Sidor i boken V.L = 8 H.L. 2+6 = 8 V.L. = H.L.
|
|
- Ebba Lindqvist
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Sidor i boken Andragradsekvationer Dagens tema är ekvationer, speciellt andragradsekvationer. Men först några ord om ekvationer i allmänhet. En ekvation är en likhet som innehåller ett (möjligen flera) obekant tal, betecknade med en bokstav, där x är den absolut vanligaste. En lösning till en ekvation är ett sådant värde på den obekanta som innebär att likheten gäller. En lösning till en ekvation kallas ibland rot. 3x+ = x+6 är en ekvation av första graden, som har lösningen x =. Att x = är en lösning visar man genom att substituera för x. Man säger att man prövar lösningen. V.L. 3 + = 8 H.L. +6 = 8 V.L. = H.L. V.L. står för vänsterledet och H.L. för högerledet. Då båda leden har samma värde, gäller likhet. x = satisfierar eller uppfyller ekvationen. Till skillnad från förstagradsekvationen ovan är detta en ekvation av andra graden. x +x 6 = 0 Normalt lär man sig en formel för att snabbt kunna lösa denna ekvation. Om ekvationen skrivs x +px+q = 0, där p och q är reella tal är lösningen x = p ± (p ) q Bland studenter kallas ofta den här formeln för PQ-formeln. Under denna kurs kommer du att lösa minst 100 andragradsekvationer, så det finns all anledning att bekanta sig med denna formel. Exempel 1. Lös ekvationen x +x 6 = 0 x +x 6 = 0 1 x = 1 ± +6 x = 1 ± 1 x = 1 ± x = 1 ± 5 x 1 = x = Håkan Strömberg 1 KTH STH
2 Rötterna till ekvationen är alltså x = 3 och x =. En andragradsekvation har alltid två rötter. Men ibland är dessa rötter inte reella och kallas då imaginära. Vi ska dock inte befatta oss med imaginära rötter i denna kurs. Någon gång är båda rötterna lika. Man säger då att ekvationen har en dubbelrot. Exempel. Lös ekvationen Ekvationen har en dubbelrot. Exempel 3. Lös ekvationen x 8x+16 = 0 x 8x+16 = 0 x = ± 16 x = ± 0 x 1 = x = x +x+6 = 0 x +x+6 = 0 x = ± ( ) 6 x = ± Den här ekvationen saknar reella rötter. Anledningen till det är att inte är definierad i den matematik som tillhör den här kursen. Exempel. Lös ekvationen 3x 3x 6 = 0 Om koefficienten till x -termen inte är 1 kan man först dividera samtliga termer med denna koefficient. Här får vi då x x = 0 och nu kan vi fortsätta med PQ-formeln och få rötterna x 1 = 1 och x =. Man kan också använda den här, alternativa, formeln då ekvationen är ax + bx+c = 0 och a,b och c är reella tal. x = b± b ac a I vårt exempel får vi Exempel 5. Lös ekvationen x = ( 3)± ( 3) 3 ( 6) 3 x = 3± x = 3±9 6 x 1 = 1 x = x = 81 Här behöver vi dock inga formler. x = 81 har två rötter x 1 = 9 och x = 9, som vi får genom att dra roten ur båda sidorna, upphöja båda sidorna med 1. Observera att formeln fungerar. Det är på grund av att p = 0, som allt blir så enkelt. Problem 1. Lös ekvationen x x 15 = 0 Håkan Strömberg KTH STH
3 Svar: x 1 = 5 och x = 3 x x 15 = 0 x = 1± x = 1± x 1 = 5 x = 3 Problem. Lös ekvationen x +x 3 = 0 Svar: x 1 = och x = 1 13 Problem 3. Lös ekvationen x +x 3 = 0 x = 1 ± (1 ) +3 1 x = 1 ± + 3 x = 1 ± 13 x 1 = x = 1 13 x +3x 1 = 0 x +3x 1 = 0 x + 3 x 1 = 0 x = 3 ± x = 3 ± x = 3 ± x = 3 ± x = 3± 17 x 1 = x = Man kan inte förvänta sig att det alltid är heltalslösningar. Det är ofta tillåtet att använda räknedosan för att få ett approximativt svar. Svar: x och x 1.78 Problem. Lös ekvationen (x 3)(x+) = 0 Först den klumpiga vägen: (x 3)(x+) = 0 x +x 3x 1 = 0 x +x 1 = 0 x 1 = 3 x = Håkan Strömberg 3 KTH STH
4 Sista steget fixar vi med formeln: x = 1 ± (1 ) x = 1 ± x = 1± 1+ 1 x = 1±7 x 1 = 3 x = Den mindre klumpiga vägen. Målet är att finna ett (eller två) värden på x, sådana att dessa, insatta i den ursprungliga ekvationen medför att dess vänstra led blir lika med dess högra. Högra ledet i vår ekvation är 0, alltså vill vi finna värden på x, så att även vänstra ledet blir 0. Studerar vi nu ekvationen innan vi utvecklar parenteserna (x 3)(x + ) = 0 så kan vi få vänstra ledet till 0 genom att välja x = 3 eller x =, där har vi de två rötterna! Problem 5. Lös ekvationerna x x+3 = 0 x +8x 9 = 0 y 3y = 0 t +5t+ = 0 De fyra ekvationerna i denna uppgift kan alla direkt lösas med formeln ovan. Det orkar vi dock inte genomföra här. Istället ska ni förstå att skolan och lärarna i allmänhet är ganska snälla. Detta betyder att det är mer än troligt att en given andragradsekvation har heltalslösningar, det vill säga x 1 och x är heltal. Vad har man nu