3. Mekaniska vågor i 2 (eller 3) dimensioner

Transkript

1 3. Mekaniska vågor i 2 (eller 3) dimensioner Brytning av vågor som passerar gränsen mellan två material Eftersom utbredningshastigheten för en mekanisk våg med största sannolikhet ändras då den passerar över gränsen mellan två olika material kommer vågens utbredningsriktning också att ändras (utom i det fall då vågen infaller vinkelrätt mot gränsen mellan materialen): material 1 t = 0 t = a t = 2a Utbredningshastighet i material 1: v 1 x 1 x 1 material 2 Utbredningsriktning i material 1 v 1 > v 2 Utbredningshastighet i material 2: v 2 x 2 x 2 Utbredningsriktning i material 2 Fig. 3.1 Fig. 3.1 visar förloppet när en rak vågfront (heldragen linje representerar vågtoppen) rör sig fram mot och passerar gränsen till ett annat material, i fallet då vågens utbredningsriktning inte är vinkelrät mot gränsen mellan materialen. Under tiden t = a hinner vågtoppen i t = 0 att förflytta sig sträckan x 1 i material 1, men endast sträckan x 2 i material 2 eftersom utbredningshastigheten v 2 för vågen är lägre i material 2 än i material 1. När tiden gått ytterligare a sekunder (t = 2a) har vågtoppen hunnit sträckan 2x 1 i material 1 men bara 2x 2 i material 2. [ x = vt vilket ger x 2 = v 2 a, x 2 /v 2 = a och x 1 = v 1 a, x 1 /v 1 = a och således x 2 /v 2 = x 1 /v 1, x 2 = x 1 v 2 /v 1. Om v 1 > v 2 fås att x 2 < x 1 ]. Vi ser alltså att utbredningsriktningen för en våg som passerar över gränsen till ett annat material kommer att ändras om utbredningshastigheten är olika i de olika materialen. Man brukar prata om att vågorna bryts då de passerar över gränsen mellan två olika material.

2 Brytningslagen I Fig. 3.2 ges en mer matematisk bild av samma situation. Redan för det endimensionella fallet kunde konstateras att frekvensen för vågrörelsen inte ändras då vågorna passerar över gränsen till ett nytt material. En konsekvens av detta är ju då att våglängden för vågrörelsen kommer att ändras när vågen passerar över gränsen till det nya materialet om vågornas utbredningshastighet är en annan i det nya materialet (v = f λ ska ju alltid gälla, så om v ändras och f är konstant måste våglängden ändras). Detta kan också konstateras från Fig Vad finns det då för samband mellan utbredningshastighet, våglängd och utbredningsriktning för vågrörelsen i de olika materialen. I Fig. 3.2 ges två vågtoppar som båda delvis passerat gränsen mellan materialen. I material 1 har vågen våglängden λ 1, utbredningshastigheten v 1 och en utbredningsriktning som bildar vinkeln i mot normalen till gränsytan (denna vinkel kallas infallsvinkeln). I material 2 har vågen våglängden λ 2, utbredningshastigheten v 2 och en utbredningsriktning som bildar vinkeln b mot normalen till gränsytan. material 1 vågtopp λ 1 i vågtopp material 2 utbrednings-riktning material 1 90-i utbrednings-riktning material 2 i 90-b vågtopp λ 2 b r vågtopp Fig. 3.2 Från figuren ovan ser man att sträckan r kan räknas fram både från våglängden för vågen i material 1 λ 1 och från våglängden i material 2 λ 2. Vi får: Cos(90-i) = λ 1 /r r = λ 1 /cos(90-i) r = λ 1 /sin i Cos(90-b) = λ 2 /r r = λ 2 /cos(90-b) r = λ 2 /sin b λ 1 /sin i = λ 2 /sin b λ 1 /λ 2 = sin i/sin b

3 Vi ser alltså att våglängderna hos vågen i de båda materialen kan relateras till utbredningsriktningarna för vågen i de olika materialen (genom de vinklar dessa riktningar bildar mot normalen till gränsytan/ gränslinjen). Även vågens utbredningshastigheter kan fås ur sambandet då vi vet att frekvensen är densamma i båda materialen: v 1 /v 2 =( f λ 1 )/(f λ 2 ) = sin i/sin b Böjning (Refraktion) och interferens Superpositionsprincipen ligger till grund för fenomenet interferens som är besläktat med stående vågor. Huygens princip kan också vara till viss hjälp för att reda ut det här med böjning av vågor och interferens. Huygens princip: Varje punkt i rymden som nås av en puls eller våg kan antas fungera som en ny vågkälla som skickar ut vågen i alla riktningar (som det är möjligt att skicka ut vågen i). 4:e nodlinjen vågtoppar 3:e nodlinjen (vågen från A har 5λ/2 kortare väg hit än vågen från B) B A 2:a nodlinjen 1:a nodlinjen (vågen från A har λ/2 kortare väg hit än vågen från B) 1:a nodlinjen 2:a nodlinjen (vågen från B har 3λ/2 kortare väg hit än vågen från A) λ 3:e nodlinjen 4:e nodlinjen (vågen från B har 7λ/2 kortare väg hit än vågen från A) Fig. 3.3

