Tentamen i Matematik 2: M0030M.

Transkript

1 Tentamen i Matematik 2: M0030M. Datum: Skrivtid: 09:00 4:00 Antal uppgifter: 2 ( 30 poäng ). Examinator: Norbert Euler Tel: Tillåtna hjälpmedel: Inga Betygsgränser: 4p 9p = 3; 20p 24p = 4; 25p 30p = 5. Denna tentamen består av två delar: Del I och Del II. Del I (20 poäng) består av fyra uppgifter, uppgift till 4. Varje uppgift kan ge max 5 poäng. Alla uträkningar måste visas för dessa uppgifter. Endast svar ger 0 poäng. Del II (0 poäng) består av åtta uppgifter, uppgift 5 till 2, med flera svarsalternativ. Du markerar endast ett alternativ per uppgift på bifogat svarsblad. Uppgift 5 till 0 är värda poäng vardera. Uppgift och 2 är värda 2 poäng vardera. Du kan lämna in dina beräkningar för uppgifterna i Del II, men de kommer ej att betygsättas. OBS! Glöm inte att lämna in svarsbladet!

2 SWEDISH VERSION: Del I (20 poäng) består av fyra uppgifter, ppgift till 4. Varje uppgift kan ge max 5 poäng. Alla uträkningar måste visas för dessa uppgifter. Endast svar ger 0 poäng. Uppgift : a) Bestäm inversen av följande matris, om en sådan existerar: b) Betrakta följande system av ekvationer: x + y = 2 y + z = 2 x + z = 2 ax + by + cz = 0, där a, b och c är obestämda reella parametrar. Bestäm villkor på parametrarna a, b och c så att det givna systemet har i) en unik lösning för x, y och z. Ange även lösningen under detta villkor om denna lösning existerar; ii) inga lösningar för x, y och z (detta betyder att det givna systemet är inkonsistent); iii) oändligt många lösningar för x, y och z. Ange även dessa lösningar om de existerar. [5 poäng] Uppgift 2: Betrakta de två planen Π och Π 2 i R 3 : Π : x y + 3z = 0 Π 2 : 2x + y + 3z = 0. a) Bestäm skärningslinjen på parameterform av de två planen Π och Π 2.

3 b) Låt T : R 3 R 3 vara den linjära avbildning som projicerar varje vektor x i R 3 ortogonalt på denna skärningslinje av de givna planen Π och Π 2. Bestäm sedan standardmatrisen för denna avbildning T. [5 points] Uppgift 3: x + a) Beräkna x 3 4x 2 + 3x dx. b) Integralen I n = (ln x) n dx, n =, 2, 3,..., uppfyller följande reduktionsformel: Beräkna I n = x (ln x) n ni n, n =, 2, 3,.... e (ln x) 3 dx. [5 poäng] Uppgift 4: a) Bestäm arean av området som är begränsat av y-axeln och graferna till de följande funktionerna: f(x) = 4 x + och g(x) = x. b) Betrakta området R som är begränsat av graferna till de följande funktionerna: f(x) = x och g(x) = x 2 för alla 0 x. Bestäm nu volymen av den kropp som resulterar när detta område R roteras kring x-axeln. [5 poäng] Del II fortsätter på nästa sida

4 Del II (0 poäng) består av åtta uppgifter, uppgift 5 till 2, med flera svarsalternativ. Du markerar endast ett alternativ per uppgift på bifogat svarsblad. Uppgift 5 till 0 är värda poäng vardera. Uppgift och 2 är värda 2 poäng vardera. Du kan lämna in dina beräkningar för uppgifterna i Del II, men de kommer ej att betygsättas. Uppgift 5: Betrakta matrisen X = 0 a För vilket/vilka värde/n på a är matrisen X singulär (dvs X saknar invers). SVAR (Välj bara ett och markera ditt svar på svarsbladet) A: alla reella värden utom a = 0, B: alla reella värden utom a = C: a = 0, D: a = E: Inget av ovanstående. [ poäng] Uppgift 6: Betrakta följande mängd S = {v, v 2, v 3 } av vektorer i R 3 där v = 2, 0 v 2 =, a v 3 = Här är a en ospecificierad parameter. Bestäm alla värden av a så att S spänner upp R 3 dvs R 3 = span {S}. SVAR (Välj bara ett och markera ditt svar på svarsbladet) A: alla reella värden utom a =, B: alla reella värden utom a = 2 C: a =, D: a = 2 E: Inget av ovanstående. [ poäng]

