Målsättningar Proffesionell kunskap. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar.

Transkript

1 1 Föreläsning 1: INTRODUKTION Målsättningar Proffesionell kunskap. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar. Kursens olika delar Teorin Tentamen efter kursen och/eller KS1+KS2. Inlämningsuppgifter Lära känna kraven på redovisningar! Problemlösning Tentamen efter kursen.

2 2 Newtons 3 lagar för partikelrörelse: 1. En 'fri' partikel förblir i vila eller i konstant rätlinjig rörelse. 2. ma = F (vektorekvation) m = massa, a = acceleration, F =totala kraften. 3. Krafter uppstår i par (aktion-reaktion) så att summan är noll. Eulers lagar för stela kroppar i vila: 1. F = 0 (Ingen translation av masscentrum) där F = totala yttre krafter. 2. M O = 0 (Ingen rotation kring masscentrum) M O = totala kraftmomentet från yttre krafter. O är en godtycklig momentpunkt. 3. Krafter uppstår i par (aktion-reaktion) så att summan är noll. (se Newton 3!)

3 3 MEKANIKENS STORHETER och dimensionsanalys. STORHET DIMENSION (SI-)enhet Grundläggande storheter: massa M kg längd, läge L m tid T s Härledda storheter, t.ex. kraft MLT!2 N (= kg m/s/s) hastighet LT -1 m/s acceleration LT!2 m / s 2 Härledda storheter beror av grundläggande storheter genom definitioner och/eller lagar.

4 4 EXEMPEL: Avgör om hastighetsformeln v = 2gh är dimensionsriktig. Lösning: dim{ v} = LT!1, dim{ g} = LT!2, dim{ h} = L. Dimensionsanalys av VL och HL ger samma resultat EXEMPEL: Bestäm så långt möjligt ett samband vid fritt fall mellan hastighet, massa, tyngdacceleration och fallhöjd! Lösning: Ansätt v = konst.!m " g # h $ (finns det andra ansatser?) Jämför dimensioner i VL och HL.: dim v { } = LT!1, dim{ m } = M, dim g { } = LT!2, dim h dvs L:s exponent i VL=HL ger: 1 =! + " M:s exponent i VL=HL ger: 0 =! T:s exponent i VL=HL ger:!1 =!2" Detta ger:! = 0, " = 1 / 2, # =1 / 2 dvs v = konst gh Jämför med det riktiga uttrycket!! { } = L

5 5 Krafter -Newtons 3:e lag: Krafter uppkommer i par så att den uppkomna totalkraften är noll. Exempel: Kontaktkrafter. De båda motriktade krafterna verkar på olika föremål. Exempel: Trådkrafter. Betrakta en trådbit som spänns av två yttre krafter. Vid varje tänkt tvärsnittsyta genom en lätt tråd finns ett motriktat kraftpar bestående av två krafter som är lika stora som de båda yttre krafterna i ändarna.

6 6 T T Exempel: Hur stor kraft påverkas skivan med? Lägevektorn: r = ( x, y,z), där x, y, z är koordinater. Vardagskrafter är vektorer: Tre komponenter: F = ( F x,f y,f z ). En vektor har längd och riktning: Längd: F = F = F 2 x + F 2 2 y + F z Riktning: e F = F F. (Sortlös vektor med längden 1) Exempel: Bestäm kraftens komponenter! Svar: F x = F sin", F y = F cos", F z = 0, dvs F = ( Fsin", Fcos",0).

7 7 Exempel: Bestäm kraftens riktning! Svar: e F = ( sin", cos",0). Koordinataxlar representeras ibland av riktningarna e x,e y,e z, som är enhetsvektorer. En kraft kan därför beskrivas som: F = F x e x + F y e y + F z e z, F x e x är en komposant. F x är en komponent. Koordinataxlar och linjer En koordinataxel har en riktning och sammanfaller med en rät linje. Linjen är en kontinuerlig punktmängd utan speciell riktning.

8 8 Exempel: Bestäm kraftens komponenter från lutningsförhållande! Svar: Den liggande sidan i den lilla triangeln förhåller sig till hypotenusan som 4 till 5: F = 8N. Den stående sidan i den lilla F x = 4 5 triangeln förhåller sig till hypotenusan som 3 till 5: F y = 3 5 F = 6 N, och F z = 0, " dvs F = $ # 4 5 F, 3 5 F,0 %'. & Exempel: Bestäm kraftens riktning från lutningsförhållande! " $ %'. # & Svar: e F = 4 5, 3 5,0

9 9 Skalärprodukt Två definitioner: Med vektorkomponenter: A B = A x B x + A y B y + A z B z. Med längder och riktningar: A B = ABcos" Projektion (speciell skalärprodukt) Kraftens projektion på x-axel: ( ) = F x "1+ F y " 0 + F z " 0 F e x = ( F x,f y,f z ) 1,0,0 = F x. Komponent i annan axelriktning: Sök komponenten i längs en axel (riktad linje) L. F L = F e L. Här används skalärprodukten och en riktningsvektor för axeln. Man får en projektion på axeln L.

