TENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD MHA APRIL 2018

Transkript

1 Institutionn fö tillämpad mkanik, Chalms id och plats: Hjälpmdl: ENAMEN I FINI ELEMENMEOD MHA 6 APRIL i M hust Odböck, lxikon och typgodkänd äkna. Lösninga Läa: Pt Möll, tl ( Bsök sal 5 samt 7. Lösninga: Anslås på anslagstavlan, avdlningn fö dynamik. Btygsättning: En fullständig och kokt lösning på n uppgift g poäng nligt vad som angs på uppgiftslappn. Smä fl ld till poängavdag. Ofullständig lösning (sva på ställt poblm saknas ll omfattand fl g int något poäng. Maximal poäng ä. Dt kävs 8 poäng fö btyg ; poäng g btyg 4; fö btyg 5 kävs 6 poäng. Obsva att ovanstånd ä btygssättning på nbat tntamn; fö godkänd xamination kävs dssutom godkända inlämningsuppgift. Rsultatlista: Anslås snast /4 på samma ställ som lösningana. Rsultatn sänds till btygsxpditionn snast vcka 7 fö kusdltaga som int ha alla inlämningsuppgift godkända vid dtta tillfäll inappotas btygt U (undkänd. Ganskning: tosdag 6/4, inst.lokal, plan i Nya M hust. änk på: Skiv så att dn som ska ätta kan läsa och föstå hu du tänk. Dn som ätta tntamn gissa int ll anta int vad du mna/tänk ndast vad som vklign skivs ha btydls vid bdömningn av n lösning. Föklaa/dfinia inföda btckninga. Rita tydliga figu. Ang i fökommand fall vad som ä positiva/ngativa iktinga (på t.x föskjutninga och kaft. Gö du antagandn utöv d som angs i uppgiftstxtn, så ang dtta xplicit och föklaa dssa /PWM

2 Btakta dt sfäiska vämldningspoblmt d du k d d < < q( α( u( u u( u dä ä n obond vaiabl och u u( dn obkanta tmpatun. Vida ä u och u givna tmpatu, samt k och α bkanta konstitutiva konstant. Givt u( kan vämflödt q( bäknas nligt Fouis lag: q du k d a: Häld dn svaga fomn (vaiationspoblmt av andvädspoblmt och gö sdan n finit lmntfomuling md tstfunktion nligt Galkins mtod. (p b: Btakta nu n styckvis linä appoximation u h ( av dn pimät obkanta u( : u h u. På tt lmnt i intvallt i i ha vi då två basfunktion, nämlign i N och i N, dä h h h i i ä lmntlängdn. Häld lmntstyvhtsmatisn. (p N N i h i c: Lös poblmt md två lika långa lmnt. (p Data: W W, m, m u C u C k, α m C m C d: Använd FE appoximationn fö att bäkna vämflödt q( dls md Fouis lag, dls md hjälp av andvillkot. Vilkt av d två vädn på q( kan föväntas vaa nämast dn analytiska lösningn? Motiva svat. (p 8 4 6/PWM

