Elektromagnetiska fält och Maxwells ekavtioner. Mats Persson
|
|
- Rasmus Ekström
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Föreläsning 26/9 Elektromagnetiska fält och Maxwells ekavtioner 1 Maxwells ekvationer Mats Persson Maxwell satte 1864 upp fyra stycken ekvationer som gav en fullständig beskrivning av ett elektromagnetiskt fält. Dock, som vi skall se, inskränkte sig hans eget bidrag till en term i en av ekvationerna. En av ekvationerna har vi redan stött på. Det är Gauss lag för ett elektriskt fält E = ρ ɛ. (1) Den här ekvationen säger att elektriska fält kan ha elektriska laddningar som källor. Å andra sidan finns det inte några magnetiska laddningar. Trots många års experimentella eftersökningar har man aldrig hittat några så kallade magnetiska monopoler. Därför kan vi dra slutsatsen att det för ett magnetfält måste gälla att B =. (2) Av detta kan vi sluta oss till att magnetfält inte alstras av magnetiska laddningar. Istället så vet vi att magnetfält kan alstras av elektriska strömmar. i vet att det magnetiska fältet kring en rak ledare parallell med z-axeln genom vilken det går en ström I kan skrivas som B (r) = µ I ˆϕ (3) uttryckt i cylindriska koordinater. i beräknar nu B dr (4) längs en kurva som omsluter ledaren. i konstaterar först att B = för ρ. Därmed kan vi komprimera ner till en cirkel med radien ɛ kring den elektriska ledaren µ I B dr = B dr = ɛ ɛ ˆϕ dr = µ I dr = µ I. (5) 2π ɛ ɛ Detta samband, Amperes lag, gäller helt allmänt oberoende av den elektriska ledarens form och hur strömmen tar sig fram genom ledaren innanför kurvan. trömmen I som går genom kurvan kan vi skriva som I = J d, (6) där J är strömtätheten. i kan också skriva om vänsterledet med tokes sats B dr = ( B) d = µ J d. (7) Ytan med randen är nu helt godtycklig, så vi kan sätta integranderna lika med varandra B = µ J. (8) Detta är den tredje av Maxwells ekvationer men den kommer att visa sig vara ofullständig i det tidsberoende fallet. i har nu funnit att elektriska laddningar kan skapa elektriska fält och att elektriska strömmar kan skapa magnetfält. i vet dock att elektriska fält också kan skapas genom induktion. En 1
2 förändring av det magnetiska flödet, Φ, genom en elektrisk ledare inducerar ett elektriskt fält E i ledaren som i sin tur ger upphov till en ström och ett magnetisk fält som vill motverka förändringen i det magnetiska flödet. Enligt Faradays induktionslag så gäller om ledaren följer en sluten kurva att E dr = dφ dt. (9) Å andra sidan kan vi skriva det magnetiska flödet genom ledaren som Φ = B d. (1) i kan nu skriva Faradays induktionslag som E dr = B d. (11) i kan nu skriva om vänsterledet med tokes sats, och i högerledet kan vi kasta om ordningen på integrationen och deriveringen ( E) d = B d. (12) Ytan och dess rand är egentligen helt godtycklig här, så likheten måste gälla mellan integranderna också. Alltså har vi. (13) i har nu fått fram fyra ekvationer som beskriver de elektriska och magnetiska fälten, eller snarare ger uttryck för deras divergenser och rotationer. Ekvationerna är dock inte kompletta i den här formen. Den elektriska laddningen är en bevarad storhet i naturen. Låt oss betrakta en godtycklig volym med en laddningstäthet ρ. Den totala laddningen i är då ρd. (14) Denna laddning kan förändras genom att en elektrisk ström, J, går genom ytan till. Utflödet av laddning från volymen per tidsenhet kan då skrivas som J d. (15) illkoret att laddningen bevaras ger oss då ρd = J d. (16) I vänsterledet kan vi byta på ordningen mellan integralen och tidsderivatan, och högerledet kan vi skriva om med hjälp av Gauss sats d = Jd. (17) Nu gäller det att vi har valt volymen helt godtyckligt, så samma likhet måste gälla för integranderna själva, så vi får kontinuitetsekvationen = J. (18) Å andra sidan så säger Amperes lag att B = µ J, och vi kan nu beräkna J = 1 µ ( B) =, (19) 2
