En sammanfattning av. En första kurs i mekanik

Transkript

1 En sammanfattning av En första kurs i mekanik Tony Burden Institutionen för mekanik, KTH, Stockholm Version 0.04 april 2005 Förord Denna lunta är en sammanfattning av kursboken, A First Course in Mechanics av Mary Lunn, för kursen 5C1105 Mekanik för datorteknik vid KTH. Sammanfattningen förutsätter att teknologerna har kursboken till hands när de studerar. Några tillägg har gjorts utifrån föreläsningarna och för det mesta ges dessa tillägg inom parentes. Sammanfattningen är TILLÅTEN SOM HJÄLPMEDEL vid skriftlig examination inom kursen 5C

2 Contents 1 Newtons lagar 3 2 Centralrörelse 7 3 Energi 10 4 Roterande referensramar 15 5 Partikelsystem 17 6 Stela kroppar 19 A Appendix 20 2

3 1 Newtons lagar 1.1 Inledning Johannes Kepler analyserade Tycho Brahes mycket omfattande och noggranna observationer av planeternas och stjärnornas rörelser och formulerade tre lagar: 1. Varje planet rör sig i en ellips med en brännpunkt i solen. 2. Den yta som en rak linje från solen till en planet sveper per tidsenhet är konstant. 3. För varje planet är kvadraten på omloppstiden proportionell mot kuben av den elliptiska banans storaxel. Dessa lagar sammanställer empirisk information om planternas banor men de avlsöjar inte de rörelselagar som bestämmer dessa banor. Isaac Newton formulerade lagar och modeller som kunde förutsäga de banor som Brahe och Kepler hade observerat. Dessa problemställningar diskuterades flitigt i The Royal Society i London under 1600-talet och det är oklart i vilken grad, om någon, Halley, Hooke och Wren med flera har bidragit till Newtons arbete publicerade Newton sina tre lagar i Principia mathematica philosophiae naturalia : 1. Varje kropp förblir i sitt tillstånd av vila eller likformig och rätlinjig rörelse om den ej tvingas av påverkande krafter att förändra detta tillstånd. 2. Ändringen i rörelsekvantiteten är proportionell mot tryckande kraften och sker längs den räta linje i vilken denna kraft verkar. 3. Motverkan är alltid motsatt och lika stor som verkan: eller två kroppars ömsesidiga verkningar på varandra äro alltid lika stora och riktade åt motsatt håll. (Ur den svenska översättningen av C.V.L. Charlier, 1927, 1931.) Dessutom formulerade Newton en modell för gravitationskraften, eventuellt samtidigt som eller i diskusion med de andra i Royal Society. Långt efter Newton och Halley hade dött återkom Halleys komet precis när Newton hade förutsagt att den skulle göra det. Avgränsningarna till det giltiga tillämpningsområdet för Newtons lagar ges av kvantfysikaliska och relativistiska fenomen. 1.2 Beskrivning av rörelse Definition 1.1 En partikel är en så kallad punktmassa som har massa men inte volym eller form. En partikels lägesvektor skrivs, r = r(t). Den beror på tiden och beskriver partikelns bana genom rummets tre dimensioner. 3

4 Definition 1.2 En partikels hastighet är, v = d r dt = r, och dess acceleration är, a = d2 r dt 2 = r. Hastighet (eng.: velocity) och acceleration är vektorer. (Hastighetsvektorns belopp, v = v, kallas fart (eng.: speed). Observera att v = r ṙ generellt.) Exempel 2 Rörelse på en cirkel med θ = ω konstant. r = R cos θ î + R sin θ ĵ r = R θ sin θ î + R θ cos θ ĵ r = R θ 2 cos θ î R θ 2 sin θ ĵ (Se också avsnitt 2.2.) 1.3 Krafter En kraft har både belopp och riktning och måste anges av en vektor. (En kraft verkar dessutom vid en angreppspunkt men inledningsvis är angreppspunkten den partikel vars rörelse vi studerar.) Exempel a Gravitationskraften: F = Gm 1m 2 r 2 ˆr. Kraften drar partiklarna mot varandra. Exempel b Tyngdkraften på jordens yta: F = mg ˆk, där ˆk pekar vertikalt uppåt och, g = 9,81 m/s Newtons andra lag Definition 1.3 Ett tröghetssystem är en referensram i vilken Newtons lagar gäller. (Detta utvecklas vidare i avs 1.7 och kap 4.) 4

