Institutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA F MHA AUGUSTI 2010

Transkript

1 Institutionen för tillämpad mekanik, halmers tekniska högskola TENTEN I HÅFSTHETSÄ F H 8 UGUSTI ösningar Tid och plats: i V huset. ärare besöker salen ca 9.3 samt. Hjälpmedel:. ärobok i hållfasthetslära: Hans undh, Grundläggande hållfasthetslära, Stockholm,.. Handbok och formelsamling i hållfasthetslära, KTH, eller utdrag ur denna; vid Inst. for tillämpad mekanik utarbetad formelsamling. 3. ublicerade matematiska, fsiska och tekniska formelsamlingar. edtagna böcker får innehålla normala marginalanteckningar, men inga lösningar till problemuppgifter. ösa anteckningar i övrigt är inte tillåtna. Vid tveksamma fall: kontakta skrivningsvakten innan hjälpmedlet används.. Valfri kalklator i fickformat med tangentbord och sifferfönster i samma enhet. ärare: eter öller, tel (77) 55 ösningar: nslås vid ingången till institutionens lokaler 3/8. Se även kurshemsidan. oängbedömning: Varje uppgift kan ge maimalt 5 poäng. apoäng på tentan är 5. etgsgränser: p ger betg 3; 5 9p ger betg ; för betg 5 krävs minst p. Ytterligare poäng ges för varje korrekt löst inlämningsuppgift under kursens gång (lp ) dock krävs ovillkorligen minst 7 poäng på tentamen. För att få poäng på en uppgift ska den vara läsligt och uppställda ekvationer/ samband motiveras (det ska vara möjligt att följa tankegången). nvänd entdiga beteckningar och rita tdliga figurer. Kontrollera dimensioner och (där så är möjligt) rimligheten i svaren. esultatlista: nslås senast 3/8 på samma ställe som lösningarna samt på kurshemsidan. esultaten sänds till betgsepeditionen senast 3/9. Granskning: Tisdag 3/8 3 samt torsdag /9 3 på inst. (a våningen (plan 3) i södra trapphuset, na huset). Uppgifterna är inte ordnade i svårighetsgrad 8 /W

2 . h En aelkonstruktion med längden 3 är stelt infäst vid och samt belastas med ett vridmoment T vid, enligt figuren. Delen består av ett tunnväggigt rör med radien och godstjockle- T r ken h = -----, medan delen har ett massivt tvärsnitt med radien r. åda delarna är tillverkade 3 av ett och samma lineärt elastiska material. estäm radien r, uttrckt i, så att snittmomentet blir lika i de båda delarna. (5p). En tunn gummimatta med elasticitetsmodul E och tvärkontrationstal ν, limmas mellan två stålblock. Tjockleken h är mcket liten jämfört med utsträckningen i (, ) planet. Kon- h stål stål struktionen belastas med en aialkraft i led. Försumma stålblockens deformationer samt skjuvdeformationer i gummi- mattan och beräkna kvoten (5p) ε σ 3. En balk med böjstvheten och längden vilar på 3 stöd, så att två olika långa spann bildas enligt figuren. Till följd av en konstruktionsmiss hamnar mitt stödet något förskjutet, så att balken får en förskjutning «nedåt vid mittstödet. a: estäm stödreaktionerna (p) b: eräkna den till beloppet största normalspänningen σ, i ett 3 3 t «H tvärsnitt där 35E H 3 t = , om balken har ett tunnväg- H gigt U tvärsnitt enligt figuren (3p) H 8 /W

