 80 a) 9y = 5 9y 5 = 9 9 y = 5 b) ay = 5 ay a = 5 a y = 5 a c) 72 = 8y 72 8 = 8 y 8 y = 9 d) 7 = ty 7 = ty t t y = 7 t 81 a) x + 2 = 11 x = 11 2 x = 9 b) x + y = 11 x = 11 y c) x 6 = 21 x = x = 27 d) x z = 21 x = 21 + z 82 a) ax = 27 b) ax = b ax a = 27 ax a a = b a x = 27 x = a b a 8 a) p q = 10 b) q = p + 2a p q + q = 10 + q q 2a = p + 2a 2a p = 10 + q p = q 2a 8 a) x + y = 10 x + y y = 10 y x = 10 y c) x y 7 = 0 x y 7 + y + 7 = 0 + y + 7 x = y + 7 b) x y = 2 x y + y x = 2 + y = 2 + y d) x + 2y 6 = 0 x + 2y 6 2y + 6 = 0 2y + 6 x = 2y + 6 eller x = 6 2y

22 Vid multiplikation kan man utan vidare ändra ordningen mellan faktorerna 2 = 2 och x 2= 2 x = 2 x eller x y = yx = xy ( ) Även vid addition och subtraktion kan ordningen ändras - bara man tar med sig det tecken som hör till termen. En positiv term som står först skrivs utan tecken. 85 a) m = d s b) m = 0 mg och d = 1,5 ml m d = d s d s = m d s = m 0 mg 20 mg ml d = 1, 5 ml = Svar: Styrkan är 20 mg/ml Du ska alltid lösa ut den variabel du ska bestämma värdet på. Först därefter sätter du in värdena på övriga variabler. 86 a) ρ = m V ρ V = ρ V = m ρ ρ V = m ρ mv V b) ρ = 820 kg/m och m = V = m ρ =, Kontroll av enheten:,5 10 kg, 268, kg kg m Svar: Volymen är, m kg kg m = kg = = m m kg 87 Exempel som löses i boken. 88, 89,90, 91 Se bokens ledning samt lösningen i facit Kapitel.5 501, 502 Exempel som löses i boken 50 Se facit Man kan inte räkna ihop äpplen och päron. Lägg ihop antalet x för sig och de ensamma siffrorna för sig. Eftersom vi inte vet värdet på x kan vi inte lägga ihop dem med något annat x + 7 x = 11x x + 7 = 7x + Det är inte nödvändigt att ändra ordningen innan man räknar ihop. Man kan i stället stryka termerna allt eftersom man tar med dem.

23 505 a) 5x+ 2x= 28 b) 7x x= 16 7x = 28 x = x = 28 7 x = 16 x = x = 506 Ena talet är x och det andra talet är 5x. Differens betyder skillnad vi tar det större talet minus det mindre 5x x = 2 x = 2 x = 2 x = 6 Det ena talet är 6, det andra talet är 5 6= 0 Svar: Talen är 6 och 0 507, 508, 509, 510 Se facit a) 5x+ x= 16 c) n+ n= 12 8x = 16 x = x = n = 12 n = b) 9y y = 0 d) 8t t = 28 5y = 0 y = y = t = 28 t = t = Kom ihåg att det är det tecken som står före termen som hör till termen. a) x + x = 7x + b) 5a a = 2a a) 1y 9y 7 = 5y 7 b) y = 2 5y 7 = 52 7= 10 7= 51 Se facit Räkna ut det sammanlagda antalet. Man räknar på samma sätt oavsett om man räknar x eller n eller äpplen: Jag har 7 äpplen och ger bort. Sedan får jag 5 ytterligare. Hur många har jag då? Det motsvaras av uttrycket: 7s s + 5s 515 Lägg ihop längden av alla delar: x + 2,5x + x = 6,5x 516 a) CD-skivan kostar gånger så mycket som bandet. Om bandet kostar x kr så kostar därför CD-skivan x kr.

24 b) Tillsammans kostar bandet och CD-skivan 180 kr. Vi får: x + x = 180 c) x + x = 180 x = 180 x = 5 Svar: Bandet kostade 5 kr 517 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 518 a) Antal pojkar är x Antal flickor x + 5. Antal pojkar + antal flickor = 29 Ekvation nr : x + x + 5 = 29 b) x + x + 5 = 29 2x + 5 = 29 2x = 29 5 = 2 x = 12 Svar: Det är 12 pojkar. 519 Exempel som löses i boken. 520 a) 2x = x + 2x x = x + x x = b) x = x + 6 x x = x + 6 x 2x = 6 x = c) 5x = x x = 10 x = 5 d) 7y = y 5y = 15 y = 521 a) 9y = 2y+ 21 c) 6y = 5+ y 7y = 21 5y = 5 y = y = b) 7y = 18 2y 9y = 18 y = 2 a) 15 2x = x 15 = x 5 = x b) x + 10= 8x 10 = 5x 2 = x d) y = 10 y 2y = 10 y = 5 c) 28 9x = 5x 28 = 1x 2 = x d) 7x + 5= 6x x + 5= 0 x = 5

