16. Spridning av elektromagnetisk strålning

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "16. Spridning av elektromagnetisk strålning"

Alexandra Svensson
för 5 år sedan
Visningar:

1 16. Spridning av elektromagnetisk strålning [Jakson 9.6-] Med spridning avses mest allmänt proessen där strålning (antingen av partikel- eller vågnatur) växelverkar med något objekt så att dess fortskridningsriktning ändrar. Ifall spridningen sker så att den inkommande partikeln förlorar ingen avsevärd del av sin energi, kallas proessen för elektromagnetiska vågor elastisk spridning. Motsatsen är inelastisk spridning. Det är dok skäl att notera att p.g.a. bevarelsen av energi oh rörelsemängd förlorar en partikel (okså en foton) alltid någon energi om dess riktning ändras. Därför måste definitionen på elastisk spridning innehålla termen ingen avsevärd del. Här råder dok en smärre begreppsförvirring. Då man diskuterar spridning av partiklar med massa (t.ex. i kärnfysiken), definierar man ofta elastisk spridning som spridning där endast två partiklar deltar. Inelastik spridning avser då spridning där det uppkommer en tredje partikel (t.ex. en atom kolliderar med en annan så att en elektron exiteras oh emitteras ut ur systemet, så spridningen innehåller två inkommande men tre utgående partiklar). På denna kurs behandlar vi givetvis bara spridning av elektromagnetiska vågor, oh okså detta i bara det enklaste tänkbara fallet. Men det leder till ett trevligt slutresultat. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 16.1

2 16.1. Spridning av strålning med lång våglängd Om elektromagnetisk strålning med lång våglängd eller låg frekvens träffar en massiv kropp, induerar strålningen oskillerande multipoler i kroppen, som oskillerar med den infallande strålningens frekvens. Alltså λ = 2π k = 2π ω antas vara myket större än strålmålets linjära dimension. (16.1) Ekvationerna för en plan monokromatisk våg var ju (se kapitel 12.6): E in (r, t) = E 0p sin(ωt κ r φ) p + E 0s sin(ωt κ r)ŝ (16.2) B in = n k Ein (16.3) = n (E 0p sin(ωt κ r φ)ŝ E 0s sin(ωt κ r) p) (16.4) Här avser nu underindexet in att det är fråga om en våg som kommer in på en kropp. De oskillerande multipolerna i kroppen utstråler en spridd våg. De viktigaste komponenterna i den spridda strålningen är i allmänhet strålningen från strålmålets elektriska oh magnetiska dipolmoment. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 16.2

3 Långt utanför strålmålet är de utstrålade elfälten alltså fälten från en oskillerande elektrisk oh magnetisk dipol. Uttryken för dessa var ju (jfr. kapitel 15): Elektrisk dipol: Magnetisk dipol: E(r, t) = µ 0p 0 ω 2 B(r, t) = E θ 4π sin θ r os(ω(t r/)) θ (16.5) ψ (16.6) E(r, t) = t A(r, t) = µ 0m 0 ω 2 4π B(r, t) = A(r, t) µ 0m 0 ω 2 4π 2 sin θ r sin θ r Dessa gällde alltså för en sfärisk våg som framskrider i riktningen r. De kombinerade utstrålade dipolfälten blir os(ωt ωr/) φ (16.7) os(ωt ωr/) θ (16.8) E s = µ 0p 0 ω 2 4π sin θ r os(ω(t r/)) θ (16.9) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 16.3

4 + µ 0m 0 ω 2 4π sin θ r = µ 0ω 2 sin θ os(ω(t r/)) 4π r os(ωt ωr/) φ (16.10) ( ) m 0 p 0 θ + φ (16.11) där underindexet s står för sattered (spridd på engelska). B s = 1 r E s (16.12) Den inkommande oh utstrålade strålningen kan uppdelas i komponenter med olika polarisationsriktning. Den komponent av den infallande strålningen som har polarisationen ˆɛ 0 är E in (ˆɛ 0 E in)ˆɛ 0 (16.13) B in 1 (ˆɛ 0 E in)ˆk ˆɛ 0 (16.14) Komplexkonjugeringen behövs ifall polarisationen är irkulär, då skalärprodukten för rotationskomponenter är definierad A B = (A, B) Den komponent i utdående strålningen som är polariserad (E) i riktningen ˆɛ kan skrivas som Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 16.4

5 E s (ˆɛ E)ˆɛ (16.15) B s 1 (ˆɛ E)ˆr ˆɛ (16.16) Den differentiella träffytan dσ definieras som dσ = effekt utstrålad i riktningen ˆr med polarisation ˆɛ infallseffekt/ytenhet med polarisation ˆɛ 0 = P utr 2 dω P in (16.17) oh ger alltså en (differentiell) tvärsnittsyta för vilken andel av den inkommande strålningen avges i en viss riktning. Riktningen ges oftast som den differentiella rymdvinkeln r 2 dω. Effektutstrålning i riktningen ˆr med polarisation ˆɛ fås med Poyntingvektorn: P ut r 2 dω = 1 2 ˆr (E s H s )r2 dω (16.18) = 1 2 ˆr 1 µ 0 (E s B s )r 2 dω (16.19) = 1 2µ 0 ˆɛ E s 2ˆr ˆɛ (ˆr ˆɛ )r 2 dω (16.20) Termen med ˆr oh ɛ kan förenklas då man beaktar att polarisationsvektorn är vinkelrät mot Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 16.5

