93FY51/ STN1 Elektromagnetism Tenta : svar och anvisningar

Transkript

1 FY FY51/ TN1 Elektromagnetism Tenta 17317: svar och anvisningar Uppgift 1 a) Av symmetrin följer att: och därmed: Q = D d D(r) = D(r)ˆr E(r) = E(r)ˆr Vi väljer ytan till en sfär med radie r, vilket ger d = r 2 sin θ dθ dφˆr och integralen får utseendet: r < a : Q = π D(r) r 2 sin θ dθ dφ = 4πD(r)r 2 D(r) = Q 4πr 2 Q = D = E = a r b : Vi beräknar den inneslutna laddningen i gauss-sfären med radie r: 4π Q = ρ dτ = ρ 3 (r3 a 3 ) och Gauss lag ger nu: D(r) = 1 4πr 2 ρ 4π 3 (r3 a 3 ) = ρ ) (r a3 3 r 2 E(r) = D(r) ˆr = ρ ) (r a3 ε ε r 3ε ε r r 2 ˆr dvs τ E(r) = ρ 3ε ε r r > b : Den inneslutna laddningen är: (r a3 r 2 ) ˆr och fältet blir: var: e ovan. Q = ρ 4π 3 (b3 a 3 ) E(r) = ρ b 3 a 3 3ε r 2 ˆr

2 FY51 2 b) Från definitionen har vi: V (b) = var: V (r) = ρ b 3 a 3 3ε b b = ρ 3ε (b 3 a 3 ) 1 b E dl = ρ (b 3 a 3 ˆr ) dr ˆr 3ε b r2

3 FY51 3 Uppgift 2 a) Amperes lag: I = C H dl där vi väljer C som en cirkel med radie R < a ger att den inneslutna strömmen beror på radiella avståndet R enligt: I(R) = Rk R a = k R2 a trömmen kan skrivas som en integral över ytan som omsluts av C, vilket ger: I = R J d = J(R)R dr Detta innebär att: och J(R)R = d R2 k dr a J = a J = a ẑ Vi kan kontrollera detta med Amperes lag: a d = var: a ẑ C k R a dl a πr2 = k R a R VL = HL b) Med Amperes har vi att: J d = H dl C där µ H = B i luft/vakuum. Eftersom J = då R > a får vi: a µ πa 2 ka = RB B(R) = µ R och var: µ ka R ˆφ B(R) = µ ka R ˆφ

4 FY51 4 Uppgift 3 Av symmetrin följer att: E(z) = E(z)ẑ och D(z) = D(z)ẑ Vi ansätter ytladdningstätheterna ρ 1 respektive ρ 2 och gör en gaussinneslutning i form av en cylinder där varje ändytas area är. Botten av cylindern är vid övre plattan och toppen är någonstans mellan plattorna. Gauss lag säger att den fria laddningen kan skrivas som: Q fri = D d och bidrag till integralen fås endast vid ändytorna. Eftersom D = inuti metallen får vi: Q fri = Dẑ ẑ + ( ẑ) = D I vänstra delen innesluts fria laddningen Q 1,fri = ρ 1 vilket ger: På samma sätt får i andra delen: D 1 = ρ 1 ẑ E 1 = ρ 1 ε ε 1 ẑ D 2 = ρ 2 ẑ E 2 = ρ 1 ε ε 2 ẑ < z < d < z < d Vi kan nu integrerera fram spänningen: ρ 1 U = ẑ dz = ρ 1 d d ε ε 1 ε ε 1 och vi ser att: ρ 2 U = ẑ dz = ρ 2 d d ε ε 2 ε ε 2 E 1 = U d ẑ och E 2 = U d ẑ och vi kan nu uttrycka D-fälten som: var: e ovan D 1 = ε ε 1 U d ẑ och D 2 = ε ε 2 U d ẑ

5 FY51 5 Uppgift 4 a) Ljus är en elektromagnetisk våg som utbreder sig med hastigheten c, där frekvensen f bestämmer dess färg. Då ljus faller in mot t ex glas utsätts alltså glaset för ett elektriskt fält, E(ω), som svänger med vinkelhastigheten ω = f. Detta fält påverkar elektronerna i glaset med krafter, så att de kan svänga i takt eller otakt med fältet. Hur lätt elektronerna påverkas av fältet beskrivs av dielektricitetsfunktionen, ε r. Ju större värde på ε r, desto mer påverkar det elektriska fältet elektronerna. Dielektricitetsfunktionen, ε, är frekvensberoende. Om fältet t ex svänger mycket fort hinner inte elektronerna följa fältet. Brytningsindex hänger ihop med dielektricitetsfunktionen genom sambandet: n = ε r (ω) Alltså beror brytningsindex på ljusets våglängd eftersom ω = f = c λ b) e Engström s

6 FY51 6 Uppgift 5 a) Vi beräknar först den komplexa impedansen för kretsen: där 1 Z = Z R Z L Z R = R = 2 Ω och Z L = jωl = j Ω = j2 Ω ( 1 1 Z = ) Ω 1 Z = (1 + j) Ω = 2e jπ/4 Ω 2j Vi ansätter nu den komplexa spänningen: så att U(t) = 2e j2t V Re {U(t)} = u(t) Den komplexa strömmen blir enligt Ohms lag: I(t) = U Z = 2 2 e j2t e jπ/4 A = 2e j2t jπ/4 A och den sökta strömmen blir: var: i(t) = 2 cos ( 2t π 4 ) A i(t) = Re {I(t)} = 2 cos ( 2t π ) A 4 b) Eftersom: I R = U R och I L = U jωl så ser vi att strömmen genom resistorn ligger i fas med spänningen u(t). Men strömmen genom spolen kommer att förskjutas enligt: I L = U jωl = U ωl e jπ/2 dvs den ligger 9 efter strömmen genom resistorn. var: trömmen genom spolen 9 efter strömmen genom resistorn.

7 FY51 7 Uppgift 6 Inducerad ems: E = dφ dt Vi bestämmer först flödet genom den kvadratiska slingan. Om vi ansätter att strömmen går i positiv z-riktning följer av Amperes lag: och flödet blir: Φ = H = = a µ I Den inducerade spänningen blir: Eftersom kan vi skriva: I R ˆφ = B = µ I R ˆφ B d = s+a s a s+a s µ I dr dz R dr R = aµ I ln(s + a) ln s ) = a µ I ln s + a = a µ I (1 s ln + a s E = dφ dt = a µ I = a 2 µ I d (1 dt ln + a ) = a µ I s 1 ds s 2 + as dt E = a 2 µ I ds dt = v v s(s + a) a s a ds s 2 dt Riktningen kan fås ur Lenz lag eller genom att betrakta positiva laddningar, som kommer att påverkas av den magnetiska kraften: där vi kan skriva B = Bŷ och v = vˆx Eftersom kommer strömmen att drivas motsols. var: a 2 µ I F = qv B F(s) = qvˆx B(s)ŷ = qvb(s)ẑ F(s + a) = qvˆx B(s + a)ŷ = qvb(s + a)ẑ F(s) > F(s + a) v. En ström kommer gå motsols s(s + a)