Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 8:15-12:15 Lärare och examinator : Armin Halilovic

Transkript

1 Tentamen TEN, HF0, juni 0 Matematisk statistik Kuskod HF0 Skivtid: 8:-: Läae och examinato : Amin Halilovic Hjälpmedel: Bifogat fomelhäfte ("Fomle och tabelle i statistik ") och miniäknae av vilken typ som helst Skiv namn och pesonnumme på vaje blad Denna tentamenslapp få ej behållas efte tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösninga Poängfödelning och betygsgänse: Tentamen ge maximalt 3 poäng Betygsgänse: Fö betyg A, B, C, D, E kävs 30,, 0, 6 espektive poäng Kompletteing: poäng på tentamen ge ätt till kompletteing (betyg Fx) Vem som ha ätt till kompletteing famgå av betyget Fx på MINA SIDOR Kompletteing ske c:a två vecko efte att tentamen ä ättad Om kompletteing ä godkänd appoteas betyg E, annas appoteas F

2 Uppgift (3p) Baa fö dem som inte klaat ks Fö de två händelsena A och B gälle att A) 07 P ( A 0 9 och 0 Rita mängddiagam och bestäm a) A b) A c c) Bestäm (med angivande av motiveing) om A och B ä obeoende händelse Uppgift (3p) Baa fö dem som inte klaat ks En kontinuelig stokastisk vaiabel X ha täthetsfunktionen x f ( x) 0 om 0 x föövigt Bestäm a) väntevädet b) vaiansen till den sv X Uppgift 3 (3p) Baa fö dem som inte klaat ks3 Vid tillvekning av en viss typ motstånd bli esistansen N(0,) födelad (Enhet ohm) Vad ä sannolikheten att seiekopplade sådana motstånd skall få en esistans mellan 8 och 3 ohm? Uppgift (p) I en låda finns 00 öda 00 göna och 300 blå kulo Vi ta 0 kulo på måfå Bestäm sannolikheten att få a) (exak 3 öda, 7 göna och 0 blå kulo b) högst öda kulo ( bland 0 valda) Du ska svaa med binomialkoefficiente Uppgift (p) En stokastisk vaiabel X ha födelningsfunktionen F ( x) c e 0, x, 0 x < x < 0 a) Visa att paameten c ha vädet b) Beäkna medianen till X Uppgift 6 (3p) Låt X N(0,) och X N(,3) vaa nomalfödelade sv Låt Y X X Bestäm ett tal b så att P ( Y > b) 0 Va god vänd!

3 Uppgift 7 (p) En foskae gjode mätninga fö en nomalfödelade stokastisk vaiabel X N(μ,σ) och fick följande esultat (σ okän: X: Bestäm ett 9 % konfidensintevall fö medelvädet μ Uppgift 8 (p) a) Bestäm en stationä sannolikhetsvekto fö en Makovkedja i disket tid vas 0 0 övegångsmatis ä P 0 06 b) Bestäm en stationä sannolikhetsvekto fö en Makovkedja i kontinuelig tid vas intensitetsmatis ä Q 3 3 Uppgift 9 (3p) En kontinuelig Makovkedja med två tillstånd E och E ha intensitetsmatisen Q Låt p ( ( x(, ) vaa tillhöande sannolikhetsvekto dä x( beteckna 6 6 sannolikheten att systemet ä tillstånd E och sannolikheten fö E vid tiden t Vid tiden 0 ä systemet i tillstånd E dvs p ( 0) (,0 ) Bestäm den tansienta sannolikhetsvekton p ( ( x(, ), dvs lös systemet p ( p( Q Uppgift 0 (p) Låt X vaa en kontinuelig sv Bevisa att E(aX+b)aE(X)+b, dä a och b ä konstante ( Hä E(X) och E(aX+b) beteckna väntevädet av X espektive ax+b) Uppgift (3p) I en stad lide % av befolkningen av en sjukdom Man ha tagit fam ett billigt test som visa positivt utslag fö 99 % av patientena som ha sjukdomen, men som även visa falskt positivt esultat fö % av dem som inte ha sjukdomen Om en peson få positivt esultat i testet, hu sto ä då isken att hon/han ha sjukdomen? Uppgift (p) Vi placea 3 identiska bolla i stoa lådo A, B, C D och E Ett exempel på placeing: a) På hu många olika sätt kan man göa det? b) I hu många placeinga ä båda lådo B och D tomma? Lycka till

4 FACIT Uppgift (3p) Baa fö dem som inte klaat ks Fö de två händelsena A och B gälle att A) 07 P ( A 0 9 och 0 Rita mängddiagam och bestäm a) A b) A c c) Bestäm (med angivande av motiveing) om A och B ä obeoende händelse A c B c A B A B a) A A) + A A A 0 b) A c A 0 c) A och B ä obeoende händelse om och endast om A A) I våt fall gälle: P ( A 0, medan P ( A) 0 8 Slutsats: A och B ä INTE obeoende händelse eftesom A A) Sva: a) P ( A 0 b) A c 0 c) EJ obeoende Uppgift (3p) Baa fö dem som inte klaat ks En kontinuelig stokastisk vaiabel X ha täthetsfunktionen