6 fortskridningsriktningen ˆr, så ˆɛ ˆr = 0 samt med BAC-CAB-regeln: ˆr ˆɛ (ˆr ˆɛ ) = ˆr (ˆr(ˆɛ ˆɛ ) ɛ (ˆɛ ˆr) ) = ˆr ˆr = 1 (16.21) så man får P ut r 2 dω = 1 2µ 0 dωr2 ˆɛ E s 2 (16.22) Infallseffekt per ytenhet: P in = 1 ˆk (E in H in ) = 1 2 2µ 0 ˆɛ 0 E in 2 ˆk ˆɛ0 (ˆk ˆɛ 0 ) }{{} 1 (16.23) där man fått att kryssprodukttermen = 1 på samma sätt som ovan då ˆk ˆɛ 0. Alltså fås dσ = r2 dω ˆɛ E s 2 ˆɛ 0 E in 2 (16.24) oh därmed dσ dω = ˆɛ E s 2 r2 (16.25) ˆɛ 0 E in 2 Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 16.6

7 Med att sätta in ekvationerna 16.2 samt i detta får man det fullständiga uttryket för spridningen. Men nu är vi intresserade främst av medeltalet frekvensberoendet av spridningen. Då kan vi lämna bort tidsberoendet ur uttryken, oh skriva inkommande vågen i den enklare formen E in = ˆɛ 0 E 0 e ik r (16.26) så man får ˆɛ 0 E in 2 = E 2 0 (16.27) För den spridda vågen fås: r 2 ˆɛ E s 2 = r ˆɛ 2 µ0ω 2 1 sin θ os(ωr/)) 4π r ˆɛ sin θ os(ωr/)) = r 2 µ 2 0 ω4 1 16π 2 r 2 = µ2 0 ω4 16π 2 ˆɛ sin θ os(ωr/)) ( m 0 p 0 θ + ( m 0 p 0 θ + ( m 0 p 0 θ + φ ) 2 φ) 2 ) 2 φ (16.28) (16.29) (16.30) (16.31) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 16.7

8 dσ dω = µ2 0 ω4 16π 2 E 2 0 ( ) m 0 2 ˆɛ sin θ os(ωr/)) p 0 θ + φ (16.32) Denna typ av spridning är känd som Rayleigh-spridning. Det viktigaste i detta resultat är frekvensberoendet: vilket är känt som Rayleighs lag. dσ dω ω4 (16.33) Detta resultat kan jämföras med resultaten i förra kapitlet för strålningen ut från oskillerande elektriska oh magnetiska dipoler. Även i dessa fik man resultatet att effekten är ω 4, men denna härledning här ger alltså sambandet mellan inkommande oh utgående våg. Detta förklarar okså varför himlen är blå, oh solnedgången röd! Orsaken är att atmosfären kan i första approximation anses vara en tunn gas av dipoler (kväveoh syremolkyler N 2 oh O 2 ) ur vilket soljuset sprids. För att molekylerna är slumpmässigt riktade, försvinner polarisationsfaktorerna i medeltal, oh den dominerande effekten är en spridning av ljuset proportionellt mot frekvensens fjärde potens. För synligt ljus innebär detta att rött ljus (som har lägst frekvens) sprids minst, oh blått oh violett ljus mest. Dessutom måste man beakta hur effektivt ljuset absorberas i atmosfären. Detta Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 16.8

9 kan beräknas ur atmosfärens absorptionskoeffiient α (jfr. kapitel 12.7). Här är resultat för inträngningsdjupet 1/α i atmosfären samt hur stor andel av soljusets intensitet absorberas från atmosfärens topp till jordytan I yta /I 0 [Jakson sid. 423]: Färg Inträngingsdjup (km) Andel som når ytan Solen i zenith Soluppgång/nergång Rött (6500 Å) Grönt (5200 Å) Violett (4100 Å) Himlen är alltså blå för att då blått ljus sprids mera, oh vi ser ljuset som spritts (ögat är mindre känsligt för violett ljus så den blåa färgen ser ut att dominera). Soluppgången oh solnedgången är röda för då måste solstrålarna färdes längre väg i atmosfären, oh s.g.s. allt blått ljus hinner absorberas. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 16.9

10 Himmel o ver aeleratortornet i Canberra, Australien Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund Solnedga ng o ver Columbia-floden i Rihland, WA, USA JJ J I II 16.10

Relevanta dokument

16. Spridning av elektromagnetisk strålning

16. Spridning av elektromagnetisk strålning 16. Spidning av elektomagnetisk stålning [Jakson 9.6-] Med spidning avses mest allmänt poessen dä stålning antingen av patikel- elle vågnatu) växelveka med något objekt så att dess fotskidningsiktning