10 10 KOMIHÅG 1: oberoende storheter-3 oberoende dimensioner Kraft är en vektor. Skalärprodukt som projektion. Föreläsning 2: KRAFTERS VERKAN PÅ STELA KROPPAR acceleration (Eulers 1:a lag) rotation (Eulers 2:a lag) F A F B ej rot rot Det behövs två tillbehör för att beskriva krafter: angreppspunkt (se figuren ovan, A och B eller r A och r B ) verkningslinje ( r Al = r A + le F,!" < l < ") Viktigt! Kraft är en matematisk vektor! En angreppspunkt behandlas också som en vektor i många fall. Hur räknar man med vektorer? Skalärprodukt? Vektorprodukt?

11 Den räta linjen: Linjens ekvation i ett plan: y = kx + y 0, där y 0 och k är konstanter, x och y är variabler (som beror av varandra). -En vald punkt på linjen har koordinater som bildar läget r 0 = (0,y 0,0). -En godtycklig punkt på linjen kan skrivas r = (x, y,0) = (x,kx + y 0,0) = (x,kx,0) + (0,y 0,0) =(1,k,0)x + r 0 = Le L + r 0, där L (= 1+ k 2 x) är en fri koordinat för linjen, och e L = (1,k,0) är linjens riktning k Linjens punktmängd: Linjens punkter kan alltså skrivas: r L = Le L + r 0, där bara L är godtycklig. Men även r = L("e L ) + r 0. En rak linje har två möjliga riktningar ±e L, och r 0 är en känd punkt. 11 Exempel: Beskriv x-axelns linje i xy-planet. Lösning: Axelns riktning är känd ( e x ), och en koordinataxel går igenom origot för axlarna (nollvektorn (0,0,0)). Linjen (dess punktmängd r x ) kan då skrivas: r x = xe x, där x är godtycklig.

12 12 KRAFTMOMENT med avséende på en fix momentpunkt P. Kraftmomentet som vektor Definition: M P = r PA " F, där r PA = r A " r P och r A är angreppspunktens koordinater och r P är momentpunktens dito. Speciellt: Om r PA // F är M P = 0.

13 13 Krafter i ett plan Låt r A = ( x A,y A,0), r P = ( 0,0,0) och F = ( F x,f y,0). Momentet map origo blir M O = r A " F = e x e y e z x A y A 0 F x F y 0 = ( x A F y " y A F x )e z. Betrakta figuren: F y F y A F x O x A F x och F y vrider åt olika håll om F x, F y >0. Moment m a p punkt respektive axel Totala vridande förmågan med avseende på en punkt O: M O = M Ox,M Oy,M Oz ( ). Komponenten M Oz är kraftens vridande förmåga map z- axel genom origo. M Oz = x A F y " y A F x. Matematisk projektion av hela momentet: M Oz = M O e z.

14 Kraften kan flyttas längs sin verkningslinje. Förskjut kraften så att angreppspunkten ändras: r " r + le F. Bestämning av kraftmomentet: M ' O = ( r + le F ) " F = r " F + l e F " F = M O = 0,ty // För ett givet kraftmoment kan samma kraft ligga var som helst på en linje. Problem: Tyngdkraften mg verkar i mitten av en kub och är riktad nedåt. Beräkna kraftens moment med avseende på kontaktpunkten A. 14 Lösning: Dela upp kraften med komposanter längs kroppens två symmetrilinjer map mittpunkten. Då är avstånden till komposanternas vardera verkningslinjer L/2 respektive L/4. Med hänsyn till vridningsrikningar vrider komposanterna åt samma håll (medurs, som är en negativ riktning i givna planet). Dvs M A = " L 4 mgcos# " L mgsin#. (vektorn in i planet) 2

15 15 Problem: Kraften P appliceras vinkelrätt på balkens övre del. Beräkna kraftens moment med avseende på böjleden respektive fotfästet. P=30 N d=1.6 m 45 o d=1.6 m Lösning: Med 'origo' i böjpunkten ( B ) blir angreppsvektorn och kraften vinkelräta: M B = dp =1.6 " 30 Nm = 48 Nm (negativ vridning i planet) Med 'origo' i fotpunkten ( A ) blir det svårare. Dela upp kraften i horisontell och vertikal komposant. Den horisontell komposanten har sin momentarm och den vertikala sin. Addera: M A = P cos45 o d + d cos45 o ( ) + P cos45 o ( d cos45 o ) " = dp 1+ 1 % $ ' = Nm (negativ vridning i planet) # 2 &

16 16 Problem: En låda belastas med tre yttre krafter enligt figuren med verkningslinjer längs tre av lådans kanter. Lådan har formen av ett rätvinkligt block med kantlängderna a, b och c. Lösning: Vad är positiva moment kring en axel??? M O = 2Pb " Pc," 2Pa,0 ( ).