5 NLII Newtons andra lag m r = i F i = F. En partikels acceleration, multiplicerad med dess massa, är lika med summan av alla krafter som verkar på partikeln. Acceleration och massa är vektorstorheter med både belopp och riktning. Definition 1.4 En partikels röreslsemängd är, p = m r = m v. Newtons andra lag kan nu skrivas, d dt p = i F i = F. Ändringen med tiden av en partikels rörelsemängd är lika med summan av alla krafter som verkar på partikeln. 1.5 Rörelse i en dimension Exempel 1 Den enklaste modellen för en motståndskraft (eng.: drag) vid rörelse genom luft, vatten eller någon annan fluid är, F = λ v. (Detta gäller främst vid låga hastigheter. Mer precist ska reynoldstalet för rörelsen vara av storleksordning 1 eller mindre.) Exempel 2 Den enklaste modellen för den kraft som ett fjäder verkar med är, F = k(x a)î, där k är fjäderkonstanten och x = a är partikelns läge då fjädret inte är spänt. Denna relation kallas Hookes lag. (Det kan vara intressant att notera att kraften i ett elastiskt snöre ges av Hookes lag för x > a men försvinner för x < a förutsatt att snöret dras ut när x ökar.) Exempel 3 Den enklaste modellen för dämpning i ett fjäder är en motståndskraft, F = r ẋ î. (Blanda inte ihop dämpningskoefficien r med beloppet av lägesvektorn r = r.) 5

6 Problemlösning Exemplena i bokens första kapitel visar att det finns fyra tydliga steg när ett problem ska lösas inom mekanik. 1. Rita ett diagram som visar dels samtliga krafter dels koordinatsystemet med dess origo. (Detta steg är så viktigt att det skulle kunna presenteras som två steg med kraftdiagrammet och koordinatsystemet var för sig.) 2. Ställ upp rörelseekvationen, eller ekvationerna, med utgångspunkt i Newtons andra lag. (Andra lagen är en vektorekvation så den riktning eller komponent som en skalär ekvation representerar måste tydligt anges.) 3. Lös differentialekvationen, eller ekvationerna, och utnyttja de begynnelsevillkor som är givna. 4. Tolka den matematiska lösningen som en modell av en fysikalisk verklighet. (Även detta steg kan sägas innehålla två delar; tolkning av matematik och diskussion av den ursprungliga modellen.) (Dessutom ska man kontrollera att mer eller mindre invecklade matematiska uttryck har korrekt fysikalisk dimension.) (Det är varje lärares erfarenhet att detta struktuerade sätt att lösa problem hjälper nybörjare att undvika de vanliga fel som nybörjare kan göra. Dessutom är det klart bevisat genom forskning att struktuerad problemlösning möjliggör för både nybörjare och experter att lösa svårare problem än de annars skulle kunna lösa. Riktlinjerna ovan utgör normen vid granskning av kursdeltagarnas lösningar inom kurs 5C1105.) 1.6 Rörelse i två eller tre dimensioner (Detta avsnitt i kursboken innehåller enbart exempel, d v s problem snarare än teori.) 1.7 Rörliga referensramar Sats 1.1 Låt S vara en referensram i vilken Newtons lagar gäller, d v s S är ett tröghetssystem (definition 1.3). En annan referensram S som rör sig med konstant hastighet U relativt S är också ett tröghetssystem. (Medan man håller på att utveckla sin förståelse kan man tänka koordinatsystem i stället för referensram. Referensram är dock ett mer generellt begrepp eftersom vi kan definera många olika koordinatsystem för att beskriva rörelse i en och samma referensram. Kursboken skiljer inte helt mellan dessa två begrepp.) Sats 1.2 En referensram S, O x y z, är ett tröghetssystem om, (i) O rör sig längs en rak linje med konstant hastighet i ett känt tröghetssystem S, O x y z, och (ii) axlarna O x y z i S har konstanta riktningar relativt axlarna O x y z i det kända tröghetssystemet S. 6