5 x f ( x) 0 om 0 x föövigt Bestäm a) väntevädet b) vaiansen till den sv X a) Väntevädet ä m xf ( x) dx 0 x 6 x dx b) Vaiansen ä x f x) ( dx m Föst x f ( x) dx 0 x 6 7 x dx Däfö ä vaiansen Sva a) /7 b) / Uppgift 3 (3p) Baa fö dem som inte klaat ks3 Vid tillvekning av en viss typ motstånd bli esistansen N(0,) födelad (Enhet ohm) Vad ä sannolikheten att seiekopplade sådana motstånd skall få en esistans mellan 8 och 3 ohm? Låt X beteckna esistansen i motstånd k och Y den totalaesistansen i seiekopplade sådana k Y X L + Vidae + X + X motstånd Då gälle E( Y ) E( X ) + E( X ) + L + E( X ) Va ( Y ) σ + L σ Dämed bli standadavvikelsen D(Y) 0 Alltså Y N(0, ) ( Samma esultat fö vi diekt med hjälp av fomel Y N( nm, σ n) ) Nu ha vi P (8 < Y < 3) F(3) F(8) Φ( ) Φ( ) Φ( 067) Φ( 0) Sva 0

6 Uppgift (p) I en låda finns 00 öda 00 göna och 300 blå kulo Vi ta 0 kulo på måfå Bestäm sannolikheten att få a) (exak 3 öda, 7 göna och 0 blå kulo b) högst öda kulo ( bland 0 valda) Du ska svaa med binomialkoefficiente Sva a) 00 3 L ösning b) Det finns 00 öda och 00 "icke öda" kulo högst öda kolo) 0 öd)+ öd)+ öda) Sva b) Uppgift (p) En stokastisk vaiabel X ha födelningsfunktionen c e F ( x) 0, x, 0 x < x < 0 a) Visa att paameten c ha vädet b) Beäkna medianen till X Lösning a) Metod Fö en födelningsfunktion alltid gälle lim F( x) Däfö lim( c x e x ) c 0 c x Metod Enligt antagande ä F(x) kontinuelig Det betyde att vänstegänsvädet

7 högegänsvädet funktionens väde i vaje punkt x, dämed även i punkten x0 Däfö lim F( x) lim F( x) x 0+ x 0 x 0 Eftesom lim F( x) lim ( c e ) c e c x 0+ x 0+ och lim F ( x) lim 0 0 x 0 x 0 ha vi c 0 c Lösning b) F( x) / e x / e x / x ln(/ ) x ln(/ ) dvs x ln() x ln() Sva b) Medianen ln 0836 Uppgift 6 (3p) Låt X N(0,) och X N(,3) vaa nomalfödelade sv Låt Y X X Bestäm ett tal b så att P ( Y > b) 0 Väntevädet: E Y ) E( X ) E( X ) 0 ( Vaiansen: Va ( Y ) σ + ( ) σ + ( ) Standadavikelsen: D ( Y ) Va Dämed Y N(,) Fö att bestämma b notea vi att P ( Y > b) 0 ä ekvivalent med P ( Y b) 08 dvs F ( b) 0 8 Nu ha vi b b F ( b) 08 Φ( ) b Sva b308 Uppgift 7 (p) En foskae gjode mätninga fö en nomalfödelade stokastisk vaiabel X N(μ,σ) och fick följande esultat (σ okän: X: Bestäm ett 9 % konfidensintevall fö medelvädet μ

8 Lösning Medelvädet: x n n x i i 30 Vaiansen: n Va σ ( x i x) 8 n i σ Va 979 t α F - (097)776 / t 0 0 Konfidensintevall: σ σ 9 9 x tα /, x + tα / ) ( , ) n n ( (63799, 33600) Sva (63799, 33600) Uppgift 8 (p) a) Bestäm en stationä sannolikhetsvekto fö en Makovkedja i disket tid vas 0 0 övegångsmatis ä P 0 06 b) Bestäm en stationä sannolikhetsvekto fö en Makovkedja i kontinuelig tid vas intensitetsmatis ä Q 3 3 Lösning a)fö att bestämma en stationä sannolikhetsvekto fö en disket Makovkedja löse vi ekvationen p pp I våt fall, med p ( x, y ) ha vi 0 0 ( x, y) ( x, y) 0 06 Häav x 0 x + 0 y (ekv) y 0 x + 0 6y (ekv)

