Algebra och rationella uttryck

Transkript

1 Algebra och rationella uttryck - 20 Uppgift nr Förenkla x0 y 6 z 5 25 y 2 Uppgift nr 2 Uppgift nr 3 ab b 5a - a² 9a där a 0. där b 0. Uppgift nr 4 Multiplicera in i parentesen 2x(4 + 2x 3 ) Uppgift nr x + 6 7x Uppgift nr 6 Multiplicera (a + b) 2 Uppgift nr 7 Bryt ut - ur binomet 2 + b Uppgift nr 8 Dividera x w / z y Uppgift nr x Uppgift nr 0 A/ x² - x B/ Skriv, med hjälp av lösningarna, ekvationens vänsterled som en multiplikation mellan två binom (parenteser). C/ Faktorisera uttrycket x² - x - 72 Uppgift nr så långt som möjligt a 2 + 8ab + 8b 2 8a + 72b Uppgift nr 2 Förenkla uttrycket x² + x - 42 x² + 0x + 2 Uppgift nr 3 Faktorisera a 2-2ab + b 2 med hjälp av andra kvadreringsregeln. Uppgift nr 4 och y 0 Uppgift nr 5 Faktorisera a 2 - b 2 x(9 - y) xy där x 0 Sid

2 Algebra och rationella uttryck - 20 Uppgift nr 6 5x x² + 4x där x -4 Uppgift nr 7 Bryt ut - ur binomet 7 + b Uppgift nr 8 Bryt ut det som går ur 2xy 2 z y 3 Uppgift nr 9 Dividera y - - Uppgift nr 20 Förenkla uttrycket x² + x - 2 x² + 0x + 24 Uppgift nr 2 Dividera 5 - z - Uppgift nr 22 Bryt ut - ur binomet z + 6 Uppgift nr 23 Multiplicera (6x - 7)(3x - 2) Uppgift nr 24 Förenkla x5 y 2 z 5y 6 z 8 Uppgift nr 25 Bryt ut det som går ur 8x - x² Uppgift nr 26 x² - 9x 5x där x 0. Uppgift nr 27 A/ x² + 2x B/ Skriv, med hjälp av lösningarna, ekvationens vänsterled som en multiplikation mellan två binom (parenteser). C/ Faktorisera uttrycket x² + 2x - 8 Uppgift nr 28 Förenkla x7 x 4 där x 0 Uppgift nr x + 30x Uppgift nr 30 Bryt ut det som går ur 8a 2 + 5a 5 Uppgift nr 3 Faktorisera 9x y + y 2 Uppgift nr 32 Dividera a7 b 5 a 3 b 4 Sid 2

3 Algebra och rationella uttryck - 20 Uppgift nr x + 6 7x Uppgift nr 34 Förenkla a0 b 9 c 20a 8 c 9 Uppgift nr 35 9 x Uppgift nr 36 2x - 3 5x Uppgift nr 37 Faktorisera y 3 + 9y 6 Uppgift nr 38 Faktorisera m 4-8m Uppgift nr 39 Förenkla 2 - x x - 2 Uppgift nr 40 Bryt ut det som går ur 25a 3 b 4 c - 20ab 3 c + 5a 3 b 4 Uppgift nr 4 Bryt ut det som går ur 4x + 3x² Uppgift nr 42 Förkorta 8ac 2bc där b 0 och c 0. Uppgift nr 43 Multiplicera parenteserna ( x)(3 + 2) Uppgift nr 44 Förenkla y7 y Uppgift nr 45 Skriv uttrycket a 2 + 2ab + b 2 med hjälp av första kvadreringsregeln som en multiplikation mellan två parenteser. Uppgift nr 46 Beräkna (x + y) 2 med hjälp av första kvadreringsregeln. Uppgift nr 47 6x 2x + x² där x -2 Uppgift nr 48 Multiplicera in i parentesen 7 (8x 3 + 3x) Sid 3