7 2 Centralrörelse 2.1 Centrala krafter och rörelsemängdsmoment Gravitationskraften mellan två kroppar, t ex jorden och solen, är, GMm r 2, (2.1) där M och m är de två kroppars massor, r är avståndet mellan dem och, G = 6, Nm 2 /kg 2. Definition 2.1 En central kraft som verkar på en partikel beror enbart av partikelns lägesvektor r = r ˆr och kan skrivas i formen, F = F (r) ˆr, (2.2) när origo väljs att ligga i kraftens centrum. När en partikel rör sig under påverkan av en central kraft blir Newtons andra lag för partikeln, m r = F (r) ˆr. (2.3) Definition 2.2 En partikels rörelsemängdsmoment med avseende på punkten O är, L O = r m v, (2.4) där r är partikelns lägesvektor, när punkten O och origo sammanfaller, och betecknar vektorprodukten mellan lägesvektorn och partikelns rörelsemängd p = m v. (Detta är inte den mest generella definitionen av detta viktiga begrepp men i detta kapitel betraktar vi enbart rörelsemängdsmoment med avseende på kraftcentrum och vi väljer alltid origo i detta kraftcentrum.) Sats 2.1 När en partikel rör sig under påverkan av enbart en central kraft med kraftcentrum O; 1. partikelns rörelsemängdsmoment med avseende på O är konstant, och 2. partikeln rör sig i ett plan som passerar genom O och som har normalriktning parallell med L O. Om L O = 0 är partikelns bana en rak linje genom O. 7

8 2.2 Rörelseekvationerna i cylinderkoordinater (2-dim.) När lägesvektorn skrivs i formen, blir hastigheten, och accelerationen, r = r ˆr, r = ṙ ˆr + r θ ˆθ, (2.7) r = ( r r θ 2 ) ˆr + (r θ + 2ṙ θ) ˆθ = ( r r θ 2 ) ˆr + 1 r d dt (r2 θ) ˆθ. (2.8) När partikeln rör sig under påverkan av en central kraft blir Newtons andra lag, [ m ( r r θ 2 ) ˆr + 1 ] d r dt (r2 θ) ˆθ = F (r) ˆr, (2.9) med r-komponent, och θ-komponent, Rörelsemängdsmomentet är, m( r r θ 2 ) = F (r), (2.10) m r L O d dt (r2 θ) = 0. (2.11) = m r 2 θ ˆn, där ˆn = ˆr ˆθ är den konstanta enhetsvektor som anger normalen till det plan som partikeln rör sig i. Sats 2.2 När en partikel rör sig under påverkan av enbart en central kraft med kraftcentrum O; 1. rörelsemängdsmomentets belopp är konstant, L O = mh, där r 2 θ = h, (2.12) 2. och r-komponenten av Newtons andra lag kan skrivas i formen, ( ) m r h2 = F (r), (2.13) r Banberäkningar Sats 2.3 När en partikel påverkas av enbart en central kraft bestäms dess bana av, där u = 1/r. d 2 u dθ 2 + u = F (1/u) mh 2 u 2, (2.14) 8

9 Bevis av, När r(t) byts ut mot 1/u(θ) ges den radiella komponenten av hastigheten och dess tidsderivata av, ṙ = h du dθ, (2.15) r = h 2 u 2 d2 u dθ 2. (2.16) Ekvation (2.13) med ekvation (2.16) ger ekvation (2.14). Gravitationskraften mellan en partikel och en sfäriskt symmetrisk kropp med massa M är densamma som mellan partikeln och en partikel med massa M, förutsatt att partikeln befinner sig utanför kroppen. Det är som om hela kroppens massa var fokuserad till dess mittpunkt. Example 1 För en partikel som rör sig under gravitationskraften (2.1) blir rörelseekvationen (2.14), d 2 u dθ + u = γ 2 h, 2 där γ = GM. Den allmänna lösningen till denna ekvation kan skrivas i formen, 1 r = u = γ h 2 ( 1 + e cos(θ + ε) ). (2.17) Denna form visar att partikelns bana är en cirkel, en ellips, en parabel eller en hyperbel beroende på värdet hos eccentricitetet e. Fasvinkeln ε bestämmer hur banan ligger relativt linjen θ = 0. Se appendixet. 2.4 Cirkulära banors stabilitet (Detta avsnitt ingår inte i kursen.) 2.5 Andra exempel (Detta avsnitt i kursboken innehåller enbart exempel, d v s problem snarare än teori.) 9

