TENTAMEN I KVANTFYSIK del 1 (5A1324 och 5A1450) samt KVANTMEKANIK (5A1320) med SVAR och LÖSNINGSANVISNINGAR Tisdagen den 5 juni 2007

Transkript

1 TENTAMEN I KVANTFYSIK del (5A4 och 5A45) samt KVANTMEKANIK (5A) med SVAR och LÖSNINGSANVISNINGAR Tisdagen den 5 juni 7 HJÄLPMEDEL: Formelsamling i Fysik (teoretisk fysik KTH), matematiska tabeller, dock ej tabeller med fysikinnehåll samt räknedosa. ANSVARIG LÄRARE: Olle Edholm tel , oed@kth.se EXAMINATOR: Bo Cartling RESULTATLISTAN: Anslås senast den 8 juni på Fysiks anslagstavla, Fysikcentrum, Roslagstullsbacken. För godkänt krävs poäng. Komplettering för den som uppnått minst 6 poäng kan göras i form av hemuppgifter. Kontakta Olle Edholm eller Gunnar Benediktsson snarast om du vill utnyttja denna möjlighet.. En elektron kan röra sig fritt innuti en metall och utanför denna i luft eller vakum. Innuti metallen är den potentiella energin V = ev lägre än utanför. Betrakta ett endimensionellt problem där elektroner kommer innifrån metallen och sprids mot luft eller vakuum. Hur hög energi hos den infallande vågen krävs för att andelen reflekterade partiklar ska bli mindre än %? ( p.) Lösning: Lägg metallytan (potentialsteget) i x = och låt vågen komma från vänster. För x har vi vågfunktionen: där k = Ψ(x) = e ikx + re ikx me/ h. För x finns bara en transmitterad våg: Ψ(x) = te ik x där k = m(e V )/ h. Konstanterna r och t bestäms nu ur villkoret att vågfunktionen och dess derivata skall vara kontinuerlig i x =. Det ger ekvationerna: + r = t samt ik( r) = ik t ut vilka r kan bestämmas: Andelen reflekterade partiklar blir då: r = k k k + k vilket ger: R = r = ( k k k + k ) =, vilket ger k k =, 9, E/V = (, 9/, ) Det behövs alltså en kinetisk energi på ev hos de infallande partiklarna för att andelen reflekterade ska bli %.

2 . En kvantmekanisk partikel med massan m hålls på plats i en dimension av en harmonisk oscillatorpotential: V (x) = mω x. Systemet prepareras så att partikeln ligger i sitt grundtillstånd. Sedan minskas plötsligt konstanten ω i den harmoniska oscillatorpotentialen till ω/. Beräkna sannolikheterna för att vid en mätning omedelbart efter ändringen hitta partikeln i grundtillståndet och det första exciterade tillståndet till den nya potentialen! ( p.) Lösning: Vågfunktionen för en harmonisk oscillator i grundtillståndet är (FS): Ψ(x) = ( mω π h )/4 e mωx / h Den nya harmoniska oscillatorn har grundtillståndsvågfunktionen. Ψ (x) = ( mω π h )/4 e mωx /4 h Ψ(x) kan Fourierutvecklas efter de nya vågfuntionerna: Ψ(x) = n a n Ψ n (x) och Prob(n) = a n = (Ψ n (x), Ψ(x)) För det första exciterade tillståndet blir resultatet noll på grund av att detta är antisymmetriskt medan vågfunktionen är symmetrisk. För grundtillståndet får vi: Prob(n = ) = a = (Ψ (x), Ψ(x)) = ( mω π h ) / e mωx /4 h dx = 4 = ( π )/ e y dy =, 97. En partikel med massan m befinner sig i den oändliga lådpotentialen V (x) = { a/ < x < a/ annars Det första exciterade tillståndets energi kan uppskattas med den antisymmetriska vågfunktionen ψ(x) = N[x a 4 x] (a) Normera ψ! ( p.) (b) Beräkna väntevärdet av energin! ( p.)

3 (c) Jämför med den exakta energin och diskutera resultatet utifrån den variationsprincip som gäller för energin! ( p.) Lösning: a) Normera: a/ N (x 6 a x 4 a/ Vilket ger N = 84/a 7. b) Energin (som bara är kinetisk) blir: + a4 x 6 )dx = N a 7 /84 E = h a/ ψ (x)ψ(x)dx = 6 h N a/ m a/ m c) Detta ska jämföras med den exakta energin n π h m (n = ) blir π h ma 9,74 h ma (x 4 a x 4 )dx = h ma som för det första exciterade tillståndet 4. Bestäm kommutatorn [ˆx, ˆp x]. ( p.) Lösning: [ˆx, ˆp x] = ˆxˆp x ˆp xˆx = ˆxˆp x ˆp xˆxˆp x ˆp xˆx + ˆp xˆxˆp x = [ˆx, ˆp x ]ˆp x ˆp x [ˆp x, ˆx] = i hˆp x med använding av FS Bestäm r och r samt: r r r för s- och p- tillstånden hos väteatomens enda elektron! Lösning: Med FS 5.7 och 5.8 får vi: ( p.) r s = rgs(r)r dr = 4a ρ e ρ dρ = a r s = r gs(r)r dr = 4a ρ 4 e ρ dρ = 6a r r = r r p = rgp(r)r dr = a ρ 5 e ρ dρ = 5a 4 r p = r gp(r)r dr = a ρ 6 e ρ dρ = a 4 r r = r 5

