Röd kurs. Multiplicera in i parenteser. Mål: Matteord. Exempel. 1 a) 4(x- 5) b) 5(3 + x) 3 Om 3(a + 4) = 36, vad är då 62 2 FUNKTIONER OCH ALGEBRA

Transkript

1 Röd kurs Mål: I den här kursen får du lära dig att: ~ multiplicera parenteser ~ använda kvadreringsregler ~ använda konjugatregeln ~ uttrycka formler på olika sätt Matteord första kvadreringsregeln andra kvadreringsregeln konjugatregeln Multiplicera in i parenteser En rektangel har sidorna a och (b + c). Skriv ett uttryck för rektangelns area. (b -:-el e Arean = a(b + c) = + ac Parentesen kan tas bort om talet eller variabeln multipliceras in i parentesen. + e ~ a(b + c) = a(b + c) = ab + ac ~ a(b - c) = a(b - c) = ab - ac 5(3 - a) = a = 15 - Sa Multiplicera in och skriv utan parentes 1 a) 4(x- 5) b) 5(3 + x) c) 12(3x + 2) d)a(6-a) 2 a) 2a(3 + 4a) b) 7a(4a - 6) c) 5a(a + b) d) 6y(3x - 4y) 3 Om 3(a + 4) = 36, vad är då a) 3a + 12 b) a + 4 c) a d) 9(a + 4) 62 2 FUNKTIONER OCH ALGEBRA

2 Multiplikation av parentesuttryck Två parentesuttryck (a + b) och (c + d) multipliceras med varandra. Vi kan visa multiplikationen av arean aven rektangel. " med hjälp Rektangelns area kan tecknas på två olika sätt. Arean: (a + b) (c + d) = ac + ad + be + bd Hela rektangeln = summan av delrektanglarna ~ I I (a + b). (c + el) = oc + ad + be + bd l ~ '~ kw!!t4ca$ig ffi Wt MU; l'kji{ a) Skriv uttrycket utan parenteser. I e (a + b) { '--_:_:_---'-_:_:-----' : (x + 2)(y + 4) = x y + x Y = xy + 4x + 2y + 8 b) Skriv utan parenteser och förenkla så långt som möjligt. (2x - y)(x - 3y) = 2x' x + 2x' (-3y) + (-y). x + (-y). (-3y) = = 2x 2-6xy - xy + 3/ = 2x 2-7xy + 3/ (e +el) d Multiplicera och skriv uttrycken utan parenteser. 4 a) (x+4)(y+5) b) (a + 3)(2 + b) c) (7+a)(4-x) 5 a) (2x+ 3)(2y-4) b) (4a+6)(5b-2) c) (x-l)(y-9) 6 a) (a-5)(b-4) b) (3 -x)(y + 5) c) (6-a)(8-b) Skriv utan parenteser och förenkla så långt som möjligt. 7 a) (2x + y)(2y - x) b) (4a + b)(5b - 2a) c) (x-l)(x-9) 8 a) (x+y)(x-y) b) (4+a)(4-a) c) (x+l)(x-l) 9 a) (x + y)z b) (a + b)2 c) (a- b)z 2 FUNKTIONER OCH ALGEBRA 63

3 Kvadreringsreg lerna När man multiplicerar två likadana parenteser med varandra kan man använda första och andra kvadreringsregeln. Första kvadreringsregeln (a + b)2 = (a + b) (a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 "första termen i kvadrat + dubbla produkten + andra termen i kvadrat" Andra kvadreringsregeln (a - b)2 = (a - b)(a - b) = a 2 - ab - ab + b 2 = a 2-2ab + b 2 "första termen i kvadrat - dubbla produkten + andra termen i kvadrat" Första kvadreringsregeln (o + b)2 = b + '1 2 Andra kvadreringsregeln (o - b)2 = b + b 2 ~ (x + 6)2 = xl + 2. x = xl + 12x + 36 (3a - 4b)2 = 3a. 3a - 2 3a. 4b + 4b. 4b = 9a 2-24ab + 16b 2 10 Använd kvadreringsreglerna och avgör vad som ska stå i rutan. a) (x + 3y)2 = x 2 + []xy + 9y b) (2a - b)2 = 4a b 2 Använd kvadreringsreglerna när du multiplicerar och skriver utan parentes. 11 a) (x + 9)2 b) (x-s)2 c) (12 + a)2 12 a) (3x - 2)2 b) (2x+3y)2 c) (3a-5b)2 13 Skriv ett så enkelt uttryck som möjligt för arean av a) det blåa området b) det vita området d) (4a + 5)2 d) (0,5 + 3x)2 o: ( a )~ 14 a) Skriv ett så enkelt uttryck som möjligt för arean av det blåa området. b) Om den blå kvadratens sida kallas för c kan figuren användas för att bevisa Pythagoras sats. Förklara FUNKTIONER OCH ALGEBRA

4 Konjugatregeln (a + b)(a - b)= a 2 - ab + ab - b 2 = a 2 - b 2 "första termen i kvadrat - andra termen i kvadrat" (3x + 5)(3x - 5) = (3x)2-52 = 9x 2-25 Konjugatregeln (a + b)(a - b) = a 2 - b 2 Andra termen i kvadrat 15 Använd konjugatregeln och skriv vad som ska stå i rutan. a) (x + 4)(x- 4) = xl -O b) (Sa + 2)(5a- 2) = 0-4. Använd konjugatregeln när du multiplicerar och skriver uttrycken utan parenteser. 16 a) (a + 1)(a-1) b) (3x-4)(3x+4) c) (6x + 3) (6x - 3) 17 a) (5+a)(a-5) b) (2x-3)(3 + 2x) c) (10y + 8x)(8x - 10y) = (50-1)(50 + 1) = l = = (100-3)( ) = = Använd konjugatregeln och bli bättre på huvudräkning. Beräkna 18 a) a) b) c) b) c) Ta tre på varandra följande tal, t.ex. 12, 13 och 14. Om man beräknar differensen mellan kvadraten på det mellersta talet och produkten av det minsta och det största talet får man = 1. Pröva på samma sätt med tre andra tal som följer på varann. Blir det samma svar? 21 Kalla talen för (a -1), a och (a + 1) och visa att regeln i uppgift 20 stämmer för alla a. 2 FUNKTIONER OCH ALGEBRA 65