3 enligt räknereglerna för vektoroperatorerna. Det följer därför att =, (2) vilket är orimligt, för det betyder att det inte går att flytta en elektrisk laddning. Detta insåg Maxwell och kom fram till att problemet gick att lösa genom att lägga till en term µ ɛ till högerledet av Amperes lag. Denna term brukar kallas för förskjutningsströmmen. i får nu alltså att Maxwells ekvationer blir E = ρ ɛ, (22) 2 Källfria och virvelfria fält (21) B =, (23), (24) B = µ J + µ ɛ. (25) i vet att ett fält E sådant att E = har en potential Φ sådan att E = Φ. i säger att fältet E är virvelfritt (rotationsfritt) eller konservativt. Om ett konservativt fält E uppfyller ekvationen E = ρ, så säger vi att fältet genereras av en källa ρ. i kan då bestämma fältets potential genom att lösa Poisson-ekvationen 2 Φ = ρ. Lägg märke till att potentialen ej är fullständigt bestämd. Det går alltid att addera en konstant till potentialen utan att E förändras. Ett exempel på ett virvelfritt fält är ett elektrostatiskt fält. Å andra sidan kallar vi ett fält sådant att B = för ett källfritt fält. Ett källfritt fält kan vi skriva som B = A för något A. A kallas för vektorpotentialen. Precis som den vanliga potentialen inte är fullständigt bestämd, utan man kan addera till en konstant till potentialen, kan man till vektorpotentialen addera ett vektorfält f, där f är ett godtyckligt skalärt fält, eftersom ( f) =. En explicit konstruktion av vektor potentialen från det källfria fältet ges av, [ z y ] z A(x, y, z) = B y (x, y, z )dz B z (x, y, z)dy ˆx B x (x, y, z )dz ŷ. (26) Exempel: Betrakta en elektrisk ledare parallell med z-axeln. Genom ledaren flyter en ström I. Då omges ledaren av ett magnetfält B = µ I ˆϕ. (27) i kan nu bestämma den motsvarande vektorpotentialen ur ekvationerna 1 A z ρ ϕ A ϕ z = (28) och Dessa ekvationer uppfylles om A ρ z A z = µ I (29) [ 1 ρ (ρa ϕ) A ] ρ =. (3) ϕ A = µ 2π I log ρ ρ ẑ, (31) 3
4 där ρ är en godtycklig konstant. Notera att B = utanför ledaren (notera att detta är ett icke enkelt sammanhängande område) vilket medför att en envärd potential kan inte definieras i detta område eftersom en kurvintegral av fältet runt ledaren är skilt från noll. Låt oss nu betrakta Amperes lag i det tidsoberoende fallet Om vi nu ersätter B med A så har vi För vänsterledet har vi räknereglen (se ex. vis. Kap. 4.6 i ) µ J = B. (32) A = µ J. (33) A = ( A) 2 A (34) Den frihet, gauge, som vi har i att bestämma A gör det alltid möjligt att garantera att A =, så vi kan reducera ekvationen till 2 A = µ J, (35) och vi har på så sätt kommit fram till en Poisson-ekvation för vektorpotentialen. I det tidsberoende fallet är inte fältet E virvelfritt enligt induktionsekvationen och saknar då en skalär potential. Men enligt induktions ekvationen är E + A virvelfritt eftersom (E + A ) = E + A = E + B = (36) och kan beskrivas med en skalär potential Φ vilket ger då direkt att, E = Φ A. (37) Allmänt kan ett fält E delas upp i en del som är virvelfri, och en del som är källfri den så kallade Helmholtz uppdelningen. 3 Maxwells ekvationer i vakuum och elektromagnetiska vågor I vakuum finns det inga elektriska laddningar, och inga elektriska strömmar, så vi kan skriva Maxwells ekvationer som E = (38) B = (39) B = ɛµ i kan nu till exempel beräkna rotationen av induktionsekvationen Ekv. (4) (4) (41) E = ( E) 2 E = B = B. (42) i kan nu utnyttja att E = och Ekv. (41) Låt oss nu betrakta ekvationen 2 E = ɛ µ = ɛ µ 2. (43) 2 = 1 2 E, (44) ɛ µ 4
5 i en dimension: 2 = 1 ɛ µ x 2. (45) Ekvationen har då lösningar på formerna E(x ct) och E(x + ct), vilka beskriver vågor som fortplantar sig i den positiva respektive den negativa riktningen med hastigheten c = 1/ ɛ µ. i kallar därför Ekv. (44) för vågekvationen. Man kan också härleda en ekvation för en våg av magnetfält ur Maxwells ekvationer. ågen består därför av svängande elektriska och magnetiska fält, vilka genererar varandra. Den hastighet med vilken vågen breder ut sig överensstämmer med ljusets hastighet, och man kan därför dra slutsatsen att ljus är en form av elektromagnetiska vågor. 5
Elektromagnetiska falt och Maxwells ekavtioner
Forelasning /1 Elektromagnetiska falt och Maxwells ekavtioner 1 Maxwells ekvationer Maxwell satte 1864 upp fyra stycken ekvationer som gav en fullstandig beskrivning av ett elektromagnetiskt falt. Dock,
Läs merSvaren på förståelsedelen skall ges direkt på tesen som ska lämnas in
Dugga i Elektromagnetisk fältteori för F2. EEF031 20121124 kl. 8.3012.30 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori, Valfri kalkylator men inga egna anteckningar
Läs mer14. Potentialer och fält
4. Potentialer och fält [Griffiths,RMC] För att beräkna strålningen från kontinuerliga laddningsfördelningar och punktladdningar måste deras el- och magnetfält vara kända. Dessa är i de flesta fall enklast
Läs merOBS! Svaren på förståelsedelen skall ges direkt på tesen som skall lämnas in.
