.4-6, 8, , 12.10, 13} Kinematik Kinetik Kraftmoment Vektorbeskrivning Planetrörelse

Transkript

1 .4-6, 8, , 12.10, 13} Kinematik Kinetik Kraftmoment Vektorbeskrivning Planetrörelse

2

3 Exempel på roterande koordinatsystem

4 planpolära eller cylindriska koordinater Storhet Beteckning Enhet Fysikalisk dimension Johannes Kepler ( ) Vinkelläge θ rad, - Vinkelhastighet ω rad/s T -1 Vinkelacceleration α rad/s 2 T -2 Kraftmoment τ kg m 2 /s 2 ML 2 T -2 Alt. bet. Kommentar

5 Rörelse i planet: Planpolära koordinater ˆR θ r = RˆR Enhetsvektorn ej längre konstant, är beroende av vinkelläget θ(t) Definiera vinkelhastighet ω dθ dt = & θ Definiera vinkelacceleration α dω dt = &ω = && θ OBS: Knight kap. 8.2 använder ett koordinatsystem där r-axeln pekar åt motsatt håll: från partikeln mot centrum! TFYA15 Fysikaliska modeller VT2019 Partikelrotation Fredrik Karlsson,

6 Rörelse i planet: Planpolära koordinater ŷ ˆR = cosθ ˆx+sinθŷ } θ ˆR ˆx { Þ r = RˆR v = dr dt = d dt ( RˆR ) = dr dt ˆR + R d ˆR dt Derivata av produkt = dr dt ˆR + R d ˆR dθ dθ dt TFYA15 Fysikaliska modeller VT2019 Partikelrotation Fredrik Karlsson,

7 Rörelse i planet: Planpolära koordinater ŷ ˆR = cosθ ˆx+sinθŷ } θ ˆR ˆx Þ{ r = RˆR TFYA15 Fysikaliska modeller VT2019 Partikelrotation Fredrik Karlsson,

8 Rörelse i planet: Planpolära koordinater ŷ ˆR = cosθ ˆx+sinθŷ } θ ˆR ˆx { Þ r = RˆR radiell och tangentiell komponent TFYA15 Fysikaliska modeller VT2019 Partikelrotation Fredrik Karlsson,

9

10 Rörelse i planet: Cirkelrörelse Radien är konstant vid cirkelrörelseþ R= & R= && 0 r = RˆR v = v = Rω endast tangentiell komponent radiell komponent: centripetalacceleration tangentiell acceleration endast då farten ändras, dvs då vinkelhastigheten ändras TFYA15 Fysikaliska modeller VT2019 Partikelrotation Fredrik Karlsson,

11

12

13

14 Rörelse i rummet: Cylindriska koordinater ŷ ẑ θ ˆR ˆx R Komplettera med z-riktning r = RˆR +zẑ +dzẑ +&zẑ +&&zẑ TFYA15 Fysikaliska modeller VT2019 Partikelrotation Fredrik Karlsson,

15 Notera analogin mellan 1D läge s och vinkelläge v ds dt, a dv dt Konstant acceleration v f = v i + a t s f = s i + v i t + a t 2 Þ v f 2 = v i 2 + 2a s ( ) 2 ( ) Þ s f = s i + v i t + v f + v i 2 Þ s f = s i + v f t a ( t ) 2 2 t s θ v ω a α } { TFYA15 Fysikaliska modeller VT2019 Partikelrotation Fredrik Karlsson, θ ω dθ dt, α dω dt Konstant vinkelacceleration ω f = ω i +α t ( ) 2 θ f =θ i +ω i t + α t 2 Þ ω f 2 = ω i 2 + 2α θ ( ) Þ θ f =θ i +ω i t + ω f +ω i t 2 Þ θ f =θ i +ω f t α t 2 ( ) 2

16 Vektorbeskrivning av rotation Vektornotation används då man vill ange runt vilken axel vinkeländringen (rotationen) sker. Vinkellägesvektorn För rotation i xy-planet pekar rotationsaxeln alltid i z-led. Då gäller: De kinematiska sambanden för konstant vinkelacceleration blir i vektornotation: TFYA15 Fysikaliska modeller VT2019 Partikelrotation Fredrik Karlsson,

17 Kraftens vridande förmåga: Kraftmomentet TFYA15 Fysikaliska modeller VT2019 Partikelrotation Fredrik Karlsson,

18 Kinetik: Kraftmomentet τ med avseende på punkten O definieras: τ = r F sinφ r där är läget för kraftens verkningspunkt relativt O. Riktning: vinkelrät mot r och F enligt högerhandsregeln τ = r F F {RK12.48} φ {RK12.20} Vektorprodukt ("kryss-produkt") Två tolkningar: F F O r Momentarm O r O r

19 Vektorprodukten kan beräknas med komponenterna ˆx ˆx = ŷ ŷ = ẑ ẑ = 0 A = A x ˆx+ A y ŷ B = B x ˆx+ B y ŷ ˆx ŷ = ẑ ŷ ˆx = ẑ ŷ ẑ = ˆx ẑ ŷ = ˆx ẑ ˆx = ŷ ˆx ẑ = ŷ Þ A B = B A A B = ( A x ˆx+ A y ŷ) ( B x ˆx+ B y ŷ) = A x B x ˆx ˆx+ A y B x ŷ ˆx+ A x B y ˆx ŷ+ A y B y ŷ ŷ = ẑ = ẑ = ( A x B y A y B x )ẑ på samma sätt för TFYA15 Fysikaliska modeller VT2019 Partikelrotation Fredrik Karlsson,

20 Newtons 2:a lag (rotationsrörelse) Om alla kraftmoment som verkar på ett föremål adderas får vi det nettokraftmoment som verkar på föremålet, Nettokraftmoment τ net = τ i i {RK12.23}

21 Kula på stång En kula med massa m sitter fäst i ändpunkten av en masslös stång som kan rotera fritt kring andra ändpunkten. Kulan släpps i vila när stången är horisontell. Stången har längden L. Bestäm stångens vinkelacceleration och vinkelfarten för de två fallen nedan: 30 O

22 Lösning: Kula på stång TFYA15 Fysikaliska modeller VT2019 Partikelrotation Fredrik Karlsson,

23 Lösning: Kula på stång För att bestämma vinkelfarten: Eftersom det är en cirkelrörelse är farten v direkt kopplad till vinkelfarten : v=l. (Radien för cirkelrörelse R = L). Farten kan bestämmas med energiargument, eftersom vi vet att den fallit höjden h = Lsin. ΔK+ΔU = W nc Försumma luftmotstånd och friktion: Inga icke-konservativa krafterw nc =0 ml 2 2 /2 - mglsin = 0 ΔK = K slut K start =mv 2 /2 0 = ml 2 2 /2 ΔU = U slut U start =-mgh = -mglsin TFYA15 Fysikaliska modeller VT2019 Partikelrotation Fredrik Karlsson,

24

25 r F = r F A BA B AB F BA r A F AB O r B