4 6. En elektron har banrörelsemängdsmomentkvanttalet l = Bestäm samtliga egenvärden till operatorn ˆL Ŝ samt ange deras degenerationsgrad! ( p.) Lösning: Utnyttja att Ĵ = (ˆL + Ŝ) = ˆL + Ŝ + ˆL Ŝ eller: ˆL Ŝ = (Ĵ ˆL Ŝ ). Dett ger egenvärdena: h [j(j + ) l(l + ) s(s + )] = [l =, s = /] h [j(j + ) 6, 75)] med degeneration j+. Med j = 5/ får vi egenvärdet h och degeneration 5/+ = 6. Med j = / blir egenvärdet, 5 h och degenerationen / + = Den vinkelberoende delen av vågfuktionen för en väteatom ges av: Ψ(θ, ϕ) = sin θ[ cos ϕ + 5 cos θe iϕ ] Vilken är sannolikheten för att en mätning av av rörelsemängdsmoments kvadrat ska ge värdet h? ( p.) Lösning: Utveckling efter klotytefunktioner (FS sid. 5) ger: 8π Ψ = [ Y + Y Y ], vilket innebär att rörelsemängdsmomentets kvadrat kan bli h (l = ) eller 6 h (l = )i en mätning. Sannolikheten för att mäta värdet h är noll. 8. Paulis spinnmatriser gäller för partiklar med spinn, men matrisformalismen kan också användas för partiklar med spinn ett. Därvid representeras spinnoperatorerna av -matriser: Ŝ x = h, Ŝ y = h i i i i, Ŝ z = h Egenvektorerna till Ŝ z kan benämnas α ( spinn upp ), β ( spinn mittemellan ) och γ ( spinn ner ) och ges av α =, β =, γ = Visa med hjälp av explicita matrisräkningar att dessa matriser uppfyller kommutatorlationen för rörelsemängdsmoment: [Ŝx, Ŝz] =... 4

5 Lösning: [Ŝx, Ŝz] = h = h h = i h h h i i i i = h = i hŝy = = ( p.) 9. En fritt roterande stel kropp kan karaktäriseras med tre huvudtröghetsmoment I, I och I. I ett lämpligt valt koordinatsystem kan Hamiltonoperatorn skrivas: Ĥ = I ˆL x + I ˆL y + I ˆL z Vissa molekyler har symmetriegenskapen att två av tröghetsmomenten lika, I = I = I. Bestäm energiegenvärdena för sådana molekyler genom att utnyttja att du känner ˆL :s och ˆL z :s egenvärden! ( p.) Lösning: Skriv om Hamiltonoperatorn med hjälp av L och L z : Ĥ = I ˆL x + I ˆL y + I ˆL z = I ˆL + [ I I ]ˆL z. Sedan vet vi direkt med utnyjjande av kunskap om rörelsemängsmomentoperatorernas egenvärden : E(l, m) = h I [l(l + ) ( I I )m ] där l =,,,... och m =,.. ± l.. En storhet A representeras av operatorn Â, som har de två ortonormala egenfunktionerna φ och φ med egenvärdena a resp. a. På samma sätt har operatorn ˆB de ortonormala egenfunktionerna ψ och ψ med egenvärdena b resp. b. De olika egenfunktionerna kan uttryckas i varandra som φ = (ψ + ψ ), φ = ( ψ ψ ). Tre på varandra följande mätningar görs ny på systemet. Först mäts B med utfallet b. Därefter mäts A med obekant utfall. I en tredje avslutande mätning mäts sedan åter B. Bestäm sannolikheten för de olika möjliga utfallen i denna avslutande mätning! ( p.) 5

6 Lösning: Efter den första mätning kollapsar vågfunktionen i egentillståndet med egenvärdet b till ˆB dvs. Ψ = [ Φ Φ ] Sannolikheten för olika utfall i den andra mätningen ges av beloppet av koefficienterna i kvadrat för motsvarande egenfunktion dvs Prob (a ) = och Prob (a ) =. I den tredje mätningen blir resultatet olika beroende på utfallet i den andra mätningen. Med hjälp av betingade sannolikheter kan vi skriva: Prob (b i ) = Prob (a )Prob(b i a ) + Prob (a )Prob(b i a ) De betingade sannolikheterna ges av kvadraterna av respektive koefficienter i vågfunktionerna: Prob(b a ) = /, Prob(b a ) = /, Prob(b a ) = / och Prob(b a ) = /. Detta ger slutresultatet: Prob (b ) = Prob (a )Prob(b a ) + Prob (a )Prob(b a ) = + = 4 9 Prob (b ) = Prob (a )Prob(b a ) + Prob (a )Prob(b a ) = + = 5 9 (En nyttlig koll är att summan blir.) 6