3 Man vill bstämma d spänninga σ D( u som uppkomm i tt tjockväggigt ö som blastas av tt in tyck p. vå av symmtilinjna utnyttjas, så att baa 4 dl av tt tväsnitt modllas (s figu. Om tjocklkn t i z ld ä konstant och plan spänning antas, så kan dn svaga fomn av d styand diffntialkvationna skivas y (sym. ( v D ud Γ v tdγ ( p x (sym. Hä btckna och Γ omådt spktiv andn. Vida ä D n givn konstitutiv matis (sym- mtisk och positivt dfinit, v v x v y ä n vkto md tstfunktion, u u x u y ä dn ob- t kanta föskjutningsvkton, t x σ xx n x σ xy n y ä taktionvkton och. t y σ xy n x σ yy n y Obsva att i ( ha vi int inföt andvillkon. a: Ang fö dtta fall samtliga andvillko. Utvckla sdan andintgaln i ( md hänsyn till andvillkon samt md baktand av villkon på tstfunktionna. (p b: FE fomula poblmt ta hänsyn till andvillkon. Av din lösning ska dt famgå hu dn obkanta vkton u appoximas. Visa också hu matisn s ut fö tt nods lmnt. (p c: Antag att omådt dlas in i linäa tiangl lmnt som alla ä ungfä lika stoa, och att sdan n adaptiv h mtod används i analysn. Vilkt av d två lmntnätn ndan, dt vänsta ll höga, ska man fövänta sig bli sultatt? Motiva ditt sva. (p Ldning: c totiskt vaia alla noll skilda spänninga som ij σ ij c ij , dä c och ä konstant, och ä avståndt fån ij c ij cntum. B d: Disktisingsflt dfinias vanlign som u u h. Fökomm dt något annat disktisingsfl i dt bhandlad poblmt? I så fall vilkt? (p 8 4 6/PWM

4 Figun ndan visa n isopaamtisk avbildning av tt linät tiangl lmnt, fån tt lokalt koodinatsystm ( ξ, η till ( x, y ( x( ξ, η, y( ξ, η. I dt lokala koodinatsystmt gs basfunktionna av N ξ η N ξ N η a: Visa hu divatona och ( i,, kan bäknas. Bäkna också dssa divato fö någon av basfunktionna ( i, ll ; svat ska g i tm av hön koodinatna ( x i, y i. (p b: Bäkna lmntaan da uttyckt i koodinatna ( x i, y i, i,,. (p A A η x y x( ξ, η y( ξ, η y ( x, y ξ ( x, y A x ( x, y Lösning a: Multiplica diffntialkvationn md n tstfunktion intvallt v( och intga öv Patialintga och utvckla andtmna d du v k d d d k du v k dv du du d d k q d d d [ vq] k dv du d d d v ( q( v ( q( k dv du d d d v ( q( α v ( ( u( u k dv du d d d du Vämflödt vid, q( k, ä int känt, så vi bgänsa valt av tstfunktion till d sådana som uppfyll v(. Vaiationspoblmt bli då k dv du d α d d v ( u( α v ( u u( u, v( /PWM

5 u h FE fomuling: appoxima u Na, dä N N ( N n ( ä n advkto md valda bas- funktion och a a a n ä n kolumnvkto md (obkanta nodvaiabl. Vi bhöv n kvation fö att bstämma a ; dtta hålls om vi välj n olika (dvs linät obond tstfunktion. Md Galkins mtod väljs v N, v N,, v N n. Vi sätt in appoximationn u h Na i vaiationspoblmt och samla kvationna advis och få då ll ( K a f, dä K c k dn dn d d a α d N ( N( a α N ( u K k dn dn d K d d c α N ( N( f α N ( u Lösning b: Bidagt till styvhtsmatisn K fån tt lmnt fås som i K k dn dn dn d d d d h h -- k ---- d i h i i k( i i h Lösning c: Md två linäa lmnt ha vi t nod. Om nod och lmnt numas fån vänst till hög, ha vi nodkoodinatna m, n m och n m. Vida ä lmntlängdn h m. Elmntstyvhtsmatisna ä då n k( n n h K k( n n h K och assmbling g K K K k h n n n ( n n n ( n n n n ( n n ( n n n n k h n n n ( n n n ( n ( n n n ( n n n n Vida ha vi K c α N ( N( α f α N ( u α u så /PWM