Dugga i Elektromagnetisk fältteori för F2. EEF031 2011-11-19 kl. 8.30-12.30 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori, Valfri kalkylator men inga egna anteckningar
Läs merBra tabell i ert formelblad
Bra tabell i ert formelblad Vi har gått igenom hur magnetfält alstrar krafter, kap. 7. Vi har gått igenom hur strömmar alstrar magnetfält, kap. 8. Återstår att lära sig hur strömmarna alstras. Tidigare
Läs mer1 Cirkulation och vorticitet
Föreläsning 7. 1 Cirkulation och vorticitet Ett mycket viktigt teorem i klassisk strömningsmekanik är Kelvins cirkulationsteorem, som man kan härleda från Eulers ekvationer. Teoremet gäller för en inviskös
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013
SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. De tre
Läs merSvaren på förståelsedelen skall ges på tesen som skall lämnas in.
Dugga i Elektromagnetisk fältteori F. för F2. EEF031 2005-11-19 kl. 8.30-12.30 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori, Valfri kalkylator men inga egna anteckningar
Läs merMagnetism. Beskriver hur magneter med konstanta magnetfält, t.ex. permanentmagneter, växelverkar med varandra och med externa magnetfält.
Magnetism Magnetostatik eskriver hur magneter med konstanta magnetfält, t.ex. permanentmagneter, växelverkar med varandra och med externa magnetfält. Vi känner till följande effekter: 1. En fritt upphängd
Läs merPartiklars rörelser i elektromagnetiska fält
Partiklars rörelser i elektromagnetiska fält Handledning till datorövning AST213 Solär-terrest fysik Handledare: Magnus Wik (2862125) magnus@lund.irf.se Institutet för rymdfysik, Lund Oktober 2003 1 Inledning
Läs merLösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM234 och FFM232)
Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM23 och FFM232) Tid och plats: Måndagen den 29 oktober 208 klockan 00-800, Maskinsalar Lösningsskiss: Christian Forssén Detta är enbart en skiss
Läs merFormelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01
Formelsamling Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01 Institutionen för elektro- och informationsteknik Lunds tekniska högskola Juni 014 Innehåll 1 Elstatik 1 Likström 4 3 Magnetostatik
Läs merFöreläsning 8. Ohms lag (Kap. 7.1) 7.1 i Griffiths
1 Föreläsning 8 7.1 i Griffiths Ohms lag (Kap. 7.1) i är bekanta med Ohms lag i kretsteori som = RI. En mer generell framställning är vårt mål här. Sambandet mellan strömtätheten J och den elektriska fältstyrkan
Läs merHydrodynamik Mats Persson
Föreläsning 5/10 Hydrodynamik Mats Persson 1 De hydrodynamiska ekvationerna För att beskriva ett enkelt hydrodynamiskt flöde behöver man känna fluidens densitet,, tryck p hastighet u. I princip behöver
Läs merANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation
ANDREA REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se oulombs lag och Maxwells första ekvation oulombs lag och Maxwells första ekvation Inledning Två punktladdningar q 1 samt q 2 i rymden
Läs mer* Läsvecka 1 * Läsvecka 2 * Läsvecka 3 * Läsvecka 4 * Läsvecka 5 * Läsvecka 6 * Läsvecka 7 * Tentamenssvecka. Läsvecka 1
Detta är en preliminär planering över undervisningen i kursen och är tänkt att hjälpa dig att få ut så mycket som möjligt av föreläsningarna. Till varje föreläsningsdag finns förberedelser, innehåll och
Läs merLennart Carleson. KTH och Uppsala universitet
46 Om +x Lennart Carleson KTH och Uppsala universitet Vi börjar med att försöka uppskatta ovanstående integral, som vi kallar I, numeriskt. Vi delar in intervallet (, ) i n lika delar med delningspunkterna
Läs merFormelsamling till Elektromagnetisk