5 Uppgift 7: Låt Q : (0, /3, 0) vara en punkt på ett plan i R 3 med normalvektor n = (7, 3, 0). Bestäm ekvationen för detta plan. SVAR (Välj bara en och markera ditt svar på svarsbladet) A: 3x + 7y + 0z = 7/3, B: 7x + 3y + 0z = C: (7/3)x + y + (0/3)z =, D: 7x + 0z = 0 E: Inget av ovanstående. [ poäng] Uppgift 8: Beräkna 0 f (x)f (x) dx, där f (0) = 3 och f () = 2. SVAR (Välj bara ett och markera ditt svar på svarsbladet) A: -5/2, B: 5/2 C: 5, D: 2 E: Inget av ovanstående. [ poäng] Uppgift 9: Beräkna 0 dx om möjligt. x2 SVAR (Välj bara ett och markera ditt svar på svarsbladet) A:, B: - C: 0, D: Integralen är diverget. E: Inget av ovanstående. [ poäng]

6 Uppgift 0: Vilka av följande påståenden är sanna? Påstående I: Om T är en linjär avbildning T : R n R n, så är T (0) = 0, där 0 är nollvektorn i R n. Påstående II: Systemet Ax = b, där A är en n n inverterbar matris och b är en vektor i R n, har en unik lösning. ( d x ) x Påstående III: x te t2 dt = xe x2 + te t2 dt, dx Påstående IV: Om f(x) är en jämn funktion på intervallet [, ], så är f(x) dx = 0. SVAR (Välj bara ett och markera ditt svar på svarsbladet) A: Endast Påstående I och II är sanna. B: Endast Påstående I, III och IV är sanna. C: Endast Påstående II och III är sanna. D: Endast Påstående I, II och IV är sanna. E: Endast Påstående II, III och IV är sanna. [ poäng] Uppgift : Bestäm längden av parabeln y 2 = x från (0, 0) till (, ). Givet: Du kan använda a2 + u 2 du = u ( a2 + u a2 2 ln u + ) a 2 + u 2 + C. SVAR (Välj bara ett och markera ditt svar på svarsbladet) 5 A: ln( 5 + 2), B: ln( 5 + 2) 2 C: ln( 5 + 2), D: ln( 5 + 2) E: Inget av ovanstående. [2 poäng]

7 Uppgift 2: Bestäm avståndet mellan punkten (, 4, 3) och planet 2x 3y + 6z = i R 3. SVAR (Välj bara ett och markera ditt svar på svarsbladet) A: 3, B: 5/2, C:, D: 3/7 E: Inget av ovanstående. [2 poäng] OBS! Glöm inte att lämna in svarsbladet!

8 ENGLISH VERSION: Part I: This part consists of four questions: Question, Question 2, Question 3 and Question 4. Show all your calculations when you answer these four questions. QUESTION : a) Find the inverse of the following matrix, if the matix is invertible: b) Consider the following system of four equations: x + y = 2 y + z = 2 x + z = 2 ax + by + cz = 0, where a, b and c are unspecified real parameters. Find now the condition on these parameters a, b and c, such that the above given system of equations has i) a unique solution for x, y and z. Give also this solution under your condition, if it exists; ii) no solution for x, y and z (that is, the given system of equations is inconsistent); iii) infinitely many solutions for x, y and z. Give also these solutions if those exist. [5 points] QUESTION 2: Consider the following two planes, Π and Π 2, in R 3 : Π : x y + 3z = 0 Π 2 : 2x + y + 3z = 0. a) Find the line of intersection of the above two planes, Π and Π 2, in scalar parametric form.