9 elle efte föenkling : 0 x 0 y 0 (ekv) 0 x + 0 y 0 (ekv) Dessutom gälle x + y (ekv3) (eftesom p ( x, y) ä en sannolikhetsvekto) Fån ekv 3 få vi y x Detta substitueas i ekv och fås 0 x 0( x) 0 0 9x x 9 Däefte y x 9 Sva a) p (, ) 9 9 b) Fö att bestämma en stationä sannolikhetsvekto fö en kontinuelig Makovkedja löse vi ekvationen p Q 0 I våt fall, med p ( x, y) ha vi ( x, y) (0,0) 3 3 få vi två ekvatione x + 3y 0 (ekv) x 3y 0 (ekv) dessutom gälle x + y (ekv3) (nomeingsekvation fö en sannolikhetsvekto) Fån ekv 3 få vi y x Detta substitueas i ekv och fås 3 x + 3( x) 0 7 x x 7 Däefte y x 7 3 Sva b) p (, ) 7 7 Uppgift 9 (3p) En kontinuelig Makovkedja med två tillstånd E och E ha intensitetsmatisen Q Låt p ( ( x(, ) vaa tillhöande sannolikhetsvekto dä x( 6 6 beteckna sannolikheten att systemet ä tillstånd E och sannolikheten fö E vid tiden t Vid tiden 0 ä systemet i tillstånd E dvs p ( 0) (,0 ) Bestäm den tansienta sannolikhetsvekton p ( ( x(, ), dvs lös systemet

10 p ( p( Q Q 6 6 Vi substituea p ( ( x(, ) i ekvationen p ( p( Q och få ( x '(, y'( ) ( x(, ) 6 6 x '( x( + 6 (ekv a) y' ( x( 6 (ekv b) samt x ( + ( ekv c) (ekv c gälle eftesom ( x (, ) ä en sannolikhetsvekto) Fån ekv c få vi x( som vi substituea i (ekv a) fö att få en diffeencial ekvation med obekant funktion x ( : x' ( x( + 6( x( ) Efte föenkling ha vi följande ekvation med konstanta koefficiente: x '( + 0x( 6 (*) Motsvaande kaakteistiska ekvationen till homogena delen ä och dämed ä X h 0t Ce den allmänna lösningen till det homogena delen En patikulä lösning få vi med hjälp av ansatsen X p A ( eftesom högeledet i (*) ä, dvs en konstan Substitutionen av X p A i (*) gö

11 0 + 0A 6 A 6/ 0 / Alltså X / p Däfö ( ) 0 t x t X + X Ce + / h p Begynnelsevillkoet: Enligt antagande ä systemet i funktion vid t0 0 Däfö x ( 0) Alltså Ce t + / C / och ( ) 0 t x t e + Fö att få y ( använde vi x( och få ( e 0t + ) e 0t Sva p ( x(, ) e 0t +, e 0t Uppgift 0 (p) Låt X vaa en kontinuelig sv Bevisa att E(aX+b)aE(X)+b, dä a och b ä konstante ( Hä E(X) och E(aX+b) beteckna väntevädet av X espektive ax+b) Enligt definitionen ha vi E(aX+b) ( ax b) f ( x) dx [ axf ( x) + bf ( x) ] + dx a xf ( x) dx + b f ( x) dx ae ( X ) + b VSB Anmäkning: Vi ha använt att xf ( x) dx E( X ) och att f ( x) dx Uppgift (3p) I en stad lide % av befolkningen av en sjukdom Man ha tagit fam ett billigt test som visa positivt utslag fö 99 % av patientena som ha sjukdomen, men som även visa falskt positivt esultat fö % av dem som inte ha sjukdomen Om en peson få positivt esultat i testet, hu sto ä då isken att hon/han ha sjukdomen? Låt S vaa händelsen att en ( slumpvis vald) peson ä sjuk Låt F vaa händelsen att en ( slumpvis vald) peson ä fisk Låt Pos vaa händelsen att testet ge positivt utslag

12 Låt Neg vaa händelsen att testet ge negativt utslag Enligt uppgiften ha vi följande: en peson sjuk 00 fisk 099 positivt utslag 099 negativt utslag 00 positivt utslag 00 negativt utslag 098 Då gälle ( enligt fomeln fö betingade sannolikhe: S Pos) S Pos) Pos) Den totala sannolikheten fö positivt utslag ä P ( Pos) S) Pos S) + F) Pos F) S Pos) S) Pos S) Häav P ( S Pos) Pos) Pos) Sva 033 Uppgift (p) Vi placea 3 identiska bolla i stoa lådo A, B, C D och E Ett exempel på placeing: a) På hu många olika sätt kan man göa det? b) I hu många placeinga ä båda lådo B och D tomma? a) Vi betakta ett ekvivalent poblem:

13 Pemutatione av 6 bokstäve I och 3 bokstäve O (se bilden) T ex: Pemutationen IOOIOOOOIIOOOI svaa mot ovanstående exempel Vaje pemutation måste böja och sluta med I (annas hamna inte bollen i någon låda) Däfö pemutea vi bokstäve I och 3 bokstäve O 7! 7 6 a) Det finns N 380 sådana pemutatione!3! 3 Sva a) 380 b) Om lådo ä tomma placea vi alla 3 bolla i 3 lådo (Vaje pemutation måste böja och sluta med I) Vi esonea på samma sätt som i a-delen:! Det finns K 0 sådana pemutatione!3! Sva b) 0