(ii) Beräkna sidoförskjutningen d mellan in- och utgående strålar, uttryckt i vinklarna θ i och tjocklekar t i. (2p)

Transkript

1 Tentamen i Vågrörelselära(FK49) Datum: Onsdag, 4 Augusti,, Tid: 9: - 4: Tillåten Hjälp: Physics handbook eller dylikt och miniräknare Förklara resonemang och uträkningar klart och tydligt. Tentamensskrivningen består av 6 frågor. Varje fråga, utom den första, ger maximalt 6 poäng. Lycka till!. (a) En punktformig ljuskälla lyser på 8 cm djup i en vattensamling. Hur stor diameter har den cirkel på vattenytan genom vilken ljus kan tränga upp? Antag att vattnets brytningsindex är.33. (p) (b) En ljusstråle passerar successivt genom en serie planparallella gränsytor, som skiljer områden av olika tjocklek och brytningsindex åt (se figur). (i) Visa att Snells lag gäller mellan första och sista området som om de mellanliggande områdena inte existerade. (p) (ii) Beräkna sidoförskjutningen d mellan in- och utgående strålar, uttryckt i vinklarna θ i och tjocklekar t i. (p) t t θ f d n n n n f θ. En λ/4-platta (QWP) är placerad mellan två linjärpolarisatorer vars transmissionsaxlar (TA) är vinkelräta mot varandra. Vinkeln mellan den första polarisatorns TA och den snabba axeln hos λ/4-plattan är θ. (a) Beräkna Jones matrisen för hela denna anordning. (p) (b) Beräkna Jonesvektorn och beskriv polarisationstillståndet hos ljuset efter den sista linjärpolarisatorn. (p) (c) Hur varierar irradiansen hos det utgående ljuset som funktion av θ? En sammanställning av Jonesvektorer och matriser finns i appendix. (p)

2 3. Uttrycketet för intensitet - för enkelspalt diffraktion- ges av [ ] sin() I = I där = kb sin(θ), k är vågtalet och b är bredden av spalten. (a) Förklara varför sekundära maxima inte ges av = (m + /)π m =,, 3,. (p) (b) Vad är villkoret för sekundära maxima? (p) (c) Monokromatiskt ljus lyser på en enkelspalt med bredden.8 mm, och et diffraktions mönster uppenbarar sig på en skärm.8 m från spalten. Andra ordningens ljusa linje är på avståndet.6 mm från center av centralmaximum. Vad är våglängden på det inkommande ljuset? (Tänk på centralmaximum som nollte-ordningens ljusa linje och gör en approximation angående positionen av sekundära maxima) (4p) 4. (a) Utveckla funktionen f(x) = cos(ax) ( π x π), där a inte är ett heltal, i en fourierserie. (p) (b) Använd ovanstående utveckling och visa att (i) = + [ sinz z n= ( )n + ] (p) z nπ z+nπ (ii) cotz = + [ z n= + ] (p) z nπ z+nπ där z är vilket tal som helst som inte är en multipel av π. 5. Diffraktionsmönstret från en dubbelspalt skapas av grönt kvicksilverljus vid 546. nm. Varje spalt har bredden. mm. Mönstret avslöjar att fjärde ordningens interferensmaximum saknas. (a) Hur stort är avståndet mellan spaltarna? (3p) (b) Hur stor är irradiansen hos interferensfransarna i de första tre ordningarna relativt den nollte ordningens maximum? (3p) Uttrycket för intensitet - för tvåspalts diffraktion- ges av I = I [ sin() ] [ ] sin(α) sin(α) där = kb sin(θ), α = ka sin(θ), k är vågtalet, b är bredden av spalten och a är avståndet mellan spalterna. 6. En kollimerad ljusstråle infaller i normalens riktning mot tre mycket smala, identiska spalter. I centrum av mönstret, som projiceras på en skärm, är irradiansen I max. (a) Hur stor är fasskillnaden mellan ljus från konsekutiva spalter i P om irradiansen I P i denna punkt på skärmen är noll? (p)

3 (b) Bestäm förhållandet I P /I max om fasskillnaden mellan ljusvågor i P från konsekutiva spalter är π. (p) (c) Vad är I P /I max i första huvudmaximum? (p) Uttrycket för intensitet - för trespalts diffraktion- ges av I = I [ sin() ] [ ] sin(3α) sin(α) där = kb sin(θ), α = ka sin(θ), k är vågtalet, b är bredden av spalten och a är avståndet mellan spalterna. 3

4

5 Översikt över Fourierserier, Fouriertransform och DFT Fourierserier Fouriertransform DFT f x = k = c k e ikx f x = a a k cos kx b k sin kx f x = k= f x = [ A k cos kx B k sin kx ] dk N F k e ikx dk x n = N k= X k e i π N kn c k = π π f x e ikx dx F k = π f x e ikx dx N π i N X k = x n e kn n = π a k = π f x cos kx dx A k = π f x cos kx dx π b k = π f x sin kx dx B k = π f x sin kx dx a k = Re c k k b k = Im c k k A k = Re F k k B k = Im F k k k = heltal k = reell variabel n och k = pos. heltal Symmetriegenskaper f(x) eller x(n) a k b k A(k) B(k) F(k) X(k) jämn reell reell reell reell och jämn udda reell reell imaginär imaginär och udda T Parsevals teorem för perioden T: [ f t ] dt = T a N a n b n n=