Formelsamling till Elektromagnetisk fältteori Lars-Göran Westerberg Avdelningen för strömningslära Luleå tekniska universitet 13 januari 2009 ammanfattning Den här formelsamlingen utgör tillsammans med
Läs merFysik TFYA86. Föreläsning 8/11
Fysik TFYA86 Föreläsning 8/11 1 nduktion och elektromotorisk kraft (emk) University Physics: Kapitel 29, 30.1, (30.2 självinduktion) 2 ntroduktion Tidigare i kursen: Tidsberoende förändring, dynamik Elektrostatik
Läs merPoissons ekvation och potentialteori Mats Persson
1 ärmeledning Föreläsning 21/9 Poissons ekvation och potentialteori Mats Persson i vet att värme strömmar från varmare till kallare. Det innebär att vi har ett flöde av värmeenergi i en riktning som är
Läs merFöreläsning 2 1. Till varje punkt i rummet tilldelas en vektor. ( ) = T ( x, y, z,t) ( ) = v x
Föreläsning 2 1 Matematiska grundbegrepp Fält kalärfält: Vektorfält: Till varje punkt i rummet tilldelas en skalär Exempel: Temperaturen i olika punkter i rummet, T r,t ( ) = T ( x, y, z,t) Till varje
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM520)
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Lördagen den 1 september 2012 klockan 08.30-12.30 i M. Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, Typgodkänd miniräknare samt en egenhändigt skriven A4 med valfritt
Läs merEn trafikmodell. Leif Arkeryd. Göteborgs Universitet. 0 x 1 x 2 x 3 x 4. Fig.1
10 En trafikmodell Leif Arkeryd Göteborgs Universitet Tänk dig en körfil på en landsväg eller motorväg, modellerad som x axeln i positiv riktning (fig.1), och med krysset x j som mittpunkten för bil nummer
Läs merMaxwell insåg att dessa ekvationer inte var kompletta!! Kontinutetsekvationen. J = ρ
1 Föreläsning 10 7.3.1-7.3.3, 7.3.6, 8.1.2 i Griffiths Maxwells ekvationer (Kap. 7.3) åra modellagar, som de ser ut nu, är E(r,t) = B(r,t) Faradays lag H(r,t) = J(r,t) Ampères lag D(r,t) = ρ(r,t) Gauss
Läs merIntegraler av vektorfält Mats Persson
Föreläsning 1/8 Integraler av vektorfält Mats Persson 1 Linjeintegraler Exempel: En partikel rör sig längs en kurva r(τ) under inverkan av en kraft F(r). i vill då beräkna arbetet som kraften utövar på
Läs merStrålningsfält och fotoner. Våren 2013
Strålningsfält och fotoner Våren 2013 1. Fält i rymden Vi har lärt oss att beräkna elektriska fält utgående från laddningarna som orsakar dem Kan vi härleda nånting åt andra hållet? 2 1.1 Gauss lag Låt
Läs merStrålningsfält och fotoner. Våren 2016
Strålningsfält och fotoner Våren 2016 1. Fält i rymden Vi har lärt oss att beräkna elektriska fält utgående från laddningarna som orsakar dem Kan vi härleda nånting åt andra hållet? 2 1.1 Gauss lag Låt
Läs merIntegraler av vektorfalt. Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). Vi vill
Forelasning 6/9 ntegraler av vektorfalt Linjeintegraler Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). i vill da berakna arbetet som kraften utovar pa partikeln. Mellan
Läs merSvaren på förståelsedelen skall ges direkt på tesen som ska lämnas in
Övningstenta i Elektromagnetisk fältteori, 2014-11-29 kl. 8.30-12.30 Kurskod EEF031 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori. Valfri kalkylator, minnet måste
Läs merSensorer, effektorer och fysik. Grundläggande fysikaliska begrepp som är viktiga inom mättekniken
Sensorer, effektorer och fysik Grundläggande fysikaliska begrepp som är viktiga inom mättekniken Innehåll Grundläggande begrepp inom mekanik. Elektriskt fält och elektrisk potential. Gauss lag Dielektrika
Läs merA = D. r s r t dsdt. [(1 + 4t 2 ) 3/2 1]dt (1) där det sista steget fås genom variabelbytet u = 1 + 4s 2. Integralen. (1 + 4t 2 ) 3/2 dt
TATA44 Lösningar till tentamen 27/8/2..) Arean A av ytstycket ges av formeln A r s r t dsdt där : s t, t. En enkel räkning ger r s r t ( 2s 2 cos t, 2s 2 sin t, s) av vilket det följer att A s2 + 4s 4
