FEM1: Randvärdesproblem och finita elementmetoden i en variabel.
|
|
- Stig Öberg
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 MVE255/TMV191 Matematisk analys i flera variabler M/TD FEM1: Randvärdesproblem och finita elementmetoden i en variabel. 1 Inledning Vi ska lösa partiella differentialekvationer PDE, dvs ekvationer som innehåller partiella derivator av den okända flervariabelfunktionen u = ux, y, z. Till exempel, Laplaces ekvation, och Poissons ekvation, 2 u x u y u z 2 = 2 u x u y u = fx, y, z. z2 Jämför ordinär differentialekvation ODE från läsperiod 2 som innehåller ordinära derivator av en okänd envariabelfunktion, till exempel, u t = ft, ut. En PDE ställs upp i ett område i rummet, D R 3, eller i planet, D R 2. För att lösningen ska vara unik behöver vi ge randvillkor på randen S = D till området D, till exempel, u = på S. Vi har då ett randvärdesproblem. Man kan också studera tidsberoende PDE, till exempel, värmeledningsekvationen, och vågekvationen, u t 2 u x 2 2 u y 2 2 u z 2 =, 2 u t 2 2 u x 2 2 u y 2 2 u z 2 =. PDE uppträder inom många områden: värmeledning, diffusion, hållfasthet, vågutbredning, strömning, elektromagnetiska fält, kvantmekanik och så vidare. Trots olika bakgrund har dessa PDE väsentligen samma matematiska form. Observera, till exempel, att Laplace-operatorn u = 2 u x u y u z 2 ingår i samtliga exempel ovan. Vi löser PDE numeriskt med finita elementmetoden FEM. Denna metod är ett mycket viktigt verktyg för maskiningenjören. Metoden utvecklades på 195-talet av maskiningenjörer för hållfasthetsberäkningar. FEM bygger på en omskrivning av randvärdesproblemet till en så kallad svag formulering. För enkelhets skull börjar vi med att studera randvärdesproblem och FEM i en variabel, dvs u = ux, x I R. Vi anger SI-enheter inom klammer, till exempel, [K] för temperatur i Kelvin, [m] för längd i meter, [J] för energi i Joule. 1 2 maj 211, Stig Larsson, Matematiska vetenskaper, Chalmers tekniska högskola 1
2 1.1 Randvärdesproblem i en variabel Värmeledningsekvationen Temperaturen ux [K] vid tvärsnittet x [m] i en platta med tjockleken L [m], se Figur 1, ges av differentialekvationen u ux u L L x Figur 1: Värmeledning i en platta. 1 D ax Dux = fx, x I =, L. Här är D = d [ ] 1 derivata; dx m [ ] J fx m 3 värmekälltäthet; s ux [K] temperatur; [ ] J ax värmeledningskoefficient; m K s [ ] J jx = ax Dux m 2 värmeflödestäthet i x-riktningen Fouriers lag. s Vi antar här att inga kvantiteter beror av koordinaterna y och z. Samma ekvation kan också beskriva värmeledning i en smal stång av längden L. Dimensionskontroll: Kontrollera att enheterna i vänster- och högerled stämmer i differentialekvationen i Randvillkor Vid x = L gäller att värmeflödestätheten i utåtriktningen är proportionell mot temperaturskillnaden: 2 jl = k L ul ul, där 2
3 u L [K] är den omgivande temperaturen; ul [K] är temperaturen på insidan av ytan; [ ] J k L m 2 en värmeöverföringskoefficient. K s Å andra sidan är ju flödestätheten enligt Fouriers lag: jl = al DuL. Alltså: al DuL = k L ul ul, dvs a Du + k L u ul = för x = L. Vid x = är värmeflödestätheten i utåtriktningen 3 j = k u u, eftersom j är flödestätheten i x-riktningen utåt. Men vi har även j = a Du. Alltå: Sammanfattningsvis kan vi skriva: a Du = k u u. 4 a D N u + k u u A = för x =, L. Här är u A den omgivande temperaturen ambient temperature, dvs u A = u respektive u A = u L, koefficienten k = k respektive k = k L, och D N riktningsderivatan i utåtriktningen i den utåtriktade normalens riktning, dvs D N = d dx i x =, Koefficienten k anger hur väl isolerad ändpunkten är. D N = d dx i x = L. Specialfall 1: k =, ingen isolering. Om vi dividerar med k, och låter k får vi + u u A =, dvs 1 k a D Nu + u u A =, u = u A i x = eller x = L. Detta randvillkor innebär att den aktuella ändpunkten, x = eller x = L, inte är isolerad. Temperaturen är densamma på insidan och på utsidan av randytan. Specialfall 2: k =, perfekt isolering. Med k = får vi a D N u =, dvs inget värmeflöde genom den aktuella ändpunkten. Eftersom a > kan detta förenklas till D N u = i x = eller x = L. 3