för nytta av att veta detta? Vi påstår utan att bevisa det att p = x 1 x och q = x 1 x. Efter en del träning kan man se detta ganska enkelt. Vi försöker på de fyra ekvationerna x x+3 = 0 x 1 = 3 x = 1 x +8x 9 = 0 x 1 = 1 x = 9 y 3y = 0 y 1 = 1 y = t +5t+ = 0 t 1 = 1 t = Det gick ju utmärkt, åtminstone för mig. Du får se detta knep som överkurs. Kvadratkomplettering. Ett alternativt sätt att lösa andragradsekvationer är att använda sig av kvadratkomplettering. Vi vet att (x+a) x +ax+a genom första kvadreringsregeln. Om vi nu vill lösa ekvationen (x+) = 9, så är det lätt. Vi drar bara roten ur båda leden. (x+) = 9 (x+) = 9 x+ = ±3 x 1 = 1 x = 5 Men hur är det då att lösa x +x 5 = 0 utan att använda PQ-formeln? Eftersom (x+) = 9 kan utvecklas till x +x 5 = 0 är det ju samma ekvation som förstås har samma rötter. Eftersom (x+) = 9 är enkel att lösa skulle det vara bra om vi kunde skriva om x +x 5 = 0 på den formen! Vi startar med att skriva om ekvationenx +x = 5. Nu gäller det att hitta ett tal a så attx +x+a = 5+a. Vilket värde ska a ha för att vi ska kunna skriva vänstra ledet som (x+a) x +ax+a? Jo, a =. Då får vi x + x + = 5 + eller (x + ) = 9 och vi har kommit fram till den enkla formen som ovan. Håkan Strömberg KTH STH
5 Problem 6. Lös följande ekvationer med kvadratkomplettering a) x 1x+ = 0 b) x 6x 55 = 0 c) x +8x+15 = 0 a) b) c) x 1x+ = 0 x 1x+a = +a x 1x+9 = +9 (x 7) = 5 x 7 = ±5 x 1 = x = 1 x 6x 55 = 0 x 6x+a = 55+a x 6x+9 = 55+9 (x 3) = 6 x 3 = ±8 x 1 = 5 x = 11 x +8x+15 = 0 x +8x+a = 15+a x +8x+16 = (x+) = 1 x+ = ±1 x 1 = 5 x = 3 Problem 7. Givet andragradsekvationen x ax+35 = 0 där x-termens koefficienten är ett okänt reellt tal a. Istället vet man att x 1 = 5. Sök a och den andra roten. Vi startar med att ta reda på a och sätter in x = a+35 = = a a = 60 5 a = 1 Nu har vi ekvationen x 1x+35 = 0 x = 6± x = 6±1 x 1 = 5 x = 7 Håkan Strömberg 5 KTH STH
6 Svar: a = 1 och x = 7 Problem 8. Rötterna till en andragradsekvation är x 1 = och x = 1. Bestäm en ekvation med dessa rötter. (x )(x 1) = 0 Det står helt klart att om x = eller x = 1 är H.L. = V.L.. Alltså är detta en av oändligt många ekvationer som är lösning till denna uppgift. Hur är det då med 711(x )(x 1) = 0? Även den har rötterna x 1 = 1 och x =. Detta är inte lika lätt att se om man ger ekvationen ovan som 711x 1133x +9 = 0. När det är klart har du nött in konsten att lösa andragradsekvationer. Men det skadar inte med några till. En del kanske är lite klurigare... Vi börjar med några förstagradsekvationer Läxa 1. Lös ekvationen x+3 x+5 3x+7+x = 3x+5 3x Läxa. Lös ekvationen 3(x+) (3+x) (3x+) = (x 1) 3(x+3) Läxa 3. Den här uppgiften gavs i realexamen HT (x+) 3 (5+ 3 (x ) ) x = x+ x Klarar du den här klarar du nog de flesta förstagradsekvationer som kommer att dyka upp i den här kursen. Läxa. Lös andragradsekvationen x x 3 = 0 Läxa 5. Lös andragradsekvationen x +x+ = 0 Läxa 6. Lös ekvationen (x+3)(x 5) = 0 Läxa 7. Lös följande ekvationer med hjälp av kvadratkomplettering a) x 1x+30 = 0 b) x 3x = 0 Håkan Strömberg 6 KTH STH
7 Läxa 8. Lös ekvationen 3x +5 x x = x + x+1 x+ Läxa 9. Lös ekvationen 7 x 5 + x+5 = 0 x x 5 Läxa Lösning 1. Svar: x = 10 Läxa Lösning. x+3 x+5 3x+7+x = 3x+5 3x x+15 = = x x = 10 3(x+) (3+x) (3x+) = (x 1) 3(x+3) 3x+6 (1+x) (3x+) = (x ) (3x+9) 3x+6 1 x 3x = x 3x 9 x 8 = x = x x 3 = 3x x = 1 Svar: x = 1 Läxa Lösning 3. Svar: x = 7 Läxa Lösning. 3 (x+) ( (x )) x = x+ x 3x + 3 ( x ) 3 x = x+ x 3x x x+ 3 x = x 3x x x+ 1 x = x 6 3x x+1 1x 1 = x+ x 18x+7 0 6x+1 1x 1 = x+ x 1 = x+ x (x ) = 1(x+) x 176 = 1x+8 3x = x = 3 x = 7 x x 3 = 0 x = 1± 1 +3 x = 1± x 1 = 3 x = 1 Håkan Strömberg 7 KTH STH
8 Svar: x 1 = 3 och x = 1 Läxa Lösning 5. Ekvationen har en dubbelrot. Svar: x 1 = och x = 1 Läxa Lösning 6. x +x+ = 0 x = ± ( ) x = ± 0 x 1 = x = (x+3)(x 5) = 0 Här är det meningen att man direkt ska se att V.L. = 0 då den ena av faktorerna är = 0. Detta inträffar då x = 3 eller x = 5. Inte för något annat värde på x kan V.L. vara = 0. Svar: x 1 = 3 och x = 5 Läxa Lösning 7. a) b) x 1x+30 = 0 x 1x+a = 30+a x 1x+36 = (x 6) = 6 x 6 = ± 6 x 1 = 6+ 6 x = 6 6 Läxa Lösning 8. x 3x = 0 x 3x+a = +a x 3x+ 9 = + 9 (x 3 ) = + 9 x 3 = ± 5 x 1 = x = x +5 x x = x + x+1 x+ 3x x x x+x+x+5 1 = 0 Svar: x 1 = och x = 1 x x = 0 1 x = 1 ± + x = 1 ± x = 1 ± 3 x 1 = x = 1 Håkan Strömberg 8 KTH STH