3 . En tråd med tvärsnittsradien r spinns till en fjäder med radien» r. estäm fjäderkonstanten k i kraft förskjutningssambandet = kδ, där r δ är förlängningen, om materialet är lineärt elastiskt med skjuvmodul G och fjädern består av n varv tråd. Deformationer orsakade av tvärkraften i fjädertråden kan försummas. (5p) 5. En ram består av två balkar, och, som båda har böjstvheten och längden. Vid, är infästningen sådan att rotation och horisontalförskjutning är förhindrad, medan konstruktionen är fast inspänd vid. Härled, knäckekvationen, dvs en ekvation vars lösning ger kritisk last med avseende på elastisk stabilitet, för fallet att delen utsätts för en trck- ande aiallast. ialdeformationer (längdändringar) kan anses försumbara. (5p) ösning : Snitta på ömse sidor om och studera delarna respektive ; låt och vara snittmomenten i delarna så att jämvikt ger T = +. ϕ ϕ T Vridningsvinkeln omedelbart till vänster om blir då v ϕ = Gπ 3 h (undh ekv 6 6) och vin- keln till höger om blir v ϕ = (undh ekv 6 ). Kompatibilitet,, samt kravet Gπr ϕ = ϕ ( ) = ger då ; med ger detta, så Gπ 3 = h Gπr h = 3 r = r = 6 ösning : Deformationerna i (, ) planet kan anses förhindrade, så Hookes lag (undh ekv νσ 7,8,9) ger ε och ; ut detta fås = -- ( σ. Töj- E ν( σ + σ )) = ε = -- ( σ E ν( σ + σ )) = σ = σ = ν σ ningen i led blir då ε --( σ ; E ν( σ + σ )) ---- E ν ν σ ( + ν) ( ν) ε ( + ν) ( ν) = = ν = = E( ν) E( ν) σ 3 8 /W

4 ösning 3a: Konstruktionen är statiskt obestämd. etrakta (t.e) stödreaktionen vid som en bekant ttre last; förskjutningen i kraftens riktning blir då (Formelsamlingen sid 9) H = r = ed given fås då. 3 = r 3 = = Övriga stödreaktioner kan beräknas med jämvikt: momentjämvikt kring ger =, så = ; momentjämvikt kring ger, vilket leder till 3 -- = 3 = ösning 3b: ed N = = och given, fås normalspänningen som (undh ekv 7 9) σ = För att beräkna I och ma måste vi först I tp hitta tvärsnittets t tngdpunkt; statiskt moment m.a.p en ael längs tvärsnittets underkant, ger tp Ht H --- H = + Ht, där = Ht är tvärsnittets area. Vi finner då, så tp = --- ma 3H 3H = = reatröghetsmomentet m.a.p aeln genom tp fås med Steiners sats ma Ht 3 H (undh ekv 7 ) som I Ht ---. Vi finner då th 3 H Ht --- 5H 3 t = σ ma 35E H 3 t 3H ma = = I 5H 3 = t EH ösning : etrakta jämvikt efter godtckligt snitt genom fjädern; man finnar att det i varje snitt måste finnas en tvärkraft T = och ett vridande moment =. Om inverkan av tvärkraften försummas, blir den elastiska energin (undh 5 5) W nπ = ds där s GK = T = är en koordinat längs fjädertråden och K = πr astiglianos a sats fås nu fjäderförlängningen som (undh 6 ). Enligt δ nπ nπ W W = = = ds = GK ds = G πr n Gr ed δ Gr = -- identifierar vi fjäderkonstanten som k = k n 3 8 /W

5 ösning 5: För den trckta balken ges den transversella utböjningen w iv som lösningen till n + w'' =, där n = (undh ekv 8 6). ösningen är w = sin( n) + cos( n) + + D (undh 8 66), där integrationskonstanterna beror av randvillkoren. Vid, =, gäller trivialt att w' ( ) = och vidare är vertikalkraften noll: V( ) =. Vertikalkraften kan uttrckas med tvär- w( ) V = H = kraften och normalkraften (undh ekv 8 59) som V = T + Nw', men w' ( ) = och T = w''', så V( ) = implicerar att w''' ( ) =. ( ) Vid, =, har vi w( ) = samt (Formelsamlingen sid ) w' ( ) = ; med = w'' fås då det fjärde randvillkoret som w'' ( ) + --w' ( ) =. w' ( ) ( ) w''' ( ) = = w' ( ) = n + = = ed = = fås sedan w( ) = cos( n) + D = D = cos( n), varvid sista randvillkoret, w'' ( ) + --w' ( ) =, ger n cos( n) sin( n). n = = leder till den triviala lösningen w ; icke triviala lösningar fås om cos( n) sin( n) = ; n lägsta positiva roten n ger oss kritisk last. 5 8 /W