4 Algebra och rationella uttryck - 20 Uppgift nr 49 Multiplicera till ett bråk och svara i enklaste form. 0a - 5 4a 2-9 4a 2 + 2a + 9 4a 2-2a + 9 Uppgift nr 50 Multiplicera (4x + 2)(5x + 3) Uppgift nr 5 Multiplicera in i parentesen 4x(8 + 5y) Uppgift nr 52 Multiplicera (9a + 5b)(9a - 5b) Uppgift nr 53 Multiplicera med hjälp av konjugatregeln (x - y)(x + y) Uppgift nr 54 Förenkla 8 - c c - 8 Uppgift nr 55 Multiplicera in i parentesen 8x(6-5y) Uppgift nr x + 3 4x + 8 9x Uppgift nr 57 Dividera a9 b 8 a 2 b 3 Uppgift nr 58 Beräkna (x - y) 2 med hjälp av andra kvadreringsregeln. Uppgift nr 59 ab 6a där a 0 Uppgift nr 60 Förenkla 9x 7-3x 4 Uppgift nr 6 och b 0 Uppgift nr 62 Dividera 4 - a - a(b + 7) ab där a 0 Uppgift nr 63 A/ x² - x B/ Skriv, med hjälp av lösningarna, ekvationens vänsterled som en multiplikation mellan två binom (parenteser). C/ Faktorisera uttrycket x² - x - 2 Sid 4

5 Algebra och rationella uttryck - 20 Uppgift nr 64 Förenkla uttrycket x² - 4x - 45 x² - 5x - 36 Uppgift nr 65 Dividera till ett bråk och svara i enklaste form b + 25b b / 36-25b b + 25b 2 Uppgift nr 66 Multiplicera med hjälp av konjugatregeln (8 + b)(8 - b) Uppgift nr 67 Multiplicera (8a + 7b) 2 Uppgift nr 68 Förenkla uttrycket 7x - (3x - 4)² Uppgift nr 69 Multiplicera 7 5x 3 Uppgift nr x Sid 5

6 Facit - Algebra och rationella uttryck - 20 Uppgift nr (Uttrycket kan fås om tex 25 x0 y6 z5 y 2 multipliceras.) x 0 y 6 z 5 25 y 2 25 x0 y6 z5 y 2 0,04 x 0-2 y 6-2 z 5 0,04x 8 y 4 z 5 0,04x 8 y 4 z 5 Uppgift nr 2 [Täljare och nämnare måste vara faktoriserade, innan man kan förkorta. (här kan a brytas ut i täljaren). Därefter förkortning med a.] a (5 - a) 9 a 5 - a 9 (5 - a) 9 Uppgift nr 3 (Bråket kan skrivas a b b och förkortas med b till a ) a Uppgift nr 4 8x + 4x 4 [Först blir det (8x + 4x 4 ). Parentesen har ett osynligt plustecken framför sig. Den kan tas bort.] Uppgift nr 5 Uppgift nr 7 Faktorisera nämnarna 2 + b (-) (-2 - b) 3 + (x - 4) 2 7(x - 4) + 4 (x - 4)(x + 4) 0 -(-2 - b) MGN 7 (x - 4) 2 (x -(-2 - b) + 4) (Multiplicera alla termer Uppgift nr 8 med MGN och förkorta) [Vid division skall 7 (x + 4) + 3 (x - 4)(x + 4) (x - 4) 0 7x (liksom vid räkning med x - 2 tal) andra 0 bråket x inverteras (vändas x uppochned) och bråken i stället multipliceras.] pq-formeln ger x ± (35 6 ) x ± x ± 53 6 x Uppgift nr 6 [Uppgiften innebär att multiplicera (a + b) (a + b).] a 2 + ab + ab + b 2 a 2 + 2ab + b 2. (Svaret blir Första i kvadrat _ plus två gånger första gånger andra _ plus andra i kvadrat. Kallas FÖRSTA KVADRERINGSREGELN. Den kan användas som regel vid multiplikation av ett binom med sig själv när det är plustecken i parenteserna.) x w / z y x y w z xy wz xy wz (Variablerna i bokstavsordning.) Uppgift nr 9 MGN 20x (Multiplicera ekvationen med MGN) 20x x 7 0x (Förkorta bort nämnarna) 5 x x 4 5x x 4 5 Uppgift nr 0 (pq-formeln ger ) x - (-) 2 ± (- 2 )2 - (-72) x 0,5 ± 0, x 0,5 ± 8,5 A/ x 9-8 B/ (x - 9) (x + 8) 0 C/ (x - 9) (x + 8) Sid

