Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk mekanik för F3

Transkript

1 Chalmers Institutionen för Teknisk Fysik Göran Wahnström Tentamen i FTF14 Termodynamik och statistisk mekanik för F3 Tid och plats: Onsdag 15 jan 14, kl i Maskin -salar. Hjälpmedel: Physics Handbook, BETA, ett A4-blad sidor med egna anteckningar, Chalmersgodkänd räknare. Jourhavande lärare: Göran Wahnström, tel , Bedömning: Varje uppgift ger maximalt 1 poäng. Till detta adderas eventuella duggapoäng. För godkänt krävs poäng 4:a minst 3 poäng, 5:a minst 4 poäng. Lösningar: Anslås på kurshemsidan. Rättningsgranskning: Tisdag 8 jan 14, kl i S3, 3:e våningen i byggnad Soliden. 1. Man önskar kyla ned en viss mängd heliumgas. Gasen är placerad i en cylinder vars volym kan regleras med en friktionsfri kolv. Från början har gasen trycket 1 kpa och temperaturen C. Den komprimeras därefter till trycket 9 kpa vid konstant temperatur och sedan låter man den expandera adiabatiskt tillbaks till begynnelsetrycket 1 kpa. Båda processerna får antas ske kvasistatiskt och heliumgasen får behandlas som en idealgas med konstant värmekapacitet. Beräkna sluttemperaturen. Skulle sluttemperaturen blivit högre eller lägre om gasen hade varit syre i stället för helium?. Ett hus värms upp med hjälp av en värmepump. Värmepumpen pumpar värme från omgivningen som har temperaturen T. Pumpen förbrukar den konstanta effekten P. Det får antas att värmepumpen arbetar helt idealt. Värmeläckaget från huset är αt T per tidsenhet, där T är inomhustemperaturen och α en konstant. Beräkna inomhustemperaturen T vid jämvikt som funktion av T, P och α. Bestäm också den elektriska effekt som krävs om man vill hålla samma inomhustemperatur med direktverkande elvärme och visa att denna effekt är större än P. 3. Figuren nedan visar principen för ett vanligt kompressorkylskåp. Kylmediet komprimeras adiabatiskt i kompressorn som får antas arbeta idealt. Därefter avges värme i kondensorn vid konstant tryck. Trycket sänks därefter med hjälp av en strypventil. Vid denna process kan värmeförluster till omgivningen försummas. Slutligen upptas värme från kylrummet genom att kylmediet förångas vid konstant tryck. Antag att kompressorkylskåpet arbetar mellan trycken 1. och 1. bar. Data för det aktuella kylmediet HFC-134a återfinns i bifogade tabeller. Bestäm kylskåpets verkningskoefficient. Hur stor andel av kylmediet förångas i strypprocessen, mellan punkt 3 och 4 i figuren? 1

2 4. Ett system har N icke degenererade energinivåer E n = n + 1 hω, n =, 1,,..., N 1 Bestäm tillståndssumman för systemet. Beräkna därefter systemets entropi som funktion av temperaturen T. Bestäm entropins uppförande för låga respektive höga temperaturer. Vad blir gränsvärdena då T går mot noll respektive oändligheten? 5. För ett visst elektriskt ledande material gäller att energinivåerna för ledningselektronerna ges av uttrycket ɛ n1,n,n 3 = ɛ cos n 1 + n + n 1/3 3 /Ne, n 1, n, n 3 {, 1,,...} där N e är antalet ledningselektroner i den givna volymen och N e 1. Indexen begränsas uppåt av n 1 + n + n 1/3 3 < πne. Bestäm Fermi energin ɛ F för systemet samt tillståndstätheten gɛ.

3 3

4 Chalmers Institutionen ör Teknisk Fysik Anders Lindman, Lösningar till tentamen i FTF14 Termodynamik och statistisk mekanik Uppgi 1 För en kvasistatisk adiabatisk process gäller a PV γ = konstant där γ = f + /f är den adiabatiska exponenten och f är antalet frihetsgrader. Med hjälp av ideala gaslagen kan de a u ryck skriva som P 1 γ/γ T = konstant Om begynnelse- och slu illståndet betecknas med index i respektive f så gäller a P 1 γ/γ i T i = P 1 γ/γ f T f eller 1 γ/γ Pi T f = T i P f För Helium är f = 3 vilket ger γ = 5/3. Med T i = C = 93 K, P i = 9 kpa, P f = 1 kpa kan slu emperaturen bestämmas till T f = 11.7 K = C. Om gasen istället består av syre ökar antalet frihetsgrader till f = 5 vilket ger γ = 7/5. Med de a värde på γ blir T f = K = C vilket är en högre temperatur. 1

5 Uppgi Värmet som pumpas in i huset per tidsenhet ges av Q in = Q + P där Q är värmet från omgivningen. Då värmepumpen är ideal är entropin bevarad, dvs vilket ger Q T = Q in T Q = T T Q in Q in = T T T P Värmet som läcker ut ur huset ges av Q ut = αt T. Vid jämvikt är Q in = Q ut vilket ger T T T P = αt T De a u ryck kan skrivas som en andragradsekvation T T + P T + T = α vilken har lösningarna T = T + P 1 ± 1 + 4αT α P Då T inte kan vara mindre än T är enbart den positiva lösningen rimlig och således är inomhustemperaturen vid jämvikt T = T + P αT α P Om huset istället värms upp med med el så gäller a Q in = P el vilket vid jämvikt ger P el = αt T Om elen bidrar med lika mycket värme som pumpen är Då T/T T > 1 så öljer a P el > P. P el = T T T P