9 Läxa Lösning 9. När man vet att (x 5) = (x 5)(x +5) är det lämpligt att multiplicera båda led med (x 5)(x+5) (x 5)(x+5) ( 7 7(x 5)(x+5) x 5 7 x 5 + x+5 = 0 x x 5 x 5 + x+5 ) = (x 5)(x+5) ( 0 x x 5 + (x 5)(x+5) x+5 = (x 5)(x+5)(0 x) x 5 7(x+5)+(x 5) = 0 x 7x+35+x 10 = 0 x 7x+x+x = x = 15 x = x = 3 ) Svar: x = 3 Bokstavsräkning Algebra Du står nu inför en ny kurs i matematik, där meningen är att du ska tillgodogöra dig nya teorier, som samtliga leder fram till övningar och uppgifter. Även om du förstått vad teorin ska användas till och hur den ska tillämpas, är det inte säkert att dina lösningar leder fram till ett korrekt svar. Ofta beror detta på att du inte är speciellt vältränad på att hantera de uttryck, som du satt upp på papperet. Du är inte tillräckligt säker på hur du förenklar ett algebraiskt uttryck eller löser en ekvation. Denna färdighet är inte direkt kopplad till matematik, vad avser abstraktionsförmåga och problemlösning. Därför måste det vara speciellt tråkigt och frustrerande att snubbla på tröskeln och inte lyckats visa, att man egentligen förstått vad man håller på med. Med hjälp av de lösta och väl kommenterade uppgifter som finns här, är det tänkt att du ska finslipa din förmåga att räkna med bokstäver. Det är tillåtet att tycka att detta är en tråkig disciplin, men tänk då på hur mycket glädje du kan få ut av några timmars tråkig träning. Att verkligen kunna visa att man förstått ett avsnitt i matematiken genom att lösa tillhörande uppgifter. Jämför det gärna med sport. Styrke- och konditionsträning hör inte till det det roligaste, men är nödvändiga inslag, för att nå toppen i många grenar. Det torde vara omöjligt att förvärva denna färdighet utan träning. Tidigare generationer, som bland andra dina lärare tillhör, har räknat sida upp och sida ned med denna typ av förenklingsuppgifter. Läs först igenom de regler och knep som presenteras här nedan. De utgör de kunskaper du behöver för att lösa de 30 uppgifterna. Varje uppgift går ut på att förenkla ett algebraiskt uttryck, så långt det går och det går här alltid väldigt långt. Ofta är svaret ett heltal eller en enda bokstav. Se detta som en ledtråd, som inte kan sägas gälla för uttryck i allmänhet. Lös en uppgift i taget och kontrollera sedan ditt svar i den kommenterade lösningen. Även om du lyckats få rätt svar, kan det vara idé att titta igenom lösningen. Är din lösning likadan, Håkan Strömberg 9 KTH STH
10 smartare eller för omständlig? Om du misslyckades i ditt första försök är det viktigt att du får med dig något från lösningen, som du kan använda i kommande uppgifter. Studera därför lösningen noga och är du ambitiös kan du försöka att lösa den igen, en annan dag. Mycket, när det gäller bokstavsräkning, är resultat av noggrannhet och god administrationsförmåga. Egenskaper man kan ha nytta av inom andra områden. Uppgifterna här anses svåra och när du känner att du behärskar dem väl, kan du känna dig trygg. Regler och knep vid bokstavsräkning I När man avlägsnar parenteserna i uttrycket (a+b) (a+b+c) (a b c) kommer termerna i en parentes, som föregås av ett minustecken att ändra tecken (a+b) (a+b+c) (a b c) a+b a b c a+b+c b II För att förenkla uttrycket 3(a b) (b a)+5(b+a) multiplicerar man in konstanten i parentesen. Denna lag kallas den distributiva lagen, a(x+y) = ax+ay. 3(a b) (b a)+5(b+a) 3a 3b b+a+5b+5a 10a III När vi stöter på ett uttryck liknande (a+b)(b c) tvingas vi ofta att multiplicera samman dessa parenteser till (a+b)(b c) ab ac+b bc Detta är inget annat än distributiva lagen i en annan skepnad, (a+b)(c+d) = (a+b)c+(a+b)d Antalet termer i de två parenteserna kan var godtyckligt stort. Om till exempel den ena parentesen innehåller 3 termer och den andra, kommer multiplikationen att ge 3 = 1 termer (innan eventuell sammanslagning). IV Speciellt stöter vi ofta på uttrycken Första kvadreringsregeln Andra kvadreringsregeln (a+b) a +b +ab (a b) a +b ab som man bör kunna använda i båda riktningar. Det vill säga det är lika viktigt att kunna se att som att snabbt kunna utveckla Det kan vara bra att känna till även x 0xy+5y (x 5y) (10a+7b) 100a +10ab+9b (a+b) 3 a 3 +3a b+3ab +b 3 (a+b) a +a 3 b+6a b +ab 3 +b Dessa formler blir mindre komplicerade då man känner till binomialkoefficienter och Pascals triangel. Håkan Strömberg 10 KTH STH