25 52 Triangelns sidor har längderna x cm, 2x cm och 11,0 cm. Tillsammans är de 26,0 cm. Ekvationen som skall lösas är alltså x + 2x + 11,0 = 26,0 x+ 2x+ 11,0= 26, 0 x = 15,0 x = 5,0 En sida är 5,0 cm, den andra sidan är 2 5,0 cm = 10,0 cm Svar: Sidorna är 5,0 cm, 10,0 cm och 11,0 cm 52 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 525 Sträckan BC är x km och sträckan AB är (x ) km. AB + BC = 20 km Ekvationen som skall lösas är x + x = 20 x + x= 20 2x = 20 2x = 2 x = 11,5 BC är 11,5 km, AB är (11,5 ) km = 8,5 km. Svar: AB är 8,5 km och BC är 11,5 km 526, 527 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 528, 529 Exempel som löses i boken. 50 a) 2 (5x 9) = 2 5x 2 9 = 10x 18 b) 6( z) = 6 6 z = 18 2z 51 a) x+ 12 = x+ = ( x+ ) b) 0x 70 = 10 x 10 7 = 10(x 7) Jämför lösningarna i 51 och 50. När du bryter ut gör du motsatsen mot vad du gör när du multiplicerar in. Läser vi t ex 50 a) bakifrån blir det en utbrytning av 2. 10x 18 = 2 5x 2 9 = 2(5x 9) 52 a) 2( x ) = 8 2 x 2 = 8 2x 6= 8 2x = 1 x = 7 b) (2x 5) = 21 2 x 5 = 21 6x 15= 21 6x = 6 x = 6 Om du vill kan du, i stället för att multiplicera in, börja med att dela båda leden med den siffra som står framför parentesen. I vissa fall ger det en snabbare lösning, se nedan.

26 a) Alternativ lösning: 2( x ) = 8 2( x ) 8 = 2 2 x = x = 7 b) Alternativ lösning: (2x 5) = 21 (2x 5) 21 = 2x 5= 7 2x = 12 x = 6 5 Se facit. 5 a) ( x + 2) = x+ 2 = x+ 8 b) 8 (x ) = 8 x 8 = 2x 2 55 a) 10x+ 16 = 2 5x+ 2 8 = 2(5x+ 8) b) 27 18y = 9 9 2y = 9( 2 y) 56 a) 2( x 1) = 6 x 1= x = b) ( y + 1) = 9 y + 1= y = 2 c) 5(2x 1) = 15 2x 1= 2x = x = 2 d) 2(x + ) = 22 x + = 11 x = 8 x = 2 57 Se facit. 58 a) 1x+ 5 = 7 2x+ 7 5 = 7(2x+ 5) b) 2 56t = 8 8 7t = 8( 7 t) 59 a) Se 56 d) b) 2(x + ) = 26 x + = 1 x = 10 x = 2,5 50 Exempel som löses i boken. 51 a) ( x 2) = x x 6= x x 6 x+ 6= x x+ 6 2x = 6 x = b) 9( y ) = y 9y 6= y 9y 6 y+ 6 = y y+ 6 6y = 6 y = 6

27 52 Se facit. 5, 5, 55 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 56, 57 Exempel som löses i boken a) 8 + (x ) = 8 + x = 5 + x c) 2p + (p 5) = 2p + p 5 = p 5 b) 5 (x 2) = 5 x + 2 = 7 x d) 5a (7 + a) = 5a 7 a = a 7 a) 2a + (a ) = 2a + a = a c) 7p + (8 p) = 7p + 8 p = p + 8 b) 2a (a ) = 2a a + = a + d) a (2a 7) = a 2a + 7 = a a) (6x ) + (x + ) = 6x + x + = 7x + 1 b) (2x ) ( 2x) = 2x + 2x = x 6 c) (7m + 9) + (7m 9) = 7m m 9 = 1m d) (2 + n) (6 n) = 2 + n 6 + n = 6n vilket är samma som + 6n 551 a) (7x 5) (2x 10) = 7x 5 2x + 10 = 5x + 5 b) x = 1 5x + 5 = = 5+ 5= a) + ( x + 1) = 9 + x + 1= 9 x + 5= 9 x = 55 a) 9 (6 x) = x = 7 + x = 7 x = 55 a) x+ (5 + 2 x) = 17 x+ 5+ 2x= 17 x + 5= 17 x = 12 x = b) 10 + (2t 1) = t 1 = 15 2t + 9= 15 2t = 6 t = b) 11 ( 2 x) = x = x = 10 2x = 2 x = 1 b) 8 x (x+ 10) = 15 8x x 10 = 15 5x 10= 15 5x = 25 x = 5

28 555 a) 10 + (x 1) = 10 + x = 6 + x b) 10 (x 1) = 10 (x ) = 10 x + = 1 x c) 9y 5(y + 2) = 9y (5y + 10) = 9y 5y 10 = y 10 d) 12x ( x) = 12x (12 x) = 12x 12 + x = 16x a) x+ 5( x 2) = 2 x+ 5x 10= 2 6x = 12 x = 2 c) y+ (2 y ) = 5 y+ 6y 9= 5 7y = 1 y = 2 b) x 2( x 1) = 8 d) y ( y) = 5 x 2x+ 2= 8 2x = 6 x = y y = 5 17y = 17 y = Se bokens ledning samt lösningen i facit. 558 Se facit. 559 Se bokens ledning samt lösningen i facit.