10 3 Energi 3.1 Rörelse i en rumsdimension I detta avsnitt (3.1) betraktar vi en partikel som rör sig i en enda dimension under påverkan av en kraft som inte beror på mer än partikelns läge. Newtons andra lag lyder, Partikelns rörelseenergi är, mẍ = F (x). (3.1) 1 2 mẋ2 = 1 2 mv2. Det arbete som kraften utför på partikeln kan beskrivas som potentiell energi hos partikeln. Definition 3.1 Den potentiella energi, V (x), som en kraft F (x) ger upphov till är, V (x) = x F (x )dx, vilket innebär att, F (x) = dv dx. Den potentiella energin, V (x), innefattar därmed en godtycklig additiv konstant. (Ett byte från V (x) till V (x) + C saknar fysikalisk betydelse.) Sats 3.1 När den totala kraft som verkar på partikeln ges av en potentiell energi är partikelns totala energi konstant, där E är partikelns totala energi. 1 2 mẋ2 + V (x) = E = konstant, (3.2) Tyngdkraften på jordens yta. När x-axeln väljs att peka vertikalt uppåt ger tyngdkraften, F = mg, upphov till potentiell energi, V (x) = mgx. Nivån x = 0 kan anpassas till den aktuella problemställningen. 10

11 Exempel 1 Fjäderkraft När ett fjäder som kan beskrivas med Hookes lag verkar på partikeln med en kraft, F = k(x a), där k är fjäderkonstanten och x = a är partikelns läge då fjädret inte är spänt, ges den motsvarande potentiella energin av, V (x) = 1 2 k(x a)2 + C, där C = 0 är det vanligaste valet. Kom ihåg att hela detta avsnitt (3.1) gäller enbart rörelse i en dimension under inverkan av en kraft som beror som mest på partikelns läge. 3.2 Konservativa krafter i två eller tre dimensioner Definition 3.2 Det arbete som utförs av en kraft då dess angreppspunkt förflyttar sig en liten sträcka δr är, δw = F. δr. (3.7) I en dimension blir ekv (3.7), δw = F δx = δv, (om kraften F kan beskrivas av en potentiell energi V ). När kraftens angreppspunkt, d v s partikeln, flyttar sig längs partikelns bana från punkt A till punkt B utför kraften arbete, på partikeln. W = B A F.d r, (3.8) Definition 3.3 En kraft sägs vara konservativ om det arbete som den utför då dess angreppspunkt förflyttar sig runt en sluten kurva är noll, C F.d r = 0. (3.9) Sats 3.2 Var och en av de fyra egenskaper hos en kraft, F, som ges nedan är helt ekvivalent med de övriga tre egenskaperna: (i) C F.d r = 0 för alla slutna kurvor C. (ii) B A F.d r är oberoende av den bana som följs från punkten A till punkten B. (iii) rot F = 0 i varje punkt. (iv) Det finns en skalär funktion φ sådant att F = grad φ. 11

12 Definition 3.4 Om kraften F är konservativ ges den av en funtion φ genom, F = grad φ, (3.10) och φ kallas den potentiella energi som hör ihop med kraften. Ett byte från φ( r) till φ( r) + C saknar fysikalisk betydelse. Definition 3.5 grad φ = φ grad φ = φ x î + φ y ĵ + φ z ˆk. (3.11) Observera att grad φ är en vektor. Under förutsättningarna i avs 3.1 leder F = F (x)î till F = dφ î. dx När ekvation (3.10) används tillsammans med ekvation (3.7) ges det arbete som utförs av en konservativ kraft när dess angreppspunkt förflyttar sig en liten sträcka av, δw = F. δr = (grad φ). δr = ( ) φ φ φ δx + δy + x y z δz = δφ. (3.12) (Ekvation (3.12) eller ekvationerna (3.8) och (3.10) tillsammans leder vidare till, B A F.d r = W = dw = dφ = ( φ( r B ) φ( r B ) ) = φ, för det arbete som utförs av en konservativ kraft när partikeln rör sig längs dess bana från punkt A till punkt B.) 3.3 Energi i två eller tre dimensioner Grundekvationen är fortfarande Newtons andra lag, m r = F. (3.13) ( F kan vara summan av ett antal krafter som verkar på partikeln och denna generalitet inverkar på notationen. Se definition 3.7 nedan.) Definition 3.6 En partikeln med massa m och hastighet v har rörelseenergi, 1 2 mv2 = 1 2 m v 2 = 1m r 2. 2 (Observera! r 2 ṙ 2.) 12