9 b) Let T : R 3 R 3 denote the linear transformation that projects every vector x in R 3 orthogonal onto the line of intersection of the given planes, Π and Π 2. Find now the standard matrix for this transformation T. [5 points] QUESTION 3: x + a) Evaluate x 3 4x 2 + 3x dx. b) The integral I n = (ln x) n dx, n =, 2, 3,..., admits the following reduction formula: Evaluate I n = x (ln x) n ni n, n =, 2, 3,.... e (ln x) 3 dx [5 points] QUESTION 4: a) Find the area of the region bounded by the y-axis and the graphs of the functions f(x) = 4 x + and g(x) = x. b) Consider the region R bounded by the graphs of the functions f(x) = x and g(x) = x 2 for all 0 x. Find now the volume of the solid that results when this region R is revolved about the x-axis. [5 points] Part II follows on the next page...

10 Part II: This part consists of eight questions. Question 5 to Question 0 are worth one point each, whereas Question and Question 2 are worth two points each. Multiple-choice answers are given for each of these eight questions. You must choose one answer for each question and mark your choice on the Answers Sheet provided. You may also submit your calculations of the questions in part II, but your calculations in Part II will not be graded. QUESTION 5: Consider the matrix 0 a X = For which value(s) of a is the matrix X singular (a singular matrix is a square matrix that has no inverse). ANSWER (Choose only one and mark your answer on the Answer Sheet): A: all real values, except a = 0, B: all real values, except a = C: a = 0, D: a = E: None of the above. [ point] QUESTION 6: Consider the following set S = {v, v 2, v 3 } of vectors in R 3, where 0 a v = 2, v 2 =, v 3 = Here a is an unspecified parameter. Find all values of a such that S spans R 3, i.e. R 3 = span {S}. ANSWER (Choose only one and mark your answer on the Answer Sheet): A: all real values, except a =, B: all real values, except a = 2 C: a =, D: a = 2 E: None of the above. [ point]

11 QUESTION 7: Let Q : (0, /3, 0) be a point on a plane in R 3 with normal vector n = (7, 3, 0). Find the equation of the plane. ANSWER (Choose only one of the following options): A: 3x + 7y + 0z = 7/3, B: 7x + 3y + 0z = C: (7/3)x + y + (0/3)z =, D: 7x + 0z = 0 E: None of the above. [ point] QUESTION 8: Evaluate 0 f (x)f (x) dx, where f (0) = 3 and f () = 2. ANSWER (Choose only one and mark your answer on the Answer Sheet): A: -5/2, B: 5/2 C: 5, D: 2 E: None of the above. [ point] QUESTION 9: Evaluate 0 dx if possible. x2 ANSWER (Choose only one and mark your answer on the Answer Sheet): A:, B: - C: 0, D: The integral diverges. E: None of the above. [ point]

12 QUESTION 0: Which of the following statements are true? Statement I: If T is a linear transformation, T : R n R n, then T (0) = 0, where 0 is the zero vector in R n. Statement II: The system Ax = b, where A is an n n invertible matrix and b is a vector in R n, admits a unique solution. ( d x ) x Statement III: x te t2 dt = xe x2 + te t2 dt, dx Statement IV: If f(x) is an even function on [, ], then f(x) dx = 0. ANSWER (Choose only one and mark your answer on the Answer Sheet): A: Only statements I and II are true. B: Only statements I, III and IV are true. C: Only statements II and III are true. D: Only statements I, II and IV are true. E: Only statements II, III and IV are true. [ point] QUESTION : Find the length of the arc of the parabola y 2 = x from (0, 0) to (, ). Note: You may use a2 + u 2 du = u ( a2 + u a2 2 ln u + ) a 2 + u 2 + C. ANSWER (Choose only one and mark your answer on the Answer Sheet): 5 A: ln( 5 + 2), B: ln( 5 + 2) 2 C: ln( 5 + 2), D: ln( 5 + 2) E: None of the above. [2 points]

13 QUESTION 2: Find the distance between the point (, 4, 3) and the plane 2x 3y + 6z = in R 3. ANSWER (Choose only one and mark your answer on the Answer Sheet): A: 3, B: 5/2, C:, D: 3/7 E: None of the above. [2 points] Achtung! Don t forget to hand in your Answer Sheet!