11 V Konjugatregeln (a b)(a + b) = a b ska kunna användas i båda riktningar. Man ska snabbt kunna se, att (x 7)(x+7) kan skrivas lika väl som att kan skrivas (x 7)(x+7) 16x 9 100a 6b 100a 6b (10a+8b)(10a 8b) VI Ser man i detta uttryck inte, att man kan bryta ut 9 i täljaren och 3 nämnaren 18x+9 6x+3 9(x+1) 3(x+1) = 3 kan man inte komma vidare. Detta är att använda distributiva lagen bakvägen. Även detta är ett exempel på att bryta ut: a(b+1)+c(b+1) a+c (b+1)(a+c) a+c b+1 VII Bryter vi ut ( 1) ur parentesen (a b) får vi ( 1)(b a). Detta är ett vanligt återkommande knep som till exempel i uppgiften a b b a (a b) ( 1)(a b)) 1 VIII Att förlänga ett bråk är samma sak som att multiplicera täljare och nämnare med samma uttryck ( 0). Dessa bråk är alla ekvivalenta: 1 (a+b) (a+b) x3 x 3 (a+b)(x+y) (a+b)(x+y) IX Addition av bråk. För att kunna skriva dessa termer på samma bråk, måste man först göra liknämnigt: 1 a + b b 1 b a + a a b b+a ab ab är den minsta gemensamma nämnaren för de två termerna. Det är inget absolut krav att man hittar den minsta gemensamma nämnaren, även om det i praktiken leder till mindre räknande. I detta exempel är (a b)(a+b) minsta gemensamma nämnaren 1 a+b + a b + 3 a b När vi skriver de tre termerna på samma bråkstreck får vi (a b)++3(a+b) (a b)(a+b) Håkan Strömberg 11 KTH STH
12 X Division av bråk. En regel som ofta används är: Division av två bråk är samma sak, som att multiplicera täljaren med det den inverterade nämnaren. Att invertera ett bråk är att byta plats på täljare och nämnare. Alltså a a+b a (a+b) a a+b (a+b) a a+b Vi har här ett dubbelbråk. Vi skriver om huvudbråkets täljare. Inverterar bråket i nämnaren och multiplicerar med täljaren. För dessa tre uppgifter gäller det att förenkla så långt möjligt. Problem 9. (a+5)(8a+18) (a+16)(a+3) (a+5)(8a+18) (a+16)(a+3) 1 16a +36a+0a+90 (16a +1a+6a+0) 16a +36a+0a+90 16a 1a 6a 0) 3 76a+9 76a 8 Vi inleder med att multiplicera samman de två paren av parenteser (1). Eftersom det finns ett minustecken framför det andra paret, tar vi det försiktigt och behåller först parenteserna (1). När vi sedan tar bort dem, kommer samtliga termer inuti parentesen att byta tecken (). Återstår att slå samman termer som hör ihop (3). Svar: Problem 10. (3a+8) +(a 6) (5a+7)(5a 7) (3a+8) +(a 6) (5a+7)(5a 7) 1 9a +6+8a+16a +36 8a (5a 9) 9a +6+8a+16a +36 8a 5a I tur och ordning använder vi här första kvadreringsregeln, andra kvadreringsregeln, och konjugatregeln (1). När vi slår samman de åtta termerna är det bara de konstanta som inte tar ut varandra (). Svar: 19 Håkan Strömberg 1 KTH STH
13 Problem 11. (3a a+1) (3a a) +a(1 3a) (3a a+1) (3a a) +a(1 3a) 1 (9a 3a 3 +3a 3a 3 +a a+3a a+1) (9a 6a 3 +a )+(a 6a ) 9a 3a 3 +3a 3a 3 +a a+3a a+1 9a +6a 3 a +a 6a 3 9a 9a 3a 3 3a 3 +6a 3 +3a +a a +3a 6a a a+a+1 1 När den första parentesen kvadreras får vi före sammanslagning 9 termer. I den andra använder vi andra kvadreringsregeln (1). För att se hur de olika typerna av termer tar ut varandra sorterar vi dem efter exponentens storlek och ser att nästan alla tar ut varandra (3) Svar: 1. Problem 1. a(b+c) d(b+c) (d a)(b+c) a(b+c) d(b+c) (a d)(b+c) 1 (b+c)(a d) (d a)(b+c) ( 1)(b+c)(a d) ( 1)(d a)(b+c) 3 (b+c)(a d) (a d)(b+c) 1 Vi inleder med att bryta ut (b+c) i täljaren (1). Täljare och nämnare är lika, så när som på (a d) i täljaren och (d a) i nämnaren (1). Om vi utför multiplikationen ( 1)(d a) övergår parentesen till (a d). Detta kan vi åstadkomma genom att förlänga bråket med ( 1) (). 1 i täljaren kan lika väl skrivas framför bråket (3). Vi kan nu förkorta båda parenteserna och kvar blir Svar: 1. Håkan Strömberg 13 KTH STH
Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer
Sidor i boken -3, 70-73 Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer Rotekvationer Med en rotekvation menas en ekvation, i vilken den obekanta förekommer under ett rotmärke. Observera att betecknar
Läs merLektionsanteckningar. för kursen Matematik I:1
Lektionsanteckningar för kursen Matematik I: 5 0 5 4 4 6 5 0 till mina studenter i TBASA-AV VT05 Håkan Strömberg TBASA-GH4 Planering i matematik I: P 4/5 Lärare: Niclas Hjelm niclas.hjelm@sth.kth.se 08-790
Läs merSidor i boken
Sidor i boken 0- Dagens mängdträning gäller ekvationer. Med den algebraträning vi nu har i ryggen bör även de mest komplicerade ekvationerna gå att reda ut. Tillsammans med övningarna i föreläsning 6 täcker
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna
Läs merAlgebra och rationella uttryck