6 Uppgi 3 Verkningskoefficenten ör kompressorkylskåpet ges av COP = Q c W = H 1 H 4 H H 1 = H 1 H 3 H H 1 där det sista steget använder sig av H 3 = H 4 då entalpin bevaras vid passage av strypventilen. För a bestämma COP behövs alltså H 1, H och H 3. I steg 1 är kylmedlet i mä ad gasform samt P = 1 bar och då är H 1 = 31 kj enligt tabell 4.3. I steg är P = 1 bar och kylmedlet är överhe ad gasform. För a bestämma H från tabell 4.4 behövs kylmedlets temperatur. Då kompressorn arbetar adiabatiskt bevaras entropin i kompressorn, dvs. S = S 1, och enligt tabell 4.3 är S 1 = 94 J/K. Då P = 1 bar är entropin 97 J/K och 943 J/K vid 4 C respektive 5 C enligt tabell 4.4 och därav bör gasens temperatur vara däremellan. Om ST antas vara linjär i de a intervall ökar entropin med 3.6 J/K per grad. gasens entropi är 3 J/K lägre än entropin vid temperaturen 5 C så dess temperatur är T = 5 3 C = C 3.6 Då det inte finns något tabellerat värde ör entalpin vid den här temperaturen måste även linjär interpolation användas här. Entalpin ökar med 1.1 kj per grad i samma intervall vilket ger H = kj 79 kj I steg 3 är kylmedlet i mä ad vätskeform samt P = 1 bar och då är H 3 = 15 kj enligt tabell 4.3. Dessa tre värden ör H 1, H och H 3 ger COP =.65. Andelen vätska som örångas i strypventilen kan beräknas genom a utny ja a entalpin bevaras vid passage av strypventilen. Om x är andelen som örångas så gäller a xh g xhv 4 = H 3 där H g 4 och Hv 4 är entalpin ör gas respektive vätska i steg 4. x kan lösas ut vilket ger x = H 3 H v 4 H g 4 Hv 4 H g 4 = H 1 och enligt tabell 4.3 är H v 4 = 16 kj vilket ger x =.41. Alltså örångas 41% av kylvätskan. 3

7 Uppgi 4 Systemets tillståndssumma ges av N 1 Z = n= e E n N 1 k BT = n= e ħωn+1/ = e ħω N 1 n= Nħω e ħω n = e ħω k 1 e B T 1 e ħω Entropin kan nu bestämmas utifrån tillståndssumman enligt vilket med ovanstående u ryck ör Z ger ħω + k BT ln S = T = k B ln 1 e Nħω Nħω T S = T k BT ln Z 1 e Nħω ln 1 e ħω e Nħω 1 e Nħω = k B ln 1 e Nx ln 1 e x + k B ln 1 e ħω + ħω T x e x 1 Nx ] e Nx 1 e ħω 1 e ħω där x = ħω/. Vi betraktar nu S vid låga respektive höga temperaturer. Vid låga temperaturer är ħω vilket ger x 1. Således är e ±x stort respektive litet och S kan approximeras till S k B e Nx + e x + xe x Nxe Nx] k B xe x Då T går mot noll går x mot oändligheten vilket ger gränsvärdet S. Vid höga temperaturer är ħω vilket ger x 1. Med Taylorutveckling kan S approximeras till S k B ln Nx N x = k B ln N + ln 1 Nx ln k B ln N Nx + x x + Nx x x + x x + x ln 1 x x ] = k B ln N ] Nx Nx + N x ] Nx vilket är oberoende av x och således av T. Genom a inkludera högre ordningens termer kan öljande temperaturberoende härledas ] S = k B ln N N 1 x 4 Då T går mot oändligheten går x mot noll vilket ger gränsvärdet S k B ln N. 4

8 Uppgi 5 Antalet tillstånd ges av n 1 där faktorn tar hänsyn till spinn. Summan kan skrivas om till integralen dn 1 dn För tillståndstätheten gϵ gäller a vilket ger dn 3 = För energinivåerna så gäller u rycket π ϵn = ϵ cos π/ n max n n 3 π n max n max dφ sin θdθ n dn = π n dn n dn = ϵ gϵ = πn dn dϵ n N 1/3 e ϵ gϵdϵ där n = n 1 + n + n 3. Med de a ges tillståndstätheten av gϵ = π N 1/3 e arccos ϵ ϵ ] = πn e arccos ϵ/ϵ ] ϵ 1 ϵ ϵ Fermienergin ϵ F kan nu bestämmas med gϵ enligt ϵf ϵf n = N 1/3 e arccos ϵϵ d dn N 1/3 e arccos ϵϵ πn e N e = gϵdϵ = arccos ϵ/ϵ ] ϵ ϵ ϵ dϵ 1 ϵ ϵ ϵf ] d 1 3 = πn e arccos ϵϵ dϵ = πn e dϵ 3 3 arccos ϵ ] 3 F ϵ ϵ vilket ger ϵ F = ϵ cos 3 1/3 =.553ϵ π 5

9 Alternativt kan ϵ F bestämmas på e enklare sä. Då alla tillstånd upp till Ferminivån ockuperas ryms dessa i en volym som motsvaras av en 8-dels s är med radien n F, dvs 1 8 4πn3 F 3 Med u rycket ör n F kan nu ϵ F bestämmas enligt = N e n F = ϵ F = ϵn F = ϵ cos 3 1/3 N 1/3 e π 3 1/3 =.553ϵ π 6