Vågrörelselära & Kvantfysik, FK januari 2012

Transkript

1 Räkneövning 9 Vågrörelselära & Kvantfysik, FK00 9 januari 0 Problem 4.3 En elektron i vila accelereras av en potentialskillnad U = 0 V. Vad blir dess de Broglie-våglängd? Elektronen tillförs den kinetiska energin E kin = q e U när den accelereras, E kin = m ev = p m e = q e U p = m e q e U ( de Broglie-våglängden ges av p, där vi får rörelsemängden p från ekv. me q e U = [m] =. 0 0 m Svar: Elektronens de Broglie-våglängd blir 0. nm. Problem 4.8 ( En foton oc en elektron ar de Broglie-våglängd p energier i elektronvolt! = 5 nm. Jämför deras Fotonens energi, E γ, kan uttryckas E γ = pc = c [J] = J = 0.5 kev (3 Elektronens energi, E e E e = p = m e m e λ = ( 9. 0 (5 0 9 [J] =... = 0.06 ev (4 Ett mer direkt sätt att jämföra fotonens oc elektronens energier är att ställa upp uttrycket E e E γ = m e λ λ c = m e c }{{} λ C λ C.43 0 [m] = (5 [m]

2 Problem 4.3 Beräkna de Broglie-våglängden för en elektron med energi E = 80 ev inuti (U = 0 ev oc utanför (U = 0 en potentialgrop. Elektronens totala energi E är summan av dess kinetiska energi K oc den potentiella energin U E = K + U = p + U = 80 ev (6 m de Broglie-våglängden, p, där rörelsemängden p = m(e U fås från ekv. 6 (7 m(e U Utanför potentialgropen är U = 0, vilket ger (E U = E = 80 ev, = me m = m (8 Inuti potentialgropen är U = 0 ev, vilket ger (E U = 80 ( 0 = 00 ev, = m(e U m = m (9

3 Problem 4.P5 En partikel befinner sig i en potentialgrop (låda med U = 0 inuti oc U = vid väggarna, som sträcker sig från x = 0 till x =. Formulera vågfunktionen för partikelns grundtillstånd oc beräkna sannoliketen att itta partikeln inom intervallet 4 < x < 3 4. (Se sid. 865 i boken, för ärledning av vågfunktionen. Med randvillkoren ψ(0 = ψ( = 0 blir lösningen till Scrödingers vågekvation (ekv. 4.: ( nπx ψ n (x = A sin för n=,,3,... (0 För grundtillståndet, n =, fås vågfunktionen ( πx ψ(x = A sin Vågfunktionen ψ(x representerar en sannolikets-våg för partikeln, där P = b a ψ dx tolkas som sannoliketen att itta partikeln inom intervallet a < x < b. Först måste vi bestämma konstanten A, genom att normera sannoliketen att itta partikeln någonstans i lådan till P = 0 ψ dx = ( P = ψ dx = A sin πx { πx dx = 0 0 = y dx = } π dy = A π sin (ydy = A π ( cos(y dy π 0 π 0 = A [ y ] π π sin(y = A 0 π π = A = ( ( Nu när vi ar normerat vågfunktionen, ψ(x = / sin(πx/, kan vi beräkna sannoliketen att itta partikeln i intervallet 4 < x < 3 4 3/4 P = ψ dx = 3/4 ( sin πx { πx dx = = y dx = } π dy = π /4 3 /4 sin (ydy = π 3 ( cos(y dy = [y ] 3 π sin(y = [ 3π π 4 ( ( 3π π sin 4 ( π ] sin = [ π π + + ] 0.8 = Svar! (3 3

4 Problem 4.4 Antag att en elektron är instängd i en potentialgrop ( låda med längd = 0 4 m med U = vid väggarna. a Beräkna elektronens energi i grundtillståndet, b Med = 0 4 m storleken av en atomkärna, diskutera vad sannoliketen är att klämma in en elektron där... Vi såg att att vågfunktionen för en partikel i en låda ges av ( nπx ψ n (x = A sin för n=,,3,... (4 Med vågtalet k = π λ tillsammans med de Broglies formel p = mv ser vi att partikelns astigeter v n = n m är kvantiserade, alltså är även dess energinivåer kvantiserade: = nπ E n = mv n = n 8m (5 En elektron med massa m e i grundtillståndet (n = i en låda med längd = 0 4 m ar alltså energi E = 8m e = ( (0 4 J = ev = a Svar! (6 Energin i grundtillståndet för en elektron inuti en atomkärna E = 3.77 GeV är väldigt ög jämfört med typiska värden för nukleoners bindningsenergi (E b 9 MeV, sid 906 i boken eller kärnpartiklars typiska massor (protonmassan m p 0.94 GeV/c. Trying to get it tere is like trying to force an elepant into a dog ouse (ord Ruterford 4

5 Problem 4.6 En elektron befinner sig i en potentialgrop med längd 0. nm. Vad är osäkereten i dess rörelsemängd? Heisenbergs obestämbaretsrelation, x p. Osäkereten för elektronens position, x = 0. nm, vilket ger p x = [Js] [m] = kgm/s (7 Problem 4.7 ivstiden för ett exciterat tillstånd är 0 8 s. Vad är osäkereten i energin oc frekvensen för en utsänd foton? Heisenbergs obestämbaretsrelation kan också skrivas, E t. Osäkereten för livslängden av det exciterade tillståndet, t = 0 8 s, vilket ger E t = [Js] 0 8 [s] = J (8 Frekvensen för en foton vars energi E = E Problem 4.8 f = E = t [s ] = 0 8 Hz (9 En proton är instängd i en atomkärna med radie r = 0 4 m. a Uppskatta osäkereten för dess rörelsemängd oc b beräkna den kinetiska energi som motsvarar osäkereten i rörelsemängden. Vi använder Heisenbergs obestämbaretsrelation x p med x = 0 4, p x = [Js] 0 4 [m] = kgm/s (0 Osäkereten för rörelsemängden motsvarar den kinetiska energin E kin = ( p m p = ( [J] = J =.05 MeV ( 5