Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2017, kl. 8:00-12:00

Transkript

1 Tentamen i Matematik HF9 8 ec 7 kl 8:-: Eaminator: rmin Halilovic Unervisane lärare: Jonas Stenholm Elias Sai Nils alarsson För gokänt betyg krävs av ma poäng etygsgränser: För betyg E krävs 9 6 respektive poäng Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering betyg F) Vem som har rätt till komplettering framgår av betyget F på MIN SIOR Komplettering sker c:a två veckor efter att tentamen är rätta Om komplettering är gokän rapporteras betyg E annars rapporteras F Hjälpmeel: Enast bifogat formelbla miniräknare är inte tillåten) Till samtliga inlämnae uppgifter forras fullstäniga lösningar Skriv enast på en sia av papperet Skriv namn och personnummer på varje bla Inlämnae uppgifter skall markeras me kryss på omslaget enna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans me lösningar Uppgift p) a) p) eräkna arean av en parallellogram som spänns upp av vektorerna a ) och b ) b) p) eräkna volymen av en parallellepipe som spänns upp av vektorerna u ) v ) och w 6) Uppgift p) Följane ekvationssystem är givet y z y z y az För vilket vilka vären på a har systemet i) oänligt många lösningar ii) eakt en lösning iii) ingen lösning? Uppgift p) a) estäm avstånet från punkten ) till planet y z 9 b) estäm avstånet från punkten O) till linjen y z) t t t) Var go vän

2 Uppgift p) Lös följane ekvation me avseene på ) ) ) Uppgift p) a) p) Lös matrisekvationen X X me avseene på X) är Tips: Faktorisera vänsterleet i ekvationen b) p) Lös matrisekvationen MY YN F me avseene på Y) är M N F Uppgift 6 p) Ett föremål ligger på ett lutane plan vars ekvation är y z en tyngkraft som verkar på kan beskrivas me vektorn F ) N F kan elas upp i två mot varanra vinkelräta komposanter så att F F F är F är vinkelrät mot et lutane planet och F är parallell me et lutane planet estäm e två komposanterna F och F Tips: nvän vinkelrät projektion för att lösa etta problem 6 Uppgift 7 p) En kropp K består av två homogena kuber K och K vars kanter är parallella me alarna i ett koorinat system en större kuben K har ett hörn i origo O ) och varje kant har längen a m en minre kuben K är placerat på en större kuben så att ett hörn ligger i punkten ) se figuren) Varje kant O i en minre kuben har längen b m Kuberna är gjora av ett homogent material me ensiteten ρ kg / m estäm masscentrum till kroppen K Tips: Låt T och T vara tyngpunkterna för elkroppar K och K me motsvarane massor m och m Om O betecknar origo och T masscentrum å gäller OT m OT m OT ) är m m m m Uppgift 8 p) I ett stort treimensionellt rum befinner sig ett ogenomskinligt klot vars yta har ekvationen y z 9 I samma rum befinner sig också en punktformig ljuskälla P me koorinaterna ) Inga anra föremål eller ljuskällor av något slag finns i etta rum Punkten Q me koorinaterna ) ligger på klotets yta vgör om Q ligger på klotets av ljuskällan i P belysta sia eller på ess skuggsia z b m a m y Lycka till!

3 FIT Uppgift p) a) p) eräkna arean av en parallellogram som spänns upp av vektorerna a ) och b ) b) p) eräkna volymen av en parallellepipe som spänns upp av vektorerna u ) v ) och w 6) a) rean av parallellogrammen är arean a b e ey ez Först a b e ey ez ) ärme arean a b 6 Svar a) arean 6 ae b) Volymen ve 6 Rättningsmall a) Korrekta vektorprouktenp llt korrekt p b) Korrekt uppställning av eterminanten p llt korrekt p Uppgift p) Följane ekvationssystem är givet y z y z y az För vilket vilka vären på a har systemet i) oänligt många lösningar ii) eakt en lösning iii) ingen lösning? Systemets eterminant är a a om a Systemet har eakt en lösning om a Fallet a löser vi me Gaussmetoen Substitutionen a i systemet ger

4 y z y z y z y z E E) y z y z y z E E) y z E E) ingen lösning) Svar: i)fallet oänligt många lösningar kan inte förekomma i enna uppgift ii) Systemet har eakt en lösning om a iii) Ingen lösning om a Rättningsmall Korrekta eterminanten a ger p Korrekt meto och svar i varje el: i ii och iii ger p Uppgift p) a) estäm avstånet från punkten ) till planet y z 9 b) estäm avstånet från punkten O) till linjen y z) t t t) a) vstånet från punkten y z ) ) till planet y z y z 9 kan me hjälp av formelsamlingen räknas som y z ) 9 6 ) b) vstånet från punkten O till linjen kan me hjälp av formelsamlingen fås ur PO v är i etta fall v PO ) ) ) v ) v e ey ez PO v 6 ) PO v 6 6 så att man får PO v v 6 7 Rättningsmall a) rätt eller fel b) rätt eller fel