7 Facit - Algebra och rationella uttryck - 20 Uppgift nr (Täljaren faktoriseras med första kvadreringsregeln. Nämnaren faktoriseras genom utbrytning av talet 8.) (a + 9b)(a + 9b) 8(a + 9b) [Förkorta med talet (a + 9b)] a + 9b 8 Uppgift nr 2 (Täljare och nämnare måste faktoriseras. Varken utbrytning, kvadrerings- eller kunjugatregler fungerar. Tä/Nä sätts lika med noll och motsvarande andragradsekv. löses.) x² + x ger rötterna 6 och -7. x² + 0x ger rötterna -7 och -3. Bråket kan skrivas (x - 6) (x + 7) (x + 7) (x + 3) [Förkorta med (x + 7)] x - 6 x + 3 Uppgift nr 3 (a - b)(a - b) Uppgift nr 4 x (9 - y) [ förkortas med y till x y (9 - y) y ] 9 - y y Uppgift nr 5 (a + b)(a - b) (Konjugatregeln baklänges ) Uppgift nr 6 [Täljare och nämnare måste vara faktoriserade innan man kan förkorta (här kan x brytas ut i nämnaren). Därefter förkortning med x.] 5 x x (x + 4) 5 (x + 4) 5 x + 4 Uppgift nr b (-) (-7 - b) -(-7 - b) -(-7 - b) Uppgift nr 8 6xy 2 (2z 2 + 9xy) Uppgift nr 9 (Ett sätt är att förlänga bråket med -.) y - - (-) (y - ) (-) (-) -y + -y + - y - y Uppgift nr 20 (Täljare och nämnare måste faktoriseras. Varken utbrytning, kvadrerings- eller kunjugatregler fungerar. Tä/Nä sätts lika med noll och motsvarande andragradsekv. löses.) x² + x ger rötterna 3 och -4. x² + 0x ger rötterna -4 och -6. Bråket kan skrivas (x - 3) (x + 4) (x + 4) (x + 6) [Förkorta med (x + 4)] x - 3 x + 6 Uppgift nr 2 (Ett sätt är att förlänga bråket med -.) 5 - z - (-) (5 - z) (-) (-) -5 + z -5 + z z - 5 z - 5 Uppgift nr 22 z + 6 (-) (-z - 6) -(-z - 6) -(-z - 6) Uppgift nr 23 (Första gånger första, Första gånger andra... ger först) 8-2x - 2x x + 4 (En parentes med två termer kallas ett BINOM. Här multipliceras alltså två olika binom.) Sid 2

8 Facit - Algebra och rationella uttryck - 20 Uppgift nr 24 (Uttrycket kan fås om tex 5 x5 y2 z y 6 z 8 multipliceras.) x 5 y 2 z 5y 6 z 8 5 x5 y2 z y 6 0,2 x 5 y 2-6 z -8 0,2x 5 y 6 z 3 0,2x 5 y 6 z 3 z 8 Uppgift nr 25 x(8 - x) (Båda termerna innehåller variabeln x, som alltså kan brytas ut. Som kontroll kan x multipliceras in igen.) Uppgift nr 26 [Täljare och nämnare måste vara faktoriserade, innan man kan förkorta. (här kan x brytas ut i täljaren). Därefter förkortning med x.] x (x - 9) (x - 9) 5 x 5 x Uppgift nr 27 (pq-formeln ger ) x ± (2 2 )2 - (-8) x - ± + 8 x - ± 3 A/ x -4 Uppgift nr 28 (Faktorisera till x x x x x x x x x x x som kan förkortas med x fyra gånger till x x x ) x 3 (Svaret blir rätt, om man tar exponenten i täljaren minus exponenten i nämnaren. Kan skrivas som en formel, potensräkningslag a m a m-n ) a n Uppgift nr 29 Faktorisera nämnarna b5 multipliceras (2x + ) 2 5(2x + ) - 4 a 3 (2x + )(2x - ) 0 b 4 a 7 b 5 a7 b5 MGN 5 (2x + ) 2 (2x a 3 b 4 a 3 b 4 - ) a 7-3 b 5-4 ) (Multiplicera alla termer a 4 b med MGN och förkorta) 2 5 (2x - ) - 2 (2x + )(2x - ) (2x + ) 0 60x x x x + 0 pq-formeln ger x - 7,5 2 ± (7,5 2 )2 - x -3,75 ± 4, x -3,75 ±,75 x -2-5,5 Uppgift nr 30 3a 2 (6 + 5a 3 ) (Båda temerna innehåller minst två faktorer a. a 2 kan alltså brytas ut. Båda termerna är också delbara med 3.) Uppgift nr 3 (3 + y) 2 (Första kvadreringsregeln baklänges ) Uppgift nr 32 (Uttrycket fås tex om a 7 2 B/ (x + 4) (x - 2) 0 C/ (x + 4) (x - 2) Sid 3

