TENTAMEN HF1006 och HF1008

Transkript

1 TENTAMEN HF006 och HF008 Datum TEN jan 0 Ti -7 Analys och linjär algebra, HF008 (Meicinsk teknik), lärare: Jonas Stenholm Analys och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Marina Arakelyan Linjär algebra och analys, HF006 (Datateknik), lärare: Armin Halilovic Eaminator: Armin Halilovic Betygsgränser: För gokänt krävs 0 av ma poäng För betyg A, B, C, D, E, F krävs, 9, 6,, 0 respektive 9 poäng Hjälpmeel på tentamen TEN: Utela formelbla Miniräknare ej tillåten Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg F) Skriv enast på en sia av papperet Skriv namn och personnummer på varje bla Inlämnae uppgifter skall markeras me kryss på omslaget Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans me lösningarna Fullstäniga lösningar skall presenteras till alla uppgifter Uppgift ( p) (Stuent som är gokän på KS hoppar över uppgift ) a) Låt f ( ) = + + och g( ) = +, R Bestäm f ( g( )) b) Bestäm erivatan y () är y () är implicitefiniera genom y + y = 6 c) Beräkna lim ln( ) ) Beräkna lim Uppgift ( p) Låt f ( ) = 9 + a) ( p) Bestäm funktionens stationära punkter och eras typ (maimum, minimum eller terraspunk b) (p) Bestäm eventuella asymptoter till f () c) (p) Skissa funktionens grafen Uppgift ( p) Beräkna följane integraler a) + 7 ( Tips: Använ substitutionen + 7 = t ) b) ( Tips: Polynomivision ) Var go vän!

2 Uppgift ( p) Bestäm arean av et områe som efinieras av 0 y cos, 0 ( Me anra or ligger områet mellan kurvan y = cos, -aeln och linjerna = 0och = ) ( Tips: Partialintegration använs två gånger ) Uppgift ( p) Ett objekt rör sig längs y-aeln me accelerationen a ( = cos(0 ( i lämpliga enheter t e m/s ) Partikelns position vi tipunkten t betecknar vi me y( och partikelns hastighet me v( Bestäm partikelns position y( och hastigheten v( om y(0) = och v ( 0) = Tips: v ( = a(, y ( = v( Uppgift 6 ( p) Bestäm en lösning till följane (separabla) ifferentialekvation + y = som uppfyller cos y y () = 6 Uppgift 7 (p) Lös följane ifferentialekvationer a) (p) y + y + y = 0 b) (p) y + y + y = + Uppgift 8 ( p) Bestäm strömmen i( i neanståene RC krets är R= ohm, C= fara, u ( = 0sin(00t ) volt och i(0)=0 ampere 00 Tips: Spänningsfallet över ett motstån me resistansen R är lika me R i( Spänningsfallet över en konensator me kapasitansen C är lika me q ( / C, är q( är laningen ( i coulomb) och q ( = i( Lycka till!

3 FACIT Uppgift ( p) (Stuent som är gokän på KS hoppar över uppgift ) a) Låt f ( ) = + + och g( ) = +, R Bestäm f ( g( )) b) Bestäm erivatan y () är y () är implicitefiniera genom c) Beräkna ) Beräkna y + y lim ln( ) lim = 6 a) f ( g( )) = ( + ) + ( + ) + = = b) Beräknas me hjälp av implicit erivering ( y + y ) = ( ) ( ) y + ( y) + ( ) y + ( y ) = 0 y + y + y + y y = 0 y y + y = + y ( )( + ) c) lim = lim = lim( + ) = 7 Alternativ lösning ( L' Hospitals regel): lim = typ 0 0 = lim = 7 L' H ) ln( ) L'H lim 0 = typ = 0 lim =

4 y + y Svar: a) f ( g( )) = b) y ( ) = c) 7 ) + y Rättningsmall: p för korrektmeto och svar för varje el a, b, c, Uppgift ( p) Låt f ( ) = 9 + a) ( p) Bestäm funktionens stationära punkter och eras typ (maimum, minimum eller terraspunk b) (p) Bestäm eventuella asymptoter till f () c) (p) Skissa funktionens grafen a) Definitionsmäng: ( + ) ( + ) Stationära punkter f ( ) = = 9 ( + ) 9 ( + ) = 0 och = f ( ) = 0 ( + ) = 0 Förstaerivatans teckenstuie: ( + ) ( + ) f () 0 + ej ef f () min ej ef terrasspunkt I punkten = Punkten = 0 har funktionen (lokal minimum f ( ) = är en terrasspunkt är f ( 0 ) = 0 b) Asymptoter till f ( ) = : 9 + I punkten = är nämnaren = 0 och täljaren 0 Därför f () ± å och ärme är = en vertikal asymptot Horisontella asymptoter saknas eftersom lim f ( ) = lim 9 + =

5 Snea asymptoter saknas eftersom lim c) Grafen f ( ) = lim 9 + = Svar: a) = är en minimipunkt = 0 är en terrasspunkt b) = en vertikal asymptot c) se ovanståene graf Rättningsmall: a) p för för två stationära punkter eller stationär punkt och korrekt typ b) p för korrekt vertikal asymptot c) p för korrekt graf ( me alla element från a och b) Uppgift ( p) Beräkna följane integraler a) + 7 ( Tips: Använ substitutionen + 7 = t ) b) ( Tips: Polynomivision ) + 7 = t t 0 Variabelsubstitution: + 7 = t, 0 = t = t 0