Läs merVecka 4 INDUKTION OCH INDUKTANS (HRW 30-31) EM-OSCILLATIONER OCH VÄXELSTRÖMSKRETSAR
Vecka 4 INDUKTION OCH INDUKTANS (HRW 30-31) EM-OSCILLATIONER OCH VÄXELSTRÖMSKRETSAR Inlärningsmål Induktion och induktans Faradays lag och inducerad källspänning Lentz lag Energiomvandling vid induktion
Läs merÖvningar för finalister i Wallenbergs fysikpris
Övningar för finalister i Wallenbergs fysikpris 0 mars 05 Läsa tegelstensböcker i all ära, men inlärning sker som mest effektivt genom att själv öva på att lösa problem. Du kanske har upplevt under gymnasiet
Läs merÖvningsuppgifter/repetition inom elektromagnetism + ljus (OBS: ej fullständig)
Övningsuppgifter/repetition inom elektromagnetism + ljus (OBS: ej fullständig) Elektrostatik 1. Ange Faradays lag i elektrostatiken. 2. Vad är kravet för att ett vektorfält F är konservativt? 3. En låda
Läs merTentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar
Tentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar Ge dina olika steg i räkningen, och förklara tydligt ditt resonemang! Ge rätt enhet när det behövs. Tillåtna
Läs merOBS!
Tentamen i Elektromagnetisk fältteori för F2 och TM2. EEF031 2016-04-07 kl. 14:00-18:00 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori, Valfri kalkylator men inga
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.
Läs merÖvning 6, FMM-Vektoranalys, SI1140
Övning 6, FMM-ektoranalys, I114 ˆ 6. Beräkna integralen där A dr A x 2 ay + z) ) e x + y 2 az ) e y + z 2 ax + y) ) e z och är den kurva som utgör skärningslinjen mellan cylindern { x a) 2 + y 2 a 2 och
Läs merTentamen i El- och vågrörelselära,
Tentamen i El- och vågrörelselära, 23 2 8 Hjälpmedel: Physics Handbook, räknare. Ensfäriskkopparkulamedradie = 5mmharladdningenQ = 2.5 0 3 C. Beräkna det elektriska fältet som funktion av avståndet från
Läs mer------------------------------------------------------------------------------------------------------------ OBS!
Tentamen i Elektromagnetisk fältteori för F2. EEF031 2011-12-15 kl. 14.00-18.00 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori, Valfri kalkylator men inga egna
Läs merEDI615 Tekniska gränssnitt Fältteori och EMC föreläsning 3
EDI615 Tekniska gränssnitt Fältteori och EMC föreläsning 3 Daniel Sjöberg daniel.sjoberg@eit.lth.se Institutionen för elektro- och informationsteknik Lunds universitet April 2014 Outline 1 Introduktion
Läs merFörståelsefrågorna besvaras genom att markera en av rutorna efter varje påstående till höger. En och endast en ruta på varje rad skall markeras.
Dugga i Elektromagnetisk fältteori för F2. EEF031 2006-11-25 kl. 8.30-12.30 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori, Valfri kalkylator men inga egna anteckningar
Läs merFöreläsning 4 1. Den andra av Maxwells ekvationer i elektrostatiken
Föreläsning 4 1 Potential Den andra av Maxwells ekvationer i elektrostatiken!" C E!dl = 0 eller # E = 0 innebär att E-fältet är konservativt. Det finns inga fältlinjer som bildar loopar. Alla fältlinjer
Läs merMekaniska vågor. Emma Björk
Mekaniska vågor Emma Björk Olika typer av vågfenomen finns överallt! Mekaniska vågor Ljudvågor Havsvågor Seismiska vågor Vågor på sträng Elektromagnetiska vågor Ljus Radiovågor Mikrovågor IR UV Röntgenstrålning
Läs merTenta svar. E(r) = E(r)ˆr. Vi tillämpar Gauss sats på de tre områdena och väljer integrationsytan S till en sfär med radie r:
Tenta 56 svar Uppgift a) På grund av sfäriskt symmetri ansätter vi att: E(r) = E(r)ˆr Vi tillämpar Gauss sats på de tre områdena och väljer integrationsytan S till en sfär med radie r: 2π π Q innesluten
Läs merRep. Kap. 27 som behandlade kraften på en laddningar från ett B-fält.