6 ( K a f K c a a a Hänäst infö vi andvillkot a u och nota att sista kvationn int ä gilltig ftsom dn hållits md tstfunktionn v N, som int uppfyll villkot v(. Vi ha då a a a a 9 Vi ha då lösningn a,8 8. du du Lösning d: Md Fouis lag få vi h q( k k k a a ,5 d d h Randvillkot g q( α( u( u α( u h ( u α( a u,8 Eftsom dn obkanta funktionn bli bätt appoximad än dss divata, g dn sna bäkningn noggannast sultat. Lösning a: På dn oblastad ytt bgänsningslinjn,, ä nomal och tangntialspänningana. På dn in andn,, ä taktionvkton otogonal mot ytan och ha bloppt p, dvs vi ha t pn. Fö n symmtiand gäll att föskjutningn otogonalt andn ä noll och att spänningn tangntillt andn ä noll. Sammanfattningsvis: t x t y på Γ o t x pn x, t y pn y på u x, t y på Γ v t x, u y på Γ h Γ o Γ v Γ h Γ o Utvckla nu andintgaln gnom att sätta in kända blastninga (taktionkomponnt Γ v tdγ v dγ v ( p ndγ t v x v x y dγ v x v y Γ o Γ v Γ h t y dγ På Γ v och Γ h ä t x spktiv t y obkanta, så fö att bl av md dssa välj vi v x och v y så att v x på Γ v och v y på Γ h. Randtmn bli då v tdγ p v ndγ Γ Lösning b: Appoxima d obkanta föskjutningana, u y u yh i a iy N i, dä a ix och a iy ä obkanta nodvaiabl, mdan N i N i ( x, y ä valda basfunktion. Om vi dfinia u x u xh i a ix N i och /PWM

7 N N N n a a x a y a nx a ny N N n kan vi skiva u u h Na. Vida ska tstfunktionna nligt Galkin vaa n godtycklig linäkombination av basfunktionna (altnativt: väljs i tu och odning som N n N v N n,,,, ; låt c c vaa n kolumnvkto md god- N c c n c n n tyckligt valda kofficint. Vi ha då v Nc. Insättning i dn svaga fomn g nu ( Nc D ( Na d p ( Nc ndγ c ( N D N d a p N ndγ Eftsom c ä n godtycklig vkto måst uttyckt inom pants vaa n nollvkto, så md B N fås alltså B DBda p N ndγ ll Ka f. Fö tt lmnt md nod ha vi noll skilda basfunktion och alltså N N N N. N N N Vi få då B N N N N N N N N N N N N N N N N N N N Lösning c: Adaptivitt minska disktisingsflt, som ä stöst dä (xakta lösningns a divato ä stoa. Spänningana ä a divato av lösningn, så vi s att a divatona ä på fomn, dvs d avta md ökand adill koodinat. Elmntstolkn bö alltså växa md ökand avstånd fån oigo, vilkt passa in på båda lmntnätn. I poblmt fökomm inga punkt dä man kan fövänta sig att dn analytiska lösningn ä sigulä, så man bö int få lokala omådn md myckt små lmntstolka. Dt vänsta av d två visad disktisingana vka däfö toligast. Lösning d: D cikuläa bgänsningslinjna appoximas md polygon, så FE appoximationn gös på tt omåd som skilj sig fån. Lösning a: Isopaamtiska lmnt innbä att basfunktionna N i ( ξ, η används som fom- funktion avbildningn gös då som x( ξ, η x i N i y( ξ, η y i N i, dä ( x i, y i ä koodinatn fö nod i. Eftsom basfunktionna ä polynom, bäkna vi nklt divatona i i /PWM

8 få x i x, och motsvaand fö divatona av, dvs vi x x η i x η x y i y y och η y y i Basfunktionnas divato md avsnd på x och y (som bhövs fö att ställa upp B fås md kdjgln: η η η J dä alltså J η η. Md η dtj η J ( x x ( y y ( x x ( y y ( y y ( y y ( x x ( x x fås då d sökta divatona som J Fö t.x i fås η N N J y y ( x x ( y y ( x x ( y y x x Lösning b: Gö n vaiablsubstitution och intga i dt lokala koodinatsystmt; ftsom dtj ( x x ( y y ( x x ( y y ä konstant fö nodslmntt och lmntaan ä -- i dt lokala systmt fås tivialt A ( x x ( y y ( x x ( y y da dtjdηdξ A ( ξ /PWM