4 Antag att en våg med rak vågfront kommer fram till en vägg med två små hål i, se Fig. 3.3: Från hålen (A och B) kommer vågen nu enligt Huygens princip att utbreda sig i alla riktningar som den kan utbreda sig i, dvs vågtopparna kommer att röra sig framåt i fom av halvcirklar från de båda hålen enligt figur nedan. Detta brukar refereras till som böjning (refraktion) av vågorna. Om vågtopparna kommer fram till (och skickas ut från) A och B samtidigt kommer det att se ut som i Fig. 3.3; i vissa punkter på andra sidan väggen (längs de heldragna linjerna) tar vågorna ut varandra (inga svängningar upp och ner, dvs nod) eftersom den våg som har en längre sträcka att förflytta sig till den punkten kommer att nå fram med sin vågtopp först när vågtoppen för den våg som har kortare väg dit hunnit passera och nästföljande (eller ännu senare) vågdal nått fram till punkten, se Fig. 3.4 nedan. P A λ/2 λ/2 B λ/2 Fig. 3.4 Mellan en vågtopp och nästföljande vågdal är det en halv våglängd i sträcka. Om det är exakt en halv våglängd längre från B till P jämfört med från A till P kommer vågen från B att vara en halv våglängd efter vågen från A (eftersom utbredningshastigheten för de båda vågorna är densamma). Vågen från B kommer då att nå fram med sin första vågtopp till P samtidigt som A har en vågdal i P, dvs de släcker ut varandra i P. Ett litet ögonblick senare (se Fig. 3.5 nedan) har vågorna rört sig ytterligare en halv våglängd framåt (båda har rört sig samma sträcka) och då har B en vågdal i P medan A har en vågtopp. A och B tar alltid ut varandra i P precis som man kunnat konstatera för fenomenet med stående vågor, dvs P är en nodpunkt. I alla punkter där skillnaden i sträcka till A och B är en halv våglängd (eller ett udda antal halva våglängder) kommer vågorna att ta ut varandra och det mönster med nodlinjer som finns i figur på föregående sida uppstår. Detta mönster kallas för interferensmönster.

5 A P λ/2 B Fig. 3.5

6 Extra uppgifter för den som vill öva 3.1 Plana vattenvågor är på väg mot en lodrät vägg. Utbredningsriktningen bildar 35 vinkel med väggen. Vågorna reflekteras. i) Hur stor är infallsvinkeln? Hur stor blir reflexionsvinkeln? Rita figur. Våglängden är lika stor efter som före reflexionen. Hur kan man veta det? 3.2 Figuren visar plana vågor som rör sig från ett område I över till ett annat område II. Linjen AB markerar skiljelinjen mellan de två områdena. Vågornas utbredningshastighet i område I är 2,0 m/s. i) Visa att vågrörelsen har frekvensen 50 Hz. Beräkna vågrörelsens utbredningshastighet i område II. 3.3 Figuren nedan visar plana vattenvågor som passerar en öppning där vågorna böjs. i) Avgör om böjningen blir mer eller mindre markerad med samma vågor när öppningen görs a) smalare, b) bredare. Avgör om böjningen blir mer eller mindre markerad med samma öppning när våglängden blir a) mindre, b) större

7 3.4 Figuren nedan visar de nodlinjer, d.v.s. linjer som sammanbinder punkter med destruktiv interferens, som bildas när två små pinnar, A och B, svänger upp och ner så att de ömsom doppas i ömsom lyfts upp ur en vattenyta. Vågkällorna A och B svänger i fas. Punkten K ligger på det som kallas första nodlinjen och där differensen mellan KB och KA är 3,0 cm. i) Hur stor är skillnaden i längd mellan KB och KA uttryckt i antal våglängder? i iv) Bestäm våglängden för vattenvågorna. Hur stor är skillnaden mellan sträckorna LB och LA uttryckt i cm? Hur stor är skillnaden mellan sträckorna MB och MA uttryckt i cm? 3.5 Två små vågkällor A och K, som svänger i fas, befinner sig 10,0 cm ifrån varandra. Vågkällorna alstrar vågor med våglängden 4,0 cm. Mellan A och K kommer det att finnas punkter med konstruktiv och destruktiv interferens. I vilken/vilka av punkterna A till K är det konstruktiv och i vilken/vilka destruktiv interferens? A B C D E F G H I J K

8 Övningsuppgifter 3.6 Figuren nedan visar plana vattenvågor som går från område I till område II. Avgör om våglängden, frekvensen och vågornas utbredningshastighet är störst i område I, störst i område II eller lika stora i båda områdena. 3.7 Två lika starka sändare för radionavigation sänder radiovågor med samma frekvens över ett havsområde. Ett fartyg i området registrerar att signalen från sändarna blir mycket svag i vissa positioner. Vad kan orsaken vara? 3.8 Två stavar doppas samtidigt ned i vattnet i samma takt. Det bildas då vågor med våglängden 26 cm. i) En liten korkbit placeras på första nodlinjen så att avståndet till den ena staven är 57 cm. Hur långt bort från den andra staven kan då korkbiten befinna sig? Korkbiten placeras sedan på den andra nodlinjen så att avståndet till den ena staven är 72 cm. Hur långt bort från den andra staven kan då korkbiten befinna sig?

9 3.9 Figuren nedan visar en ögonblicksbild av cirkulära vågor som utgår från två vågkällor, S 1 och S 2. Cirklarna visar vågtoppar med inbördes avstånd på en våglängd. Avgör för var och en av punkterna P 1, P 2, P 3, P 4 och P 5 om det i punkten är dubbel vågtopp, dubbel vågdal, nollutslag eller ingetdera. Om istället cirklarna skulle visa vågdalar och inte vågtoppar vad skulle då kunna sägas om den resulterande vågens utseende i de fem punkterna?