4 1.1.3 Randvärdesproblem Genom att sätta samman 1 och 4 får vi ett randvärdesproblem. Randvärdesproblem. Finn u = ux sådan att 5 D a Du = f för x I =, L, a D N u + k u u A = g för x =, L. Här har vi lagt till ett föreskrivet inflöde av värme med flödestätheten g, där g = g respektive g = g L. Detta görs genom att lägga till termerna g L respektive g i 2 och 3. Observera strukturen hos ekvationerna. Även mekanikens ekvationer har denna form. Till exempel: Stångens ekvation. För en axiellt belastad stång med fjädrande upphängning i ändpunkterna har vi följande randvärdesproblem: k u P k L ul P L K x A deformerad u ux ul odeformerad L x Figur 2: Axiellt belastad stång. 6 D EA Du = Kx A för x I =, L, EA D N u + ku = P för x =, L. Här är u [m] axiell förskjutning i x-riktningen; [ ] N E m 2 Youngs modul, A [m 2 ] tvärsnittsarea, EA [N] styvhet; [ ] [ ] N N K x m 3 lasttäthet, K x A last i x-riktningen; m P = P eller P = P L [N] kraft i x-riktningen; [ ] N k fjäderkonstant; m N = EA Du [N] utåtriktad snittkraft. Randvillkoren kommer från kraftbalans i ändpunkterna: N = P k u, N L = P L k L ul. 4
5 Specialfall 1: k =, fast inspänd ände. Då k får vi u =. Det betyder oändligt styv fjädring, dvs stången är fast inspänd i den aktuella ändpunkten x = respektive x = L. Specialfall 2: k =, fri ände. Med k = blir randvillkoret EA D N u = P. Det betyder ingen fjäderkraft, dvs den aktuella ändpunkten är fri. Konstitutiva lagar. Ekvationen N = EA Du är Hookes lag. Den spelar samma roll som Fouriers lag j = a Du i värmeledning. Dessa är exempel på konstitutiva lagar som beskriver materialets egenskaper. Observera analogin mellan värmeledning och mekanik. Till exempel: a EA j N g P f K x A Exempel 1.1. Vi studerar en stång med konstant styvhet som är fast inspänd i högra änden och fri i vänstra änden. Den belastas endast med en kraft i vänstra änden. Randvärdesproblemet blir D EA Du = för x I =, L, 7 EA Du = P, ul =. Eftersom EA är konstant blir differentialekvationen u x = med allmän lösning ux = Cx + D integrera två gånger. Randvillkoren ger med lösning C = P /EA, D = CL. Alltså: P = EA u = EAC, = ul = CL + D, ux = P L x. EA Vi ser att om P > tryckkraft så blir ux >, dvs stången trycks ihop förskjutningen är positiv, rörelse åt höger. Om P < dragkraft så blir ux <, dvs stången förlängs. 1.2 Svag formulering Vi skriver nu om randvärdesproblemet 5 till en så kallad svag form. Vi multiplicerar differentialekvationen D a Du = f med en funktion v och integrerar partiellt över I =, L: fv dx = [ = a Du v D a Du v dx ] L Nu använder vi även randvillkoren från 5: + a Du Dv dx = a Du v al DuL vl + a Du = k u u g, al DuL = k L ul ul gl. a Du Dv dx. 5
6 Vi får fv dx = k u u g v + k L ul ul gl vl + Vi samlar termer med den obekanta funktionen u i vänsterledet: a Du Dv dx + k uv + k L ulvl = a Du Dv dx. fv dx + k u + g v + kl u L + g L vl. Denna ekvation ska vara uppfylld för alla val av funktionen v. Den godtyckliga funktionen v kallas testfunktion. Denna ekvivalenta formulering av randvärdesproblemet kallas den svaga formuleringen. Den är grunden för finita elementmetoden. Den svaga formuleringen. Finn en funktion u = ux sådan att ekvationen 8 a Du Dv dx + k uv + k L ulvl = är uppfylld för alla testfunktioner v. fv dx + k u + g v + kl u L + g L vl För att formuleringen ska vara helt korrekt måste man även ange vilka funktionsklasser u och v ska tillhöra. Vi gör inte det. Randvillkoret u = u A k = är lite speciellt. Då måste man välja testfunktionerna med v = i den ändpunkt där randvillkoret u = u A gäller. Då blir motsvarande term v = och/eller vl = i 8. Vi illustrerar detta i två exempel. Exempel 1.2. Vi skriver ned den svaga formuleringen av Exempel 1.1. Där har vi randvillkoren EA Du = P, ul =. Vi ska alltså använda testfunktioner med vl =. Dessutom har vi k = och ingen kraft, K x A =, vilket motsvarar f = i 8. Den svaga formuleringen av 7 blir: Finn en funktion u = ux med ul = och sådan att ekvationen EA Du Dv dx = P v är uppfylld för alla testfunktioner v med vl =. Vi kontrollerar att lösningen ux = P EA L x uppfyller den svaga ekvationen. Vi har EA Du = P så att för alla v med vl =. Exempel 1.3. EA Du Dv dx = P Dv dx = P vl v = P v D 1 + x 2 Du = 1 i, 1, u =, Du1 =. a Skriv ned den svaga formuleringen. b Lös problemet genom att integrera två gånger. 6