Algebra och rationella uttryck - 20 Uppgift nr Förenkla x0 y 6 z 5 25 y 2 Uppgift nr 2 Uppgift nr 3 ab b 5a - a² 9a där a 0. där b 0. Uppgift nr 4 Multiplicera in i parentesen 2x(4 + 2x 3 ) Uppgift nr
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs merTalmängder. Målet med första föreläsningen:
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, 1.. 1..5, 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning 1.6-1.1 Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt
Läs merMoment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.
Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n
Läs merTalmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5 Viktiga exempel 1., 1.4, 1.8 Övningsuppgifter I 1.7, 1.8, 1.9 Extrauppgifter 1,,, 4 Den teori och de exempel, som kommer att presenteras här, är normalt vad jag kommer att
Läs merSidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom
Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett
Läs mer1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal
Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Övningsuppgifter.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Ett polynom vilket som helst kan skrivas
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför
Läs merKomposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.
Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln
Läs merRepetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013
Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter
Läs merIntroduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt
KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 1.1Introduktion Introduktion Avsnitt 1 handlar till att börja med om hantering av bråkstreck. Samtidigt ges exempel och övningar
Läs merAndragradsekvationer. + px + q = 0. = 3x 7 7 3x + 7 = 0. q = 7
Andragradsekvationer Tid: 70 minuter Hjälpmedel: Formelblad. Alla andragradsekvationer kan skrivas på formen Vilket värde har q i ekvationen x = 3x 7? + E Korrekt svar. B (q = 7) x + px + q = 0 (/0/0)
Läs mersanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är
PASS 7. EKVATIONSLÖSNING 7. Grundbegrepp om ekvationer En ekvation säger att två matematiska uttryck är lika stora. Ekvationen har alltså ett likhetstecken och två deluttryck på var sin sida om likhetstecknet.
Läs merRepetitionsuppgifter inför Matematik 1-973G10. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter inför Matematik - 7G0 Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 4 Facit Repetitionsuppgifter inför
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim 22 augusti 2018 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför Q
Läs merFöreläsning 3: Ekvationer och olikheter
Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter En ekvation är en likhet som innehåller en flera obekanta storheter. Exempel: x = 9, x är okänd. t + t + 1 = 7, t är okänd. Vi säger att ett värde på den obekanta
Läs merKOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................
Läs mer4 Fler deriveringsregler
4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x
Läs mer8-3 Kvadreringsreglerna och konjugatregeln. Namn:
8-3 Kvadreringsreglerna och konjugatregeln. Namn: Inledning I kapitlet med matematiska uttryck lärde du dig hur man förenklade ett uttryck med en faktor framför en parentes genom att multiplicera varje
Läs merAlgebra, exponentialekvationer och logaritmer
Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen
Läs merAlgebra, kvadreringsregler och konjugatregeln
Algebra, kvadreringsregler och Uppgift nr 1 Multiplicera in i parentesen x(9 + 2y) Uppgift nr 2 Multiplicera in i parentesen 3x(7 + 5y) Uppgift nr 3 x² + 3x Uppgift nr 4 xy + yz Uppgift nr 5 5yz + 2xy
Läs merAvsnitt 1, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 1:1 1:1 Kvadratkomplettering Avsnitt 1, introduktion. Det här är en viktig teknik som måste tränas in. Poängen med kvadratkomplettering är att man direkt kan se om andragradsfunktionen
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Handräkning.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Datorräkning.6-.3 Ett polynom vilket som helst
Läs merSidor i boken Figur 1: Sträckor
Sidor i boken 37-39 Vektorer Det vi ska studera här är bara en liten del av den teori du kommer att stifta bekantskap med i dina fortsatta studier i kursen Linjär algebra. Många av de objekt man arbetar
Läs merLösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.
