9, 10. TFYA15 Fysikaliska modeller VT2019 Partikelkinetik-energi Magnus Johansson,IFM, LiU

Transkript

1 9, 10

2

3 Kulkanor Två kulor åker friktionsfritt nedför olika kanor. Vilken kula kommer ner till kanans slut först? Vilken kula har högst fart vid kanans slut? h A B Fredrik Karlsson,

4 9 W = F r Exempel: Partikel som rör sig nedåt sträckan h under påverkan av gravitationen = -h = -m W 1 = mgh 1

5 En mer allmän definition av fysikaliskt arbete kan ges för konstanta krafter som inte alltid är i den rätlinjiga rörelsens riktning W = F r cosφ 9 = -m h 3 l 1 1 = l = -m W 1 = mgl 0 = 0 = 90 o 3 = h = -m = 180 o W 3 = mgh (-1) = -mgh 1 3 = l +h = -m W 1 3 = -mg h h/ h = -mgh cos() = -h/ h Fredrik Karlsson,

6 9 Enbart kraftens komponent i rörelsens riktning uträttar arbete! cos. W = F r cosφ W = F r skrivs oftast som, och läses som skalärprodukten mellan vektorerna och. Fredrik Karlsson,

7 Skalärprodukt A B= A B cosφ B φ A B cosφ Fredrik Karlsson,

8 Skalärprodukt B C φ C A B= A B cosφ φ B φ BC B+ C A B cosφ B C cosφ C B+ C cosφ BC Distributiv lag: A ( B+ C) = A B+ A C Fredrik Karlsson,

9 Skalärprodukt B φ A B= A B cosφ A Fredrik Karlsson,

10 Skalärprodukt B ŷ φ ˆx A B= A B cosφ A ˆx ŷ =1 1 cos π = 0 ˆx ˆx = ŷ ŷ =1 1 cos0 =1 Fredrik Karlsson,

11 Skalärprodukt A = A x ˆx+ A y ŷ B = B x ˆx+ B y ŷ A B= ( A x ˆx+ A y ŷ) ( B x ˆx+ B y ŷ) = A x B x ˆx ˆx+ A y B x ˆx ŷ+ A x B y ŷ ˆx+ A y B y ŷ ŷ = A x B x + A y B y kan beräknas på två sätt: A B= A x B x + A y B y A B= A B cosφ Fredrik Karlsson,

12 9 3 A B= A x B x + A y B y h l = l +h = -m W 1 3 = = (0 -m) (l +h) = 0 l + (-mgh) = -mgh Förflyttningen från (1) till (3) kan ske längs olika vägar, t.ex. via (). Om sträckan består av flera delsträckor så ges det totala arbetet som summan: W 1 3 = W 1 + W 3 = (0 ) (l ) + (-m) (h) = 0 l + (-mgh) = -mgh I detta fall blir arbetet detsamma för W 1 3 och W 1 3, men arbetet kan vara beroende av vägen. Mer om detta lite senare.

13 Kraften är dock inte alltid konstant, ofta beror den på positionen. T.ex. gravitationskraften på stora avstånd och fjäderkraften: 9 i j

14 9 Kraften är dock inte alltid konstant, ofta beror den på positionen. T.ex. gravitationskraften på stora avstånd och fjäderkraften: 1D exempel Bestäm arbetet för en förflyttning från jämviktsläget (1) till det utsträckta längden () l under påverkan av en fjäderkraft. Endast förflyttning i y-led: = -k 1 = k $ k! / %

15 9 Kraften är dock inte alltid konstant, ofta beror den på positionen. T.ex. gravitationskraften på stora avstånd och fjäderkraften: 1D exempel Bestäm arbetet för en förflyttning från (1) r 0 till () höjden h r 0 under påverkan av gravitationskraften. Endast förflyttning i y-led: = -G &' ( ) 1 = G &' () GMm*( ( ) +, -. GMm +, =GMm 1 0 % h! 1 0 %

16 = -m = l +h = -m W 1 3 = = (0 -m) (l +h) = 0 l + (-mgh) = -mgh W 1 3 = W 1 + W 3 = (0 ) (l ) + (-m) (h) = 0 l + (-mgh) = -mgh W 1 3 =.= -mgh W 1 3 =.= -mgh Om arbetet är oberoende av vägen, kallas arbetet konservativt och man säger att man har en konservativ kraft!

17 = -m 3 För en konservativ kraft är arbetet som uträttas vid en förflyttning längs en sluten kurva (vilken som helst) noll W = W W 1 3 = 0 skrivs ofta som 1 0 eller 1 0

18 Fjäderkraften är en konservativ kraft. Liksom alla andra centralkrafter där kraftens storlek endast beror på avståndet till en punkt, och kraften är riktad mot punkten. x 1 Även gravitationskraften är alltså en konservativ kraft. 1 1 W 1 1 = W 1 + W 1 = 0 För konservativa krafter kan vi för varje punkt P i rummet definiera potentiell energi U som arbetet som uträttas vid en förflyttning från punkten till en godtyckligt vald referenspunkt P Ref :

19 Den potentiella energin U kan användas för att beräkna det fysikaliska arbetet W som uträttas under en förflyttning från läge (1) till läge (), oberoende av vägen. U = W Ref () W Ref Ref. W 1 Ref U 1 = W 1 Ref (1) W 1 = W 1 Ref W Ref W 1 =U 1 U = U Potentiell energiskillnad Fredrik Karlsson,

20 9 18

21 9 1 >= -m = d =!9 W 1? ( mg? ( ( W 1? mg?!w ( 1 W 1 + W 1 = 0 Välj y = 0 som referenspunkt och y = Δy som godtycklig punkt %!9 :; 9Δy

22 1 D = v 0 A = -bd = -bv 0 = db W 1? A C bv 0? B C bv 0 B!B D = -v 0 A = -bd = +bv 0 = db W 1? A C bv 0? B C bv 0 B 1!B W 1 W 1 + W 1 = W 1 0 Friktionskraften ej konservativ, U ej definierat!

23 1 = -k = k W 1? W 1? W 1 + W 1 = 0 ( k? ( ( k?!w ( 1 Välj y = 0 som referenspunkt och y = Δs som godtycklig punkt % k :F Δs /

24 9 P P P W net = ò F net dr = ò ma dr = m dv v ò dr = m dr v ò dv = ò mv dv P 1 P 1 P 1 dt v 1 dt v 1 v æ = mò ( v x dv x + v y dv y + v z d z ) = m v v é ù x x ê ú + v v é ù y y ê ú + v v é ù z ö ç z ê ú ç èë ûv 1 x ë û v 1 ë û y v 1 zø v 1 ( ) = m v x + v y + v z ( ) m v 1x + v 1y + v 1z = m v m v1 9.8 K = K K 1 = m v m v1 = W net {RK9.9}

25 RK10.9 Totala mekaniska energin G H7IJ K4 bevaras!

26 Kulkanor Två kulor åker friktionsfritt nedför olika kanor. Vilken kula kommer ner till kanans slut först? Vilken kula har högst fart vid kanans slut? h A B Fredrik Karlsson,

27 Trasigt hus En tegelpanna (massa 400 g) lossnar från en punkt P på ett hus tak. Pannan glider med friktionskoefficienten 0,4 utför taket och landar så småningom i en punkt Q på marken. a) Hur stort fysikaliskt arbete uträttas av friktionskraften på tegelpannan? b) Vad är tegelpannans fart när den lämnar taket?

28 Fredrik Karlsson,

29 9.6 Uträttat arbete per tidsenhet RK9.30