5 Uppgift p) Lös följane ekvation me avseene på ) ) ) Man kan utveckla eterminanten längs en första kolonnen enligt nean: ) [ ] ) ) [ ] ) [ ] ) 9 ) ) ) ärme är e två lösningarna till en givna ekvationen: och Rättningsmall Korrekta eterminanten ger p llt korrekt p Uppgift p) a) p) Lös matrisekvationen X X me avseene på X) är Tips: Faktorisera vänsterleet i ekvationen b) p) Lös matrisekvationen F YN MY me avseene på Y) är F N M a) en givna matrisekvationen kan skrivas som ) ) ) X X är ) är en inverterbar matris me inversen enligt ovan och ärme får man lösningen för X som följer ) ) X

6 Rättningsmall Korrekta inversmatrisen ger p llt korrekt p b) Notera att vi inte kan använa samma meto som i a-elen eftersom vi kan inte faktorisera uttrycket MY YN matrisen Y ligger på olika sior i termerna MY och YN) ntag här att Y a c b å kan man skriva en givna matrisekvationen som följer a c b a c b a b a b c etta ger upphov till två ekvationssystem för respektive ab) och c) vars lösningar blir a b c ärme är svaret a b Y c Rättningsmall Korrekt till llt korrekt p a b a b c ger p Uppgift 6 p) Ett föremål ligger på ett lutane plan vars ekvation är y z en tyngkraft som verkar på kan beskrivas me vektorn F ) N F kan elas upp i två mot varanra vinkelräta komposanter så att F F F är F är vinkelrät mot et lutane planet och F är parallell me et lutane planet estäm e två komposanterna F och F Tips: nvän vinkelrät projektion för att lösa etta problem en komposant F ) som är vinkelrät mot planet fås som projektionen av F på planets normalvektors riktning Planets normalvektor: n ) F n ) ) F proj ) n F n ) ) ) n n ) ) 6 en anra komposanten F fås ur F F F ) )

7 ) Svar: F ) och F ) Rättningsmall Korrekt F ger p llt korrekt p 6 Uppgift 7 p) En kropp K består av två homogena kuber K och b m K vars kanter är parallella me alarna i ett koorinat system en större kuben K har ett hörn i origo O ) och varje kant har längen a m en minre kuben K är placerat på en större kuben så att ett hörn ligger i punkten ) se figuren) Varje kant i en minre kuben har längen b m Kuberna är gjora av ett homogent material me ensiteten ρ kg / m estäm masscentrum till kroppen K O Tips: Låt T och T vara tyngpunkterna för elkroppar K och K me motsvarane massor m och m Om O betecknar origo och T masscentrum å gäller OT m OT m OT ) är m m m m Kuberna är homogena etta meför att eras tyngpunkter ligger i mitten av respektive kub: T ) och ) Kubernas massor: m ρ V ) m 8 m 6 m 8 6 kg) K:s masscentrum: OT ) 6 )) ) ) Svar: K:s masscentrum är ) 9 9 Rättningsmall Korrekt till 8 ) 6 )) ger p llt korrekt p z a m y Uppgift 8 p) I ett stort treimensionellt rum befinner sig ett ogenomskinligt klot vars yta har ekvationen y z 9 I samma rum befinner sig också en punktformig ljuskälla P me koorinaterna ) Inga anra föremål eller ljuskällor av något slag finns i etta rum Punkten Q me koorinaterna ) ligger på klotets yta vgör om Q ligger på klotets av ljuskällan i P belysta sia eller på ess skuggsia ila ljusstrålen en rät linje) från P till Q estäm ess skärningspunkter Q och R) me klotets yta estäm sean avstånen PQ och PR Om PQ är et minre av essa avstån så ligger Q på en belysta sian Om PQ är et större av essa avstån ligger Q på skuggsian

8 P Ljusstrålens riktningsvektor PQ ) - -) -- ) som är parallell me vektorn ) Ljusstrålens ekvation: yz) ) t - - ) eller Insättning av strålens ekvation i klotets ekvation: t ) t) t) 9 6t t t Härav t t y t z t etta ger skärningspunkterna mellan klotet och strålen: y z etta är Q y z etta är R vstånet PQ ) ) ) 8 vstånet PR ) ) ) PQ är et större av e båa avstånen Q ligger alltså på klotets skuggsia Svar: Punkten Q ligger på klotets skuggsia Rättningsmall Korrekt till ljusstrålens ekvation ger p Korrekt skärningspunkt R ger p Korrekt avstån PR p llt korrekt p Lycka till!