Rep. Kap. 7 som behandlade kraften på en laddningar från ett -fält. Kraft på laddning i rörelse Kraft på ström i ledare Gauss sats för -fältet Inte så användbar som den för E-fältet, eftersom flödet här
Läs mer6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar
6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar 6.13 Det som känns som barnets tyngd är den uppåtriktade kraft F som mannen påverkar barnet med. Denna fås ur Newton 2 för barnet. Svar i kilogram måste
Läs mer14. Potentialer och fält
4. Potentialer och fält [Griffiths,RMC] För att beräkna strålningen från kontinuerliga laddningsfördelningar och punktladdningar måste deras el- och magnetfält vara kända. Dessa är i de flesta fall enklast
Läs mer23 Konservativa fält i R 3 och rotation
Nr 23, 7 maj -5, Amelia 2 23 Konservativa fält i R 3 och rotation 23. Potential 23.. Två dimensioner (2D) I två dimensioner definierade vi ett vektorfält som konservativt om kurvintegralen av fältet endast
Läs merHur elektromagnetiska vågor uppstår. Elektromagnetiska vågor (Kap. 32) Det elektromagnetiska spektrumet
Elektromagnetiska vågor (Kap. 32) Hur elektromagnetiska vågor uppstår Laddning i vila:symmetriskt radiellt fält, Konstant hastighet: osymmetriskt radiellt fält samt ett magnetfält. Konstant acceleration:
Läs merFysik TFYA86. Föreläsning 9/11
Fysik TFYA86 Föreläsning 9/11 1 Elektromagnetiska vågor (ljus) University Physics: Kapitel 32, 33, 35, 36 (delar, översiktligt!) Översikt och breddning! FÖ: 9 (ljus) examineras främst genom ljuslabben
Läs merKunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät med återkopplingar. I denna övning kallas ett kösystem som ingår i ett könät oftast nod.
Övning 8 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät med återkopplingar. Kunna beräkna medeltiden som en kund tillbringar i ett könät med återkopplingar.
Läs merElektrodynamik. Elektrostatik. 4πε. eller. F q. ekv
1 Elektrodynamik I det allmänna fallet finns det tidsberoende källor för fälten, dvs. laddningar i rörelse och tidsberoende strömmar. Fälten blir då i allmänhet tidsberoende. Vi ser då att de elektriska
Läs merBetygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna
Betygskriterier Matematik E MA105 50p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA105 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är
Läs merKurvlängd och geometri på en sfärisk yta
325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,
Läs merOBS!
Tentamen i Elektromagnetisk fältteori för F2. EEF031 2010-04-06 kl. 14.00-18.00 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori, Valfri kalkylator men inga egna
Läs merSvaren på förståelsedelen skall ges direkt på tesen som ska lämnas in
Övningstenta i Elektromagnetisk fältteori, 20161126 kl. 8.3012.30 Kurskod EEF031 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori. Valfri kalkylator, minnet måste
Läs merMatematikuppgifter del II, FYTA11
Matematikuppgifter del II, FYTA11 51. Lös uppgift 10.1 i boken. 52. Lös uppgift 10.2 i boken. 53. Lös uppgift 10.3 i boken. 54. Lös uppgift 10.4 i boken. 55. Låt en kurva i rummet vara given i parametrisk
Läs merMatematik och modeller Övningsuppgifter
Matematik och modeller Övningsuppgifter Beräkna a) d) + 6 b) 7 (+) + ( 9 + ) + 9 e) 8 c) ( + (5 6)) f) + Förenkla följande uttryck så långt som möjligt a) ( ) 5 b) 5 y 6 5y c) y 5 y + y y d) +y y e) (
Läs merOBS! Svaren på förståelsedelen skall ges på tesen som skall lämnas in.
Tentamen i Elektromagnetisk fältteori för F2 och TM2. EEF031 2019-04-25, kl. 14:00-18:00 Tillåtna hjälpmedel: Förfrågningar: Lösningar: Resultatet: Granskning: Kom ihåg Betygsgränser: BETA, Physics Handbook,
Läs merAerodynamik - Prestanda
Aerodynamik - Prestanda Syfte/mål med föreläsningarna: Förståelse för digram och ekvationer Förståelse för vad som styr design 1 Innehåll Vad ska vi gå igenom? C L /C D -polarkurva Rörelseekvationer Flygning
Läs mer14. Potentialer och fält
14. Potentialer och fält [Griffiths,RMC] För att beräkna strålningen från kontinuerliga laddningsfördelningar och punktladdningar måste deras el- och magnetfält vara kända. Dessa är i de flesta fall enklast
Läs merOBS!