13 Definition 3.7 Om den totala kraft som verkar på partikeln ges av en kraftsumma, F = i F i, i vilken varje enskild kraft F i är konservativ med potentiell energi φ i, ges partikelns potentiella energi av, V = φ i. (3.14) i (Benämningen lägesenergi förekommer också på svenska.) Sats 3.3 Under de förutsättningar som anges i definition 3.7 ges partikelns potentiella energi av det arbete som kraftsumman utför på partikeln, V = F.d r δv = F.d r. Kraftsumma är därmed själv konservativ, F = gradv. (3.15) Sats 3.4 Om alla de krafter som utför arbete under partikelns rörelse är konservativa är partikelns totala energi konstant, 1 m r 2 + V ( r) = E = konstant (3.16) 2 Sats 3.4 och ekv (3.16) kallas ofta energilagen på svenska. Summan av partikelns rörelseenergi och potentiella energi är konstant när enbart konservativa krafter verkar på partikeln. Motståndskrafter som orsakas av olika former av friktion och dämpning är inte konservativa. De omvandlar mekanisk energi, E, till termisk eller inre energi, d v s värme. Bra eller användbar energi tenderar att gå förlorad och krafterna sägs vara dissipativa. Frånvaron av dissipativa krafter och bevarandet av partikelns energi, E, är nära kopplat till förekomsten av slutna banor som upprepas i tid, t ex jordens bana runt solen. 3.4 Centrala krafter Centrala krafter är konservativa. Sats 3.2 Den centrala kraften F ( r) = F (r)ˆr är konservativ och den associerade potentiella energin är, φ(r) = r F (r )dr, (3.17) Bevis Med origo i kraftcentrum fås, grad φ(r) = φ x î + φ y ĵ + φ z ˆk = φ r r x î + φ r 13 r y ĵ + φ r r z ˆk

14 ( x = φ (r) r î + y r ĵ + z ˆk) r = φ (r) 1 r ( x î + y ĵ + z ˆk) = φ (r) 1 r r = φ (r) ˆr, så, F = grad φ φ (r) = F (r) φ(r) = r F (r )dr. Följdsats 1 Energilagen för en partikel som rör sig under påverkan av enbart en central kraft är, r 1 m r 2 2 F (r )dr = E. (3.18) (I ekvation (3.18), i cylinderkoordinater och, 1 m r 2 = mṙ mr2 θ2, r F (r )dr = φ(r) = V (r), där φ är den potentiella energin associerad med kraften F och V (r) är partikelns potentiella energi. I följdsats 1 till sats 3.5 finns det bara en kraft så V = φ.) Följdsats 2 När den centrala kraften som verkar på en partikel är tyngdkraften, F (r) = GMm/r 2 (2.1), på grund av en annan partikel är den potentiella energin, och energilagen blir, V (r) = GMm, r 1 m r 2 GMm 2 r = E. (3.19) 3.5 Rörelse på en yta under inverkan av tyngdkraften (Avsnitt 3.5 ingår inte i kursen eftersom de matematiska beskrivningarna av ytans geometri och partikelns bana blir lätt invecklade. Det är dock givande att notera att den normala komposanten hos kontaktkraften inte utför arbete eftersom dess angreppspunkt, d v s partikeln, rör sig enbart vinkelrätt mot kraften.) 14