5 Pythagoras sats och kvadreringsregler I en rätvinklig triangel är längden av hypotenusan en av kateterna 8 cm. Den andra kateten är 6 cm. Hur långa är triangelns sidor? Kalla längden aven katet för x. Då blir hypotenusan (8 - x) cm. Pythagoras sats ger: x~ x = (8 - X)2 xl = x x och 6 x = 64 + x 2-16x. 36 = 64-16x 16x = 28 x = 28 "" ' Hypotenusans längd: 8 - x = 8-1,8 = 6,2 Svar: Sidorna är 1,8 cm och 6,2 cm. 22 I en rätvinklig triangel är längden av hypotenusan och en av kateterna 25 cm. Den andra kateten är 5 cm. Hur långa är triangelns sidor? 23 I en rätvinklig triangel är en av kateterna 12 cm. Hypotenusan är 10 cm längre än den andra kateten. Beräkna triangelns area. 24 En rätvinklig triangel har omkretsen 14 cm. En av kateterna är 6 cm. Hur långa är de övriga sidorna i triangeln? 25 Beräkna triangelns area. a) (cm) (x+ 8) FUNKTIONER OCH ALGEBRA

6 Samma formel - på olika sätt Sambandet mellan sträcka (5), hastighet (v) och tid (t) kan skrivas med hjälp av formeln 5 = v t Vi kan skriva om formeln så att det blir lättare att räkna ut v. 5 V t Dividera med t på båda sidor. t t 5 V :..--r Förkorta bort t. t -t: ~ = v eller v = ~ t t Vi har "löst ut" v ur formeln. 26 a) Beräkna v om 5 = 72 km och t = 4,5 h. b) Vad är 5 om v = 90 km/h och t = 3 h? c) Beräkna t om 5 = 36 km och v = 10 m/s. 27 Det förmodligen mest kända sambandet inom elläran är Ohms lag som lyder U = R. I där U är spänningen i volt (V), I är strömstyrkan i Ampere (A) och R är resistansen i Ohm (Q). Vilken eller vilka av formlerna är rätt omskrivna? A I=U B R=U I C R=L R U 28 Vad är spänningen om strömstyrkan är 0,2 ma och resistansen 3 kq? 29 Sambandet mellan effekten P (i watt, W), spänningen U och strömstyrkan I kan skrivas med formeln P = U J. a) Lös ut U ur formeln. b) Lös ut I ur formeln. 30 Är det rätt att säga att a) spänningen är lika med effekten gånger strömstyrkan b) strömstyrkan är lika med effekten dividerat med spänningen 31 Hur stor är strömstyrkan som går genom en 60 W-lampa om spänningen är 230 V? 2 FUNKTIONER OCH ALGEBRA 67

7 Rödkurs 1 a) 4x-20 e) 36x+ 24 b) 15 + Sx d) 6a- a 2 2 a) 6a+8a 2 b) 28a 2-42a e) Sa 2 + Sab d) 18xy - 24y2 3 a) 36 b) 12 e) 8 d) a) xy + Sx + 4y + 20 b) 2a + ab b e) 28-7x+4a-ax 5 a) 4xy- 8x + 6y-12 b) 20ab - 8a + 30b - 12 e) xy-9x-y+9 6 a) ab - 4a - Sb + 20 b) 3y+ ls-xy-sx e) 48-6b - Sa + ab

8 7 a) 3xy- 2x 2 + 2yl 14 a) a 2 + b 2 20 Ja det blir samma tal, det blir L b) 18ab-8a 2 +5b 2 b) Kvadratens sida är hypote- 21 a 2 - (a -l)(a + l) = c) x 2 -lox+ 9 nusa i triangeln som har de = a 2 - (a 2 - l) = a 2 - a 2 + l = l övriga sidorna a och b. Om 8 a) x2_yl b) 16-a 2 den blå kvadratens sida 22 Svar: Triangelns sidor är 5 cm, c) x 2 - l kallas för c, så kan kvadra- 12 cm och 13 cm. 9 a) x 2 + 2xy+ yl tens area skrivas 2. Den blå 23 13,2 cm ' b) a 2 + 2ab + b 2 kvadratens area kan även skrivas som a 2 + b 2. Då är 24 1,75 cm och 6,25 cm c) a 2-2ab + b 2 alltså a 2 + b 2 = c', vilket är 25 a) 50 cm? b) 9,33 dm? 10 a) 6 b) ab Pythagoras sats. a) x2 + 18x + 81 a) 16 b) 25a 2 26 a) 16 km/h b) 270 km c) l h b)x2-16x a) a 2 - l b)9x 2-16 c) a + a 2 27 A och D. c) 36x2-9 d) 16a a + 25 a) a ,6V b)4x a) 9x2-12x+4 p c) 64x2-100yl 29 a) U=b) 4x2 + 12xy + 9y2 I U b)i=.f c) 9a 2-30ab + 25b 2 18 a) 2496 b) l a) nej b) ja c) d) 0,25 + 3x + 9x2 31 0,26A 13 a) 4ab b) a 2-2ab + b 2 19 a) 3575 b) c)