6 = t / t / t = + C / = ( + 7) + C = ( + 7) C b) Täljaren har högre gra än nämnaren Gör ärför en polynomivision och integrera ärefter: Polynomivision ger att = + Integrera: = + = + + C ln Svar: a) ( + 7) C b) + ln + C Rättningsmall: a) En poäng om man eliminerar och kommer till b) p för korrekt polynomivision t / t Uppgift ( p) Bestäm arean av et områe som efinieras av 0 y cos, 0 ( Me anra or ligger områet mellan kurvan y = cos, -aeln och linjerna = 0och = ) ( Tips: Partialintegration använs två gånger ) Arean A = 0 cos

7 Först beräknar vi en obestäma integralen cos genom att ( gånger) använa partiell integration f g = f g f g cos = = f g f g = sin sin = ( uv u ) = sin v Partiell Integration () : f =, g = cos f =, g = sin Partiell Integration () för sin u =, v = sin u = v = cos sin ( ( cos ) ( cos ) )= sin + cos cos = = sin + cos sin + C Arean [ ] / A = cos = 0 = sin + cos sin sin + cos sin 0 [ 0 sin cos0 sin 0] = Svar: Arean = Rättningsmall: Korrekt en partiell integration ger p Allt korrekt= p Uppgift ( p) Ett objekt rör sig längs y-aeln me accelerationen a ( = cos(0 ( i lämpliga enheter t e m/s ) Partikelns position vi tipunkten t betecknar vi me y( och

8 partikelns hastighet me v( Bestäm partikelns position y( och v( om y(0) = och v ( 0) = Tips: v ( = a(, y ( = v( Från v ( = a( vs v ( = cos(0 har vi v ( = cos(0 t = sin(0 + C = sin(0 + C 0 För att bestämma C använer vi villkoret v ( 0) = vs 0 + C = C = och ärme v ( = sin(0 + från y ( = v(, vs y ( = sin(0 + har vi y ( = ( sin(0 + ) t = cos(0 + t + C = cos(0 + t + C 0 Villkoret y ( 0) = cos(0) C = C = och slutligen y ( = cos(0 + t + Svar: y ( = cos(0 + t + Rättningsmall: p för korrekt v ( Uppgift 6 ( p) Bestäm en lösning till följane (separabla) ifferentialekvation + y = som uppfyller cos y y () = 6 y + = cos y y = ( + ) cos y y = ( + ) cos y

9 sin y = + + C (en allmänna lösningen) Från y() = har vi 6 sin = C = + + C C = och ärme sin y = + Svar: sin y = + [eller y = arcsin( + ) ] Rättningsmall: Korrekt allmän lösning sin y = + + C ger p Allt korrekt= p Uppgift 7 (p) Lös följane ifferentialekvationer a) (p) y + y + y = 0 b) (p) y + y + y = + a) Den karakteristiska ekvationen r + r + = 0 r =, r = y = C e + C e b) Den homogena ekvationen y + y + y = 0 har följane karakteristiska ekvation: r + r + = 0 r = ± i, Därme är y H = Ce sin + Ce cos en allmänna lösningen till homogena elen En partikulär lösning får vi genom ansatsen y p = A + B, y p = A och y = 0 som vi substituerar i ekvationen y + y + y = + och får 0 + A + ( A + B) = + A + A + B = + Härav ekv: A = och ekv: A + B = p

10 som ger A = / och B = 0 Alltså y p = och slutligen y = y H + y p = C e sin + Ce cos + Svar: a) y = C e + C e b) y = C e sin + Ce cos + Rättningsmall: a) korrekt meto och svar =p b) p för homogena elen eller korrekt partikulär lösning p om allt är korrekt Uppgift 8 ( p) Bestäm strömmen i( i neanståene RC krets är R= ohm, C= fara, u ( = 0sin(00t ) volt och i(0)=0 ampere 00 Tips: Spänningsfallet över ett motstån me resistansen R är lika me R i( Spänningsfallet över en konensator me kapasitansen C är lika me q ( / C, är q( är laningen ( i coulomb) och q ( = i( a) Från kretsen får vi följane iff ekv q( R i( + = u( (ekv) C eller ( efter subst R och C) i ( + 00q( = 0 sin(00 (ekv) För att eliminera q ( eriverar vi ( ekv ) och ( eftersom q ' ( = i( ) får:

11 i ( + 00i( = cos(00 (ekv ) Härav i H ( 00t = Ce (*) {en allmänna lösningen för ( i } Vi substituerar ansatsen i p ( = Asin(00 + B cos(00 ( = 00Acos(00 00Bsin(00 i ekv() och får i p 00A cos(00 00B sin( Asin( B cos(00 = cos(00 Vi ientifierar koefficienter framför sin( 00t ) och cos( 00t ) och får två ekv: 00 A 00B = 0 (ekv ) 00 A + 00B = (ekv ) Från ekv har vi A = B som vi substituerar i ekv och får 000 B = och ärefter A = Därme är i p ( = sin(00 + cos(00 en partikulär lösning 7 7 och 00t 000 i( = ih ( + i p ( = Ce + sin( är en allmänna lösningen till ekv 000 cos(00 7 För att bestämma C använer vi begynnelsevillkoren i ( 0) = 0, vs C = och får C = Därme t i( = e + sin(00 + cos( t Svar i( = e + sin(00 + cos( ( ampere) Rättningsmall: p för korrekt i H ( eller ( p för en allmänna lösningen p om allt är korrekt i p