Tentamen i Elektromagnetisk fältteori för F2 och TM2. EEF031 2018-08-23, kl. 14:00-18:00 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori, Valfri kalkylator men inga
Läs mer1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26-3-2 DEL A. Låt D vara fyrhörningen med hörn i punkterna, ), 6, ),, 5) och 4, 5). a) Skissera fyrhörningen D och beräkna dess area. p) b) Bestäm
Läs merIntegranden blir. Flödet ges alltså av = 3
Lektion 7, Flervariabelanals den 23 februari 2 6.4.2 Använd Gauss sats för att beräkna flödet av ut ur sfären med ekvationen där a >. Flödet ut ur sfären ges av F e e + 2 e e + e 2 + 2 + 2 a 2 F d, som
Läs merNikolai Tesla och övergången till växelström
Nikolai Tesla och övergången till växelström Jag påminner lite om förra föreläsningen: växelström har enorma fördelar, då transformatorer gör det enkelt att växla mellan högspänning, som gör det möjligt
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 2 mars 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merVar försiktig med elektricitet, laserstrålar, kemikalier osv. Ytterkläder får av säkerhetsskäl inte förvaras vid laborationsuppställningarna.
Laborationsregler Förberedelser Läs (i god tid före laborationstillfället) igenom laborationsinstruktionen och de teoriavsnitt som laborationen behandlar. Till varje laboration finns ett antal förberedelseuppgifter.
Läs merOBS!
Tentamen i Elektromagnetisk fältteori för F2 och TM2. EEF031 2018-04-05, kl. 14:00-18:00 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori, Valfri kalkylator men inga
Läs merOmtentamen i DV & TDV
Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2005-06-07 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga
Läs merSvaren på förståelsedelen skall ges direkt på tesen som ska lämnas in
Dugga i Elektromagnetisk fältteori för F2. EEF031 2013-11-23 kl. 8.30-12.30 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori. Valfri kalkylator, minnet måste raderas
Läs merOBS!
Tentamen i Elektromagnetisk fältteori för F2 och TM2. EEF031 2017-08-17, kl. 14:00-18:00 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori, Valfri kalkylator men inga
Läs merRepetition kapitel 21
Repetition kapitel 21 Coulombs lag. Grundbulten! Definition av elektriskt fält. Fält från punktladdning När fältet är bestämt erhålls kraften ur : F qe Definition av elektrisk dipol. Moment och energi
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs merÖvningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.
Övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2010 Vecka 2 Komplexa fourierserier 1. Gör en skiss av funktionen f(t) = t, t [ π, π] (med period 2π) och beräkna dess fourierserie. 2. Gör en skiss
Läs merInlämningsuppgift 4 NUM131
Inlämningsuppgift 4 NUM131 Modell Denna inlämningsuppgift går ut på att simulera ett modellflygplans rörelse i luften. Vi bortser ifrån rörelser i sidled och studerar enbart rörelsen i ett plan. De krafter
Läs mer93FY51/ STN1 Elektromagnetism Tenta : svar och anvisningar
17317 93FY51 1 93FY51/ TN1 Elektromagnetism Tenta 17317: svar och anvisningar Uppgift 1 a) Av symmetrin följer att: och därmed: Q = D d D(r) = D(r)ˆr E(r) = E(r)ˆr Vi väljer ytan till en sfär med radie
Läs merFK Elektromagnetism och vågor, Fysikum, Stockholms Universitet Tentamensskrivning, måndag 21 mars 2016, kl 9:00-14:00
FK5019 - Elektromagnetism och vågor, Fysikum, Stockholms Universitet Tentamensskrivning, måndag 21 mars 2016, kl 9:00-14:00 Läs noggrant igenom hela tentan först Tentan består av 5 olika uppgifter med
Läs merProblemet löd: Är det möjligt att på en sfär färga varje punkt på ett sådant sätt att:
Problemet löd: Är det möjligt att på en sfär färga varje punkt på ett sådant sätt att: 1. Om två punkter befinner sig på avståndet pi/2 från varandra så skall de ha olika färg. 2. Endast tre färger används.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,
Läs merr 2 Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0).