9 Facit - Algebra och rationella uttryck - 20 Uppgift nr 33 Faktorisera nämnarna 5 7(x + 4) + 2 (x + 4)(x - 4) 0 (x + 4) 2 - MGN 7 (x + 4) 2 (x 0 (2x - ) - 4) 5 5x (Multiplicera alla termer (20x - 0) 25x + 24 med MGN och förkorta) 20x x (x - 4) - 5 (x + 4)(x - 4) (x 4) 0 7x x + 20x x x x pq-formeln ger x - -4,2 2 ± (-4,2 2 )2 - (-2,6) x 2, ± 4,4 + 2,6 x 2, ± 5, x 7,2-3 Uppgift nr 34 (Uttrycket kan fås om tex 20 a0 b9 a 8 c c 9 multipliceras.) a 0 b 9 c 20a 8 c 9 20 a0 b9 a 8 c c 9 0,05 a 0-8 b 9 c -9 0,05a 2 b 9 c 2 0,05a 2 b 9 c 2 Uppgift nr 35 MGN 6x (Multiplicera ekvationen med MGN) 6x 9 x + 6x (Förkorta bort nämnarna) x 0 7x -54 7x x Uppgift nr 36 MGN (2x - ) x x 34-5x x (x -6,8) Uppgift nr 37 (4 + 3y 3 ) 2 (Första kvadreringsregeln baklänges ) Uppgift nr 38 (m 2-4) 2 (Andra kvadreringsregeln baklänges ) Uppgift nr 39 Bryt ut - ur binomet i täljaren 2 - x (-) (x - 2) x - 2 x - 2 Förkorta med (x - 2) - Uppgift nr 40 5ab 3 (5a 2 bc - 4c + 3a 2 b) Uppgift nr 4 x(4 + 3x) (Båda termerna innehåller variabeln x, som alltså kan brytas ut. Som kontroll kan x multipliceras in igen.) Uppgift nr 42 ( 8 a c 2 b c förkortas med 2 och med c till 4 a b ) 4a b Uppgift nr 43 (Varje term i första parentesen skall multipliceras med var och en i den andra.) ( x)(3 + 2) x x 3-6x -6x 4-9x x + 4-6x 4-9x x + 4 Uppgift nr 44 ( y7 y y7 y 7- y 6 ) y y 6 Uppgift nr 45 (a + b) (a + b) (Första kvadreringsregeln baklänges. Uttrycket har faktoriserats. Multiplikationstecknet behöver inte skrivas ut.) Sid 4