1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer
Läs merAvsnitt 2, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 2:1 2:1 Bråkstreck Avsnitt 2, introduktion. Gemensamt bråkstreck. Två fall: Ingen gemensam faktor i nämnarna (Ex: ) Se Exempel 1 Gemensam faktor i nämnarna (Ex: ) Se Exempel
Läs merPASS 2. POTENSRÄKNING. 2.1 Definition av en potens
PASS. POTENSRÄKNING.1 Definition av en potens Typiskt för matematik är ett kort, lätt och vackert framställningssätt. Den upprepade additionen går att skriva kortare i formen där anger antalet upprepade
Läs merLinjära ekvationssystem
Sidor i boken KB 7-15 Linjära ekvationssystem Exempel 1. Kalle och Pelle har tillsammans 00 kulor. Pelle har dubbelt så många som Kalle. Hur många kulor har var och en? Lösning: Antag att Kalle har x kulor.
Läs merTrigonometri. Sidor i boken 26-34
Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man
Läs merlim 1 x 2 lim lim x x2 = lim
Moment 8.-8. Viktiga eempel 8.,8.4-6,8.8,8.-,8.5,8.0 Övningsuppgifter Ö8.a, Ö8.cdef,Ö8.a,e,f, Ö8.4cde, Ö8.5d, Ö8.0- Gränsvärden Definition. Funktionen f har gränsvärdet G då går mot om vi kan få f) att
Läs merRepetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter
Läs merMatematik för sjöingenjörsprogrammet
Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll Ekvationer 1.1 Förstagradsekvationer.......................... 5.1.1 Övningar............................ 6. Andragradsekvationer..........................
Läs merÖvning log, algebra, potenser med mera
Övning log, algebra, potenser med mera Uppgift nr 1 Förenkla uttrycket x 3 + x 3 + x 3 + x 3 + x 3 Uppgift nr 2 Förenkla x x x+x x x Uppgift nr 3 Skriv på enklaste sätt x 2 x x x 8 x x x Uppgift nr 4 Förenkla
Läs merx2 6x x2 6x + 14 x (x2 2x + 4)
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Måndagen den 5:e november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. För vilka reella tal x gäller olikheten x 6x + 14? Lösningsalternativ 1: Den
Läs merEkvationer och olikheter
Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När
Läs merBlock 1 - Mängder och tal
Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Delmängder och äkta delmängder Union och snittmängd Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av
Läs merLÖSNINGAR TILL ÖVNINGAR I FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.
LÖSNINGAR TILL ÖVNINGAR I FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. Detta material är en utskrift av delar av det webbaserade innehållet i wiki.math.se/wikis/forberedandematte
Läs merger rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0.
KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 2.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 2 handlar om den enklaste typen av algebraiska uttryck, polynomen. Eftersom polynom i princip
Läs merÖvningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal)
LMA110 VT008 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal (och negativa tal) Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal och att fundera på några begreppsliga svårigheter som negativa
Läs merÖvningshäfte 2: Komplexa tal
LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet
Läs merFör att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 10) skrivs dessa
Avsnitt Olika typer av tal För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 0) skrivs dessa 0,,2,3,...,9,0,,... Samma naturliga tal
Läs merBlock 1 - Mängder och tal
Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av talen i R Intervall Absolutbelopp Olikheter 1 Prepkursen
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs merRepetition av matematik inför kurs i statistik 1-10 p.
Karlstads universitet Leif Ruckman Summasymbolen. Repetition av matematik inför kurs i statistik 1-10 p. I stället för att skriva en lång instruktion att vissa värden skall summeras brukar man använda
Läs merRepetition ekvationer - Matematik 1
Repetition ekvationer - Matematik 1 Uppgift nr 1 I en 2-barnsfamilj är alla tillsammans 107 år. Sonen är 7 år yngre än dottern. Mamman är 4 år äldre än pappan. Pappan är 4 gånger äldre än dottern. Hur
Läs merNär vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1
Lathund inför tentan När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort Ekvationer Ekvationer av första och andra graden kommer alltid att kunna
Läs merSammanfattningar Matematikboken Y
Sammanfattningar Matematikboken Y KAPitel 1 TAL OCH RÄKNING Numeriska uttryck När man beräknar ett numeriskt uttryck utförs multiplikation och division före addition och subtraktion. Om uttrycket innehåller
Läs merx = som är resultatet av en omskrivning av ett ekvationssystemet som ursprungligen kunde ha varit 2x y+z = 3 2z y = 4 11x 3y = 5 Vi får y z
Ett nytt försök med att ta fram inversen till en matris Innan vi startar med att bestämma inversen till en matris måste vi veta varför vi skulle kunna behöva den. Vi har A x b som är resultatet av en omskrivning
Läs merMoment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61
Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska
Läs merAllmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0
Allmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0 Lars Johansson 0 april 017 Vi vet hur man med rotutdragning löser en andragradsekvation med reella koecienter: x + px + 0 1) Men hur gör man för att göra
Läs mervilket är intervallet (0, ).