7 Lösning. a Randvillkoret u = kräver att vi använder testfunktionen v sådan att v =. Vi multiplicerar med v och integrerar: v dx = D 1 + x 2 Du v dx [ ] 1 = 1 + x 2 Dux vx + } partiell integration = 2 Du1 v1 + 2 Du v + }}}} = = = 1 + x 2 Du Dv dx. 1 + x 2 Du Dv dx Den svaga formuleringen är: Finn u = ux sådan att u = och b Differentialekvationen är Vi integrerar: Randvillkoren ger: 1 + x 2 Du Dv dx = 1 + x 2 Du Dv dx v dx för alla v med v =. D 1 + x 2 Du = 1 + x 2 Du = x + C, Dux = x 1 + x 2 + C 1 + x 2, ux = 1 2 ln1 + x2 + C arctanx + D. = u = 1 2 ln2 + C arctan + D = 1 2 ln2 C π 4 + D, = Du1 = C. Vi får C = 1, D = 1 2 ln2 + π 4. Lösningen är ux = 1 2 ln1 + x2 + arctanx ln2 + π 4 2 = ln 1 + x 2 + arctanx + π 4. Du bör lära dig att bestämma den svaga formuleringen för randvärdesproblem med olika kombinationer av randvillkor samt att lösa enkla randvärdesproblem genom att integrera två gånger, se övningarna i slutet av detta häfte. Men det viktigaste är att kunna lösa allmänna randvärdesproblem med finita elementmetoden. 1.3 Finita elementmetoden i 1 D Finita elementmetoden kallas finite element method på engelska, uttalas fajnajt. Nedan anger vi inom parentes vad vissa viktiga begrepp heter på engelska. Vi ska beräkna en approximativ lösning Ux, som är en styckvis linjär funktion. Vi inför ett beräkningsnät mesh i intervallet I =, L: = x 1 < x 2 < < x i < x i < < x N = L. 7
8 y U i U i U i+1 y = Ux 1 y = φ i x x 1 = x 2 x 3 x i x i x i+1 x N = L x Figur 3: En styckvis linjär funktion y = Ux och en basfunktion y = φ i x. Obs: vi använder Matlab-numrering som börjar med 1. Vi har alltså N punkter kallas även noder x i och N 1 intervall I i = x i, x i+1 av längd h i = x i+1 x i. Se Figur 3. En kontinuerlig styckvis linjär funktion Ux är entydigt bestämd av sina nodvärden U i = Ux i. För att beskriva Ux inför vi basfunktionerna φ i x, en för varje nod x i. Funktionerna φ i x bestäms av att de är kontinuerliga, styckvis linjära, samt att 1, om i = j, φ i x j =, om i j. Se Figur 3. Funktionen Ux kan nu skrivas som en linjär kombination av basfunktionerna: Obs att Ux = N U i φ i x, med koefficienterna U i = Ux i. i=1 Ux j = N U i φ i x j = U j i=1 1, i = j, eftersom φ i x j = innebär att endast en term med i = j blir kvar i summan., i j, Vi har nu en formel som uttrycker Ux med hjälp av nodvärdena. Vi ska nu bestämma de okända nodvärdena U i så att Ux blir en approximativ lösning till randvärdesproblemet 5. Vi använder den svaga formuleringen i 8. För att det inte ska bli så mycket att skriva genomför vi detta i fallet då k = k L =, g = g L = : 9 a Du Dv dx = fv dx för alla v. Istället för ux sätter vi in ansatsen Ux = N i=1 U iφ i x och vi väljer testfunktionerna v = φ j. Vi får Med beteckningarna N U i a Dφ i Dφ j dx = i=1 a ij = a Dφ i Dφ j dx, b j = fφ j dx, j = 1,..., N. fφ j dx, 8
9 blir detta N a ji U i = b j, j = 1,..., N, i=1 dvs på matrisform: A U = b. Detta är ett linjärt ekvationssystem av N ekvationer för N obekanta. Matrisen A = a ij } N i,j=1 = } N a Dφ i Dφ j dx i,j=1 kallas styvhetsmatris stiffness matrix. Jämför med stångens ekvation, där a = EA är materialets styvhet. Styvhetsmatrisen är symmetrisk, a ji = a ij, och tridiagonal, A =, dvs a ij = utom då j = i 1, i, i + 1. Vektorn b = b j } N j=1 = fφ j dx} N j=1 kallas lastvektor load vector. Intervallet I i = x i, x i+1 tillsammans med sina två basfunktioner φ i, φ i+1 kallas ett finit element. y y = φ i x y = φ i+1 x x i x i+1 x Figur 4: Ett finit element. Ekvationssystