Problemsamling. Peter Wintoft Institutet för rymdfysik Scheelevägen Lund

Transkript

1 Solär-terrest fysik, AST 213 Problemsamling Peter Wintoft Institutet för rymdfysik Scheelevägen Lund

2 AST Allmänna gaslagen p = nkt (1) relaterar trycket till partikeltäthet och temperatur. Antag att temperaturen är konstant och att hydrostatisk jämvikt råder. Ta fram ett uttryck av hur a) trycket varierar med höjden i atmostfären, b) partikeltätheten varierar med höjden i atmostfären. b) Hur varierar trycket i havet med ökat djup? 2. För en Maxwell-Boltzmannfördelad gas i tre dimensioner gäller ( ) f(v)=aexp mv2. (2) 2kT där f(v) är fördelningen av partiklar för olika hastigheter v. Partikeltätheten n fås genom att integrera över alla hastigheter v n = f(v)dv. (3) Bestäm konstanten A genom att utföra integrationen. denna fördelning? 3. Visa att den riktningsoberoende MB-fördelningen är v När gäller g(v) = 4πnv 2 f(v) = (4) ( ) ) m 3/2 = 4πnv 2 exp ( mv2. (5) 2πkT 2kT Visa i en figur hur fördelningen ser ut. 4. Härled a) medelhastigheten, b) rms-hastigheten och c) den mest sannolika hastigheten för en Maxwell-Boltzmannfördelad gas. 5. En gas bestående av två partikelslagär i termodynamisk jämvikt. Visa att de lättare partiklarna (m 1 )harhögre medelhastighet än de tyngre (m 2 ).

3 AST Härled kontinuitetsekvationen för det endimensionella fallet. 7. Rita fältlinjerna för magnetfältet B x = y, B y = cx där c>1. Visa också att B =0. 8. Beräkna magnetiska spännings- och tryckkrafter för föregående problem. Markera krafterna i figuren. Vad händer med magnetfältet i denna konfiguration? Studera också specialfallet c = Härled uttryck för gyroradie och gyrofrekvens för en laddad partikel i ett magnetfält. Antag att magnetfältet B är i z-riktningen och att partikeln rör sig i x-y-planet med hastigheten v. 10. Beräkna gyroradie och gyrofrekvens för partiklarna i nedanstående tabell. Var kan man typiskt ha de magnetfält som ges i tabellen? Gyroradie Gyrofrekvens B(nT) W(eV) elektron proton elektron proton Härled ett uttryck för plasmafrekvensen med följande antaganden: 1) inga magnetfält, 2) ingen termisk rörelse, 3) protonerna utgör en statisk uniform bakgrund, 4) plasmat har en oändlig utsträckning. Inför en liten förskjutning δ mellan protonerna och elektronerna enligt figur 1. Ta fram ett uttryck för elektriska fältet och lös rörelseekvationen. 12. Hur lyder definitionen för ett plasma? 13. Beräkna Debyelängden λ D och plasmaparametern N D för: a) solens centrum (T = K, ρ = kg/m 3 ), b) halvvägs ner i konvektiva zonen (T =10 6 K, ρ = 100 kg/m 3 ), c) solens fotosfär (T = 6000 K, n e =10 17 cm 3 ), d) solens kromosfär (T = K, n e =10 11 cm 3 ),

4 AST p e δ Figure 1: Elektroner förskjutna sträckan δ i förhållande till bakgrunden av protoner. e) solens korona (T = K, n e =10 8 cm 3 ), f) solvinden vid 1 AU. 14. Beräkna plasma-β för regionerna i föregånde uppgift. 15. Vad menas med infruset magnetfält? 16. Vad är en Alfvénvåg? 17. Hur lång tid tar det för en Alfvénvåg att gå från solen till jorden? Hur lång tid tar en ljudvåg? Hur lång tid tar solvinden? 18. Hur stort är luftmotståndet för en satellit i cirkulär bana på höjden a) 200 km, b) 500 km, c) 1000 km. Jämför med gravitationskraften. Luftmotståndet ges av D =0.5C D Aρv 2, (6)

5 AST där C D är motståndskoeficienten, A tvärsnittsarean och ρ densiteten. Antag att C D =1ochA =1m 2. Partikeltätheten n kan avläsas ur figur 2 som sedan ger densiteten ρ. Figure 2: Atmosfärens sammansättning upp till 1000 km höjd. Från Hargreaves, The solar-terrestrial environment, Gastrycket är p g = nkt och det magnetiska trycket är p m = B 2 /2µ. Visa att temperaturen är lägre i en solfläck jämfört med omgivningen om man antar att tryckjämvikt råder. 20. E.N. Parker visade 1958 att om man antar att temperaturen i koronan är konstant och ca 1 miljon grader i närheten av solen så kommer detta leda till att det finns en solvind som har en hastighet av ca 500 km/s. Parkers antagande leder till följande differentialekvation: ( v 2 2kT m ) dv dr = 4kT mr GM r 2, (7) där v är hastigheten och r radien från solens centrum.

6 AST a) Det finns en kritisk radie r c dåhögerledet är lika med noll. Vad är r c? b) Vid den kritiska radien r c har vi en kritisk hastighet v c. Vad är v c? c) Det finns fem olika lösningar till solvindsekvationen. Skissa dessa lösningar i en figur med v som funktion av r. Markerar c och v c i figuren. Observera att ekvationen ej behöver lösas. 21. Vad är partikeltätheten vid r =10R om vi antar att solvindshastigheten V = 400 km/s är konstant? 22. Antag att magnetiska flödestätheten vid solytan är B 0 och fältet är radiellt samt att solen ej roterar. Visa då att magnetfältet varierar enligt r0 2 B r (r) =B 0 r 2. (8) 23. I verkligheten roterar dock solen med en vinkelhastighet ω. Antag att radialkomponenten varierar enligt ovan och att solvindens hastighet v är konstant. Visa då att tangentialkomponenten varierar enligt ωr 0 r 0 B φ (r) = B 0 v r. (9) Tänk på att magnetfältet är infruset och således följer solvindens expansion. 24. Beräkna vinkeln mellan magnetfältets riktning och den radiella riktningen vid a) Venus, b) jorden, c) Mars, d) Neptunus. Hur många varv har magnetfältet roterat ute vid Neptunus? 25. Plasmafrekvensens variation i jonosfären följer dygnet, året och solfläckscykeln. I figur 3 visas plasmafrekvensen för några dagar i september och december 1990 och Beräkna den högsta och lägsta partikeltätheten som inträffar i figuren. Är det elektrontätheten,protontätheten eller summan av de båda du räknat fram?

7 AST fof2 (MHz) Day in December fof2 (MHz) Day in September Figure 3: Variationen av plasmafrekvensen i jonosfären. 26. Antag att det geomagnetiska fältet kan beskrivas som ett rent dipolfält, dvs. B = B rˆr + B θ ˆθ (10) där 2M cos θ B r = r 3 (11) B θ = M sin θ r 3 (12) och r är avståndet från jordens centrum och θ är colatituden. Det geomagnetiska dipolmomentet är M = Tm 3 =30.4 µtr 3 E. Antag också att i ekvatorsplanet vid r =5R E har vi en poulation av protoner och elektroner med n = 10cm 3, W e =1eVochW p =30 kev. a) Bestäm magnetfältets styrka B = B = B(r, θ). b) Bestäm B i ekvatorsplanet. c) Bestäm gyrofrekvens och gyroradie. Åt vilket håll gyrerar partiklarna?

8 AST d) Beräkna gradientdriftens storlek och riktning. e) Hur långt tid tar det för en elektron respektive proton att röra sig ett varv runt jorden? f) Hur lång tid tar det för en neutral partikel i cirkelbana vid samma avtsånd att gå ett varv runt jorden? g) Beräkna ringströmmens styrka i A/m 2.Hurstortär bidraget från elektronerna respektive protonerna till ringströmmen? 27. I verkligheten aviker det geomagnetiska fältet från ett dipolfält genom att det trycks samman på framsidan av solvinden och dras ut i en lång svans på baksidan. Med typiska värden för solvinden vid 1 AU beräkna: a) gastrycket, b) magnetiska trycket, c) dynamiska trycket, d) det avstånd från jorden där trycket från solvinden balanserar det geomagnetiska trycket. 28. Månen har inget eget magnetfält som jorden. Dessutom är månen elektriskt oledande. a) Vad händer med solvindens magnetfältvidväxelverkanmedmånen? Utnyttja induktionsekvationen. b) Antag att solvindens magnetfältär upplinjerat med solvindens partikelflöde. Hur ser partikelflödet ut framför respektive bakom månen? Vad blir gastrycket och det magnetiska trycket framför respektive bakom månen? Vad får det för konsekvenser?