Inledande kurs i matematik, avsnitt P. P..3 Lös olikheten 2x > 4 och uttryck lösningen som ett intervall eller en union av intervall. P..7 Lös olikheten 3(2 x) < 2(3 + x), Multiplicera båda led med 2.
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.
Läs merPASS 4. POLYNOM, MINNESREGLERNA. 4.1 Kvadreringsreglerna. Kvadraten på en summa
PASS 4. POLYNOM, MINNESREGLERNA 4.1 Kvadreringsreglerna Kvadraten på en summa Den finländska modellfamiljen med mamma, pappa och två barn äger ett kvadratformat hus. Här nedan i figur 4 har vi en planritning
Läs merFormelhantering Formeln v = s t
Sidor i boken KB 6-8 Formelhantering Formeln v = s t där v står för hastighet, s för sträcka och t för tid, är långt ifrån en nyhet. Det är heller ingen nyhet att samma formel kan skrivas s = v t eller
Läs merAlgebraiska räkningar
Kapitel 1 Algebraiska räkningar 1.1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller bl.a. följande enkla räkneregler, som man väl använder utan att speciellt tänka på dem:
Läs mera), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1.
PASS 9. OLIKHETER 9. Grundbegrepp om olikheter Vi får olikheter av ekvationer om vi byter ut likhetstecknet mot något av tecknen > (större än), (större än eller lika med), < (mindre än) eller (mindre än
Läs merKS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y
KS övning 1 Problem 1. Beräkna 48 1 3 Problem 2. Förenkla 6 1 3 (x 1 3 y 1 3 )(x 2 3 +x 1 3 y 1 3 +y 2 3 ) Problem 3. I ABC är AB = 15 cm och AC = 12 cm. En rät linje parallell med BC träffar AB i D och
Läs mera = a a a a a a ± ± ± ±500
4.1 Felanalys Vill man hårddra det hela, kan man påstå att det inte finns några tal i den tillämpade matematiken, bara intervall. Man anger till exempel inte ett uppmätt värde till 134.78 meter utan att
Läs merDOP-matematik Copyright Tord Persson Övning Bråkräkning. Matematik 1. Uppgift nr 14 Addera 9. Uppgift nr 15 Addera 3. Uppgift nr 16 Subtrahera 6 7-1 7
Övning Bråkräkning Uppgift nr 1 Vilket av bråken 1 och 1 är Uppgift nr Vilket av bråken 1 och 1 är Uppgift nr Skriv ett annat bråk, som är lika stort som bråket 1. Uppgift nr Förläng bråket med Uppgift
Läs merRepetitionskurs i. elementär algebra, matematik. för DAI1 och EI1 ht 2014
Repetitionskurs i elementär algebra, matematik för DAI och EI ht 04 Chalmers Tekniska Högskola Reimond Emanuelsson II August 5, 04 Förord Detta kompendium är tänkt som en repetition av elementär algebra
Läs merRöd kurs. Multiplicera in i parenteser. Mål: Matteord. Exempel. 1 a) 4(x- 5) b) 5(3 + x) 3 Om 3(a + 4) = 36, vad är då 62 2 FUNKTIONER OCH ALGEBRA
Röd kurs Mål: I den här kursen får du lära dig att: ~ multiplicera parenteser ~ använda kvadreringsregler ~ använda konjugatregeln ~ uttrycka formler på olika sätt Matteord första kvadreringsregeln andra
Läs merf (x) = 8x 3 3x Men hur är det när exponenterna inte är heltal eller är negativ, som till exempel g(x) = x h (x) = n x n 1
Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: Derivatan blir: f(x) = x 4 x + x + 8 f (x) = 8x x + Men hur
Läs mer= a) 12 b) -1 c) 1 d) -12 [attachment:1]räkneoperation lektion 1.odt[/attachment] = a) 0 b) 2 c) 2 d) 1
Lektion. + 8= 0 0. := 0 0. : = 8. : ( )= 8. 0/0 = 8. +(+ ) = 8. + = 0 8. ( )+0= 0 8. 8/ = - 0 8 0 0. = - - [attachment:]räkneoperation lektion.odt[/attachment]. = 0. /( )= - -. ( )= 0. 0 (0 0: )+ = 0.
Läs merpolynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner
Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,
Läs merUppfriskande Sommarmatematik
Uppfriskande Sommarmatematik Matematiklärarna på Bäckängsgymnasiet genom Johan Espenberg juni 206 Välkommen till Naturvetenskapsprogrammet GRATTIS till din plats på Naturvetenskapsprogrammet på Bäckängsgymnasiet!
Läs merUppföljning av diagnostiskt prov HT-2016
Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri
Läs merExplorativ övning 7 KOMPLEXA TAL
Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet då man försökte lösa kvadratiska
Läs merMoment 6.1, 6.2 Viktiga exempel Övningsuppgifter T6.1-T6.6
Moment 6., 6. Viktiga exempel 6.-6. Övningsuppgifter T6.-T6.6 Matriser Definition. En matris är ett schema med m rader och n kolonner eller kolumner, som vi kallar dem i datalogin innehållande m n element.