10 Facit - Algebra och rationella uttryck - 20 Uppgift nr xy + y 2 (Första i kvadrat _ plus två gånger första gånger andra _ plus andra i kvadrat ) Uppgift nr 47 [Täljare och nämnare måste vara faktoriserade innan man kan förkorta (här kan x brytas ut i nämnaren). Därefter förkortning med x.] 6 x x (2 + x) 6 (2 + x) x Uppgift nr 48 56x 5 + 2x 3 [Först blir det (56x 5 + 2x 3 ). Parentesen har ett osynligt plustecken framför sig. Den kan tas bort.] Uppgift nr 49 (Faktorisera alla täljare och nämnare. Täljare gånger täljare_ Nämnare gånger nämnare ) 5 (2a - 3) (2a + 3) (2a - 3) (2a + 3) (2a + 3) (2a - 3) (2a - 3) (Förkorta) 5 2a + 3 Uppgift nr 50 (Första gånger första, Första gånger andra... ger först) x + 0x x + 6 Uppgift nr 5 32x + 20xy [Först blir det (32x + 20xy). Parentesen har ett osynligt plustecken framför sig. Den kan tas bort.] Uppgift nr 52 8a 2-25b 2 (Två likadana parenteser men med olika tecken. Konjugatregeln kan användas. Första i kvadrat minus andra i kvadrat.) Uppgift nr 53 - y 2 ( Första i kvadrat minus andra i kvadrat Ordningen mellan parenteserna spelar ingen roll.) Uppgift nr 54 Bryt ut - ur binomet i täljaren 8 - c (-) (c - 8) c - 8 c - 8 Förkorta med (c - 8) - Uppgift nr 55 48x - 40xy [Först blir det (48x - 40xy). Parentesen har ett osynligt plustecken framför sig. Den kan tas bort.] Uppgift nr 56 MGN 36x 36x x 6x + 36x 3 4x + 36x 8 9x + 36x 3 36x 9 8 x x 4 x 8x x 4x 8x + 2x - 4x x -65 x x -2 2 (x -2,5) Uppgift nr 57 (Uttrycket fås tex om a 9 b8 multipliceras. a 2 b 3 a 9 b 8 a9 b8 a 2 b 3 a 2 b 3 a 9-2 b 8-3 ) a 7 b 5 Uppgift nr 58-2xy + y 2 ( Första i kvadrat_ minus två gånger första gånger andra _ plus andra i kvadrat ) Uppgift nr 59 (Bråket a b 6 a förkortas med a till b 6.) b 6 Sid 5

11 Facit - Algebra och rationella uttryck - 20 Uppgift nr 60 Går inte att förenkla. [Termer (plus eller minus emellan) av olika slag (här x 7 - och x 4 -termer) kan inte räknas ihop.] Uppgift nr 6 a (b + 7) [ a b förkortas med b till (b + 7) b ] b + 7 b Uppgift nr 62 (Ett sätt är att förlänga bråket med -.) 4 - a - (-) (4 - a) (-) (-) -4 + a -4 + a a - 4 a - 4 Uppgift nr 63 (pq-formeln ger ) x - (-) 2 ± (- 2 )2 - (-2) x 0,5 ± 0, x 0,5 ± 3,5 A/ x -3 4 B/ (x + 3) (x - 4) 0 C/ (x + 3) (x - 4) Uppgift nr 64 (Täljare och nämnare måste faktoriseras. Varken utbrytning, kvadrerings- eller kunjugatregler fungerar. Tä/Nä sätts lika med noll och motsvarande andragradsekv. löses.) x² - 4x ger rötterna -5 och 9. x² - 5x ger rötterna 9 och -4. Bråket kan skrivas (x + 5) (x - 9) (x - 9) (x + 4) [Förkorta med (x - 9)] x + 5 x + 4 Uppgift nr 65 (Faktorisera alla täljare och nämnare. Vid division inverteras andra bråket (vänds uppochned) så det blir Täljare gånger nämnare_ Nämnare gånger täljare ) (6-5b) (6-5b) (6 + 5b) (6 + 5b) (6 + 5b) (6-5b) 4 (6-5b) (Förkorta) 6 + 5b 4 Uppgift nr 66 (64 - b²) ( Första i kvadrat minus andra i kvadrat ) Typ 3 Uppgift nr 67 64a 2 + 2ab + 49b 2 (Första kvadreringsregeln Första i kvadrat _ plus två gånger första gånger andra _ plus andra i kvadrat ) Uppgift nr 68 ( Kvadrera först parentesen. Andra kvadreringsregeln.) 7x - (9x² - 24x + 6) 7x - 9x² + 24x - 6-9x² + 4x - 6-9x² + 4x - 6 Uppgift nr x x 5 Uppgift nr 70 MGN 6x (Multiplicera ekvationen med MGN) 0 6x 7 6-6x 9 x (Förkorta bort nämnarna) 0 7x x -54-7x x Sid 6