15 4 Roterande referensramar 4.1 Inledning (Läs den! En halv sida bara.) 4.2 Rotation runt en gemensam z-axel. Vi utgår ifrån en referensram S med koordinataxlar i riktningarna e 1, e 2, e 3. (Tanken är att denna referensram är känd för att utgöra ett tröghetsssytem.) Vi analyserar rörelse i en annan referensram S som roterar med vinkelhastighet θ runt e 3 och som har koordinataxlar i riktningarna e 1, e 2 och e 3 = e 3. e 1 = cos θ e 1 + sin θ e 2 e 2 = sin θ e 1 + cos θ e 2 e 1 = d dt e 1 = θ sin θ e 1 + θ cos θ e 2 e 2 = d dt e 2 = θ cos θ e 1 θ sin θ e 2 Vi kan skriva, e i = d dt e i = θ e 3 e i för i = 1, 2, 3. θ e 3 = θ e 3 är vinkel- eller rotationshastighetsvektorn. (Observera notationsbytet! Kursboken byter mellan avs 4.2 och avs 4.3. Föreläsningarna och denna sammanfattning byter mellan kapitel 1 och kapitel 4. Alla vektorer e är nu enhetsvektorer, e. e = 1, d v s de är riktningar. I ekvationerna ovan kan e 1 och e 2 jämföras med ˆr och ˆθ, e 1 = θ e 2 och e 2 = θ e 1.) 4.3 Rotationshastighetsvektorn Sats 4.1 Låt referensramarna S och S har ett gemensamt origo och låt S roterar relativt S. (Tanken är att S är känd för att vara ett tröghetsssytem.) I så fall ges ändringen med tiden av basvektorerna, e 1, e 2 och e 3, i S av, e i = ω e i, (4.1) där ω är rotationshastighetsvektorn för S relativt S. (Ekvation (4.1) är en generalisering av avs 4.2 där ω = θ e 3 = θ e 3, d v s ω är konstant. Generellt behöver inte ω vara konstant.) (Beviset att rotationshastighetsvektorn existerar brukar betraktas som överkurs inom mekanik vid KTH. Det andra beviset i kursboken utnyttjar dock linjär algebra som kan vara känd av D-teknologer och relevant för numerisk hantering av matriser.) Följdsats 1 Rotationshastighetsvektorn är unik. 15

16 Följdsats 2 Låt referensramen S roterar med ω relativt referensramen S. Ändringen med tiden av en godtycklig vektor x kan skrivas, d x dt = d x dt där, d x = dx i dt dt e i = ẋ i e i, när x ges i termer av komponenter i S av, x = x i e i. + ω x, (4.2) Exempel a Rullning utan glidning En cylinder med radie a rullar utan glidning i x-riktningen. Se fig 4.4. Cylinderns vinkelhastigeht ω = θ är kopplad till hastigheten v = dx genom, dt δx = aδθ v = dx dt = a dθ dt = a θ = aω. (Utifrån kap 5, 6 och 7 skulle man säga att v = v G är hastigehten hos cylinderns masscentrum.) 16

17 5 Partikelsystem (Vi använder partikelsystem som en inkörsport till stela kroppars rörelse.) 5.1 Masscentrums rörelse. Vi betraktar ett antal partiklar, ett s k partikelsystem. Partikel nr i har massa m i och läge r i. De krafter som verkar på partikel nr i är dels F ij (j i) från de andra partiklarna och dels F i som har sitt ursprung eller orsak utanför själva partikelsystemet. Krafterna F i sägs vara yttre krafter medan krafterna F ij sägs vara inre krafter. Enligt Newtons andra lag är rörelseekvationen för partikel nr i, m i ri = j i F ij + F i. (5.2) NLIII Newtons tredje lag Motverkan är alltid motsatt och lika stor som verkan. Enligt denna lag, F ji = F ij Fij + F ji = 0. (5.1) Se fig 5.1. Definition 5.1 R = r G ges av, Ett partikelsystems masscentrum defineras av att dess lägesvektor R = i m i r i m totr = m i r i, (5.3) m tot i där m tot = m i är partikelsystemets sammanlagda massa. ( R = r G är ett viktat medelvärde av partiklarnas lägen. Kursboken använder M för massan i partikelsystemet men vi använder m tot eftersom M kommer att användas för kraftmoment längre fram.) Sats 5.1 Ett partikelsystems masscentrum rör sig som om systemets massa var samlad i dess masscentrum och påverkades av enbart de yttre krafterna; m tot R = F i. (5.4) Följdsats 5.1 Masscentrum hos ett partikelsystem som inte påverkas av yttre krafter rör sig med konstant hastighet. Därmed kan det fungera som origo i ett tröghetssystem. (Se avs 1.7 och kap 4.) 17 i