Läs merFöreläsning 1 5 = 10. alternativt
Föreläsning 1 101 a) Beräkna 5 + ( 8) = ( ) Kommentar: Vi använder parenteser för att förtydliga negativa tal, här ( 8) och ( ). 101 b) Beräkna 9 16 = 5 Kommentar: Egentligen borde man skriva 9 som ( 9),
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a
Moment 5.1-5.5 Viktiga exempel 5.1-5.10 Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Kvadratiska linjära ekvationssystem Vi startar vår utredning med det vi känner bäst till, ekvationssystem
Läs mer1, 2, 3, 4, 5, 6,...
Dagens nyhet handlar om talföljder, ändliga och oändliga. Talföljden 1,, 3, 4, 5, 6,... är det första vi, som barn, lär oss om matematik över huvud taget. Så småningom lär vi oss att denna talföljd inte
Läs merRepetition inför tentamen
Sidor i boken Repetition inför tentamen Läxa 1. Givet en rätvinklig triangel ACD, där AD = 10 cm, AB = 40 cm och BC = 180 cm. Beräkna vinkeln BDC. Läxa. Beräkna omkretsen av ABC, där BE = 4 cm, EA = 8
Läs mer29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den 3 november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1 a) Lös den diofantiska ekvationen 9x + 11y 00 b) Ange alla lösningar x, y) sådana
Läs merKomplexa tal: Begrepp och definitioner
UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,
Läs mer1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +
Läs merPolynomekvationer (Algebraiska ekvationer)
Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Faktorsatsen 1. Pettersson: teori och exempel på sid. 21-22 Det intressanta är följande idé: Om man på något sätt (Vilket det är en annan fråga, se nedan!) har
Läs merÖvningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer
LMA100 VT2005 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med
Läs merÖvningshäfte 6: 2. Alla formler är inte oberoende av varandra. Försök att härleda ett par av de formler du fann ur några av de övriga.
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2005 MATEMATISK BASKURS Övningshäfte 6: Syftet med övningen är att utforska strukturen hos talsystemen under addition respektive multiplikation samt sambandet
Läs merEkvationer och system av ekvationer
Modul: Undervisa matematik utifrån problemlösning Del 4. Strategier Ekvationer och system av ekvationer Paul Vaderlind, Stockholms universitet Ekvationslösning är ett av de viktiga målen i skolmatematiken.
Läs merFunktioner. Räta linjen
Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter
Läs merNotera att tecknet < ändras till > när vi multiplicerar ( eller delar) en olikhet med ett negativt tal.
OLIKHETER Egenskaper:.Om a < b då gäller a+ c < b +c. Om a < b < c då gäller a+d < b+d < c+d. Om a < b och k > 0 då gäller ka < kb. 4. Om a < b och k < 0 då gäller ka > kb. Notera att tecknet < ändras
Läs merTATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal
TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal Johan Thim 22 augusti 2018 1 Komplexa tal Definition. Det imaginära talet i uppfyller att i 2 = 1. Detta är alltså ett tal vars kvadrat är negativ. Det kan således aldrig
Läs merLathund algebra och funktioner åk 9
Lathund algebra och funktioner åk 9 För att bli en rackare på att lösa ekvationer är det viktigt att man kan sina förutsättningar, dvs vilka matematiska regler som gäller. Prioriteringsreglerna (vilken
Läs merLösa ekvationer på olika sätt
Lösa ekvationer på olika sätt I denna aktivitet ska titta närmare på hur man kan lösa ekvationer på olika sätt. I kurserna lär du dig att lösa första- och andragradsekvationer exakt med algebraiska metoder.
Läs mery y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x
Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för
Läs merFÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1
FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1 Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet Ger studiepoäng Kostnadsfritt Fortlöpande anmälan på wwwmathse Eftertryck förbjudet utan tillåtelse 2007 MATHSE
Läs merUtdrag ur Sommarmatte
Utdrag ur Sommarmatte Matematiska Vetenskaper 21 augusti 2008 Innehåll 1 Aritmetik och Algebra 3 1.1 Räkning med naturliga tal och heltal.................. 3 1.1.1 Naturliga tal..........................
Läs merx+2y+3z = 14 x 3y+z = 2 3x+2y 4z = 5
Uppgifter med linjära ekvationssystem Tips för att lösa linjära ekvationssystem Då systemet saknar parametrar ställer man direkt upp totalmatrisen. Detta är endast av administrativa skäl, blir mer lättöverskådligt.
Läs merMoment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34. Planet Ett plan i rummet är bestämt då
Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34 Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella riktningar, v 1 och v 2, och en punkt P 1 i planet är givna.
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära
Läs merKombinatorik. Författarna och Bokförlaget Borken, 2011. Kombinatorik - 1
Kombinatorik Teori Multiplikationsprincipen..2 Teori Permutationer 3 Teori Kombinationer...5 Modell Dragning utan återläggning & sannolikheter 8 Teori Duvslageprincipen 11 Teori Pascals triangel & Mosertal...13
Läs merFÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.
FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. Detta material är en utskrift av det webbaserade innehållet i wiki.math.se/wikis/forberedandematte Studiematerialet
Läs merGausselimination fungerar alltid, till skillnad från mer speciella metoder.
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM, GAUSSELIMINATION. MATRISER. Läs avsnitten 4.-4.. Lös övningarna 4.ace, 4.2acef, 4., 4.5-4.7, 4.9b, 4. och 4.abcfi. Läsanvisningar Avsnitt 4. Det här avsnittet handlar om Gauss-elimination,
Läs mer