1 Föreläsning 2 Motsvarar avsnitten 2.4 2.5 i Griffiths. Arbete och potentiell energi (Kap. 2.4) r 1 r 2 C Låt W vara det arbete som måste utföras mot ett givet elektriskt fält E, då en laddning Q flyttas
Läs mer------------------------------------------------------------------------------------------------------------ OBS!
Tentamen i Elektromagnetisk fältteori för F2. EEF031 2011-04-26 kl. 14.00-18.00 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori, Valfri kalkylator men inga egna
Läs merIdealgasens begränsningar märks bäst vid högt tryck då molekyler växelverkar mera eller går över i vätskeform.
Van der Waals gas Introduktion Idealgaslagen är praktisk i teorin men i praktiken är inga gaser idealgaser Den lättaste och vanligaste modellen för en reell gas är Van der Waals gas Van der Waals modell
Läs merFFM232, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM232, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Oct 3, 2016 8. Potentialteori Konservativa fält och potentialer
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
Läs merVektoranalys I. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik
Vektoranalys I Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 2 september 2015 Översikt över de tre föreläsningarna 1. Grundläggande begrepp inom vektoranalysen, nablaoperatorn samt
Läs merTATA44 Lösningar 24/8/ ) Låt S vara den del av x 2 + y 2 + z 2 = 2 innanför cylindern x 2 + y 2 = 1. Inför cylinderkoordinater.
TATA Lösningar /8/.. Låt vara den del av x + y + z innanför cylindern x + y. Inför cylinderkoordinater. Parametrisera med ortsvektorn r(ρ, φ (ρ cos φ, ρ sin φ, ρ som man kan skriva som r(ρ, φ ρ ˆρ + ρ
Läs merHanno Essén Lagranges metod för en partikel
Hanno Essén Lagranges metod för en partikel KTH MEKANIK STOCKHOLM 2004 1 Inledning Joseph Louis Lagrange (1763-1813) fann en metod som gör det möjligt att enkelt ta fram rörelseekvationerna för system
Läs merDimensioner och fraktal geometri. Johan Wild
Dimensioner och fraktal geometri Johan Wild 9 februari 2010 c Johan Wild 2009 johan.wild@europaskolan.se Får gärna användas i undervisning, kontakta i så fall författaren. 9 februari 2010 1 Inledning och
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.
Läs mera), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1.
PASS 9. OLIKHETER 9. Grundbegrepp om olikheter Vi får olikheter av ekvationer om vi byter ut likhetstecknet mot något av tecknen > (större än), (större än eller lika med), < (mindre än) eller (mindre än
Läs merReglerteori, TSRT09. Föreläsning 4: Kalmanfiltret & det slutna systemet. Torkel Glad. Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet
Reglerteori, TSRT09 Föreläsning 4: Kalmanfiltret & det slutna systemet Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Sammanfattning av Föreläsning 3 2(19) Kovariansfunktion: Spektrum: R u (τ) = Eu(t)u(t τ)
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Oct 2, 2017 10. Värmeledning, diffusionsekvation Betrakta ett temperaturfält
Läs merFysik TFYA68 (9FY321) Föreläsning 6/15
Fysik TFYA68 (9FY321) Föreläsning 6/15 1 ammanfattning: Elektrisk dipol Kan definiera ett elektriskt dipolmoment! ~p = q ~d dipolmoment [Cm] -q ~ d +q För små d och stora r: V = p ˆr 4 0 r 2 ~E = p (2
Läs merTSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av Föreläsning 3. Sammanfattning av Föreläsning 3, forts. Sammanfattning av Föreläsning 3, forts.
Reglerteori 2016, Föreläsning 4 Daniel Axehill 1 / 18 Sammanfattning av Föreläsning 3 Kovariansfunktion: TSRT09 Reglerteori Föreläsning 4: Kalmanfiltret & det slutna systemet Daniel Axehill Reglerteknik,
Läs merFK Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (2:a omtentan), fredag 30 augusti 2013, kl 9:00-14:00
FK4010 - Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (2:a omtentan), fredag 30 augusti 2013, kl 9:00-14:00 Läs noggrant genom hela tentan först. Börja med uppgifterna som du tror
Läs mery= x dx = x = r cosv $ y = r sin v ,dxdy = rdrdv ' 2* så får vi att
TH-Matematik Lösningsförslag till Tentamenskrivning 5-6-, kl. 8.-3. 5B7, matematik III för E och ME 6p) Del A, 3-poängsuppgifter x. xy y )dy dx x y y3 3 ) * x 3 x3 3, x3 -. dx 5 5 x4 6 4 y x y 5 4 dx.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs mer