18 5.2 Rörelsemängdsmoment och kraftmoment. Följande definition 2.2 ges partikelsystemets rörelsemängdsmoment med avseende på origo av, L O = r i m i v i. (5.8) i ( Rörelsemängdsmomentet med avseende på en annan punkt A ges av, L A = i ( r i r A ) m i v i, där r i r A = AP i är avståndsvektorn från A till partikel nr i. När alla partiklar rör sig i parallella plan med samma normalriktning ˆn ges partikelsystemets rörelsemängdsmoment av, L O = ± L O ˆn, där, L O = i m i ρ i v θ,i, och ρ i är det vinkelrätta avståndet mellan partikel nr i och en axel med riktning ˆn genom origo. +-tecknet gäller om ˆn har samma riktning som i avs 2.2. ) Definition 5.2 En krafts moment med avseende på origo är, ( MO = ) r F F, (5.9) där r F är en (godtycklig) punkt på kraftens verkningslinje (d v s den linje som går genom ( kraftens angreppspunkt med samma riktning som kraften själv). MO = 0 när verkningslinjen går genom origo. När den inte gör det definerar kraftens verkningslinje tillsammans med origo ett plan. Kraftmomentet ligger i normalriktningen till detta plan och har belopp, M O = ρ F F, där ρ F är det vinkelrätta avståndet mellan kraftens verkningslinje och origo. Jämför en hävarm. Riktningen hos M O bestäms av högerhandsregeln. ) Sats 5.2 Ändringen med tiden av ett partikelsystems rörelsemängdsmoment med avseende på origo ges av summan av de yttre krafternas moment med avseende på origo; d L dt O = r i ( ) F i = M Oi, (5.10) i i förutsatt att ekv (5.1) gäller. (För rotation kring en axel med fix riktning fås d dt L O = M Oi.) 18

19 6 Stela kroppar 6.1 Frihetsgradar. Definition 6.1 En stel kropp är en (oändligt stor) samling partiklar sådan att partiklarnas lägen relativt varandra förblir oförändrade när kroppen som helhet rör på sig. Kroppen har därmed konstant storlek, form och massfördelning. Sats 6.1 En stel kropps rörelse utan tvång har sex frihetsgradar. Bevis Se fig 6.1. En vald punkt i kroppen, t ex dess masscentrum (G), har tre frihetsgradar i rummets tre dimensioner. En till vald punkt (A) har två frihetsgradar då den kan röra sig på en sfärisk yta runt G. Tillsammans definerar G och A en axel och en tredje vald punkt (B) har en frihetsgrad då den kan röra sig i en cirkel runt denna axel = 6. (I denna kurs betraktar vi huvudsakligen plan rörelse hos stela kroppar. Då har kroppen enbart tre frihetsgradar. En vald punkt fix i kroppen, t ex dess masscentrum, kan röra sig i planets två dimensioner vilket ger två frihetsgradar. När den valda punktens läge har bestämts kan kroppen rotera kring en axel genom punkten och med en fix riktning vinkelrätt mot planet. Det ger ytterligare en frihetsgrad. Sammanlagt har kroppen = 3 frihetsgradar. Oftast betraktar vi kroppar som roterar kring en fix axel med en enda frihetsgrad.) 6.2 Vinkelhastighet. Sats 6.4 I all rörelse hos en stel kropp finns det en vinkelhastighetsvektor ω sådan att hastigheterna v A och v B vid två godtyckliga punkter A och B i kroppen satisfierar, v B = v A + ω r AB, (6.1) där r AB = r B r A är B:s läge relativt A och ω är oberoende av valet av A och B. ( Motsvarande uttryck vid rotation kring en fix axel är v P = v Pˆθ där vp = ρ P ω och ρ P är det vinkelrätta avståndet från punkten P till axeln. ˆθ definerades i kapitel 2. ) 6.3 Rörelseekvationerna. Rörelsemängd Sats 6.4 Ändringen med tiden av kroppens rörelsemängd ges av summan av de yttre krafterna som verkar på kroppen; m d dt v G = i F i, (6.4) där m är kroppens massa och v G är masscentrums hastighet. (Kursboken använder M för kroppens massa men vi använder m eftersom M används för kraftmoment. I denna sammanfattning behålls G i v G.) 19

20 A Appendix A.1 Kägelsnitt i cylinderkoordinater När origo ligger i en brännpunkt har alla kägelsnitt formen, c r = 1 + e cos θ, i cylinderkoordinater. Observera att origo inte ligger i kägelsnittets mittpunkt utan i en av dess brännpunkter. Ekvationen beskriver olika kurvor beroende på värdet hos eccentricitetet e e < 1, en ellips; e = 0, en cirkel; 2. e = 1, en parabel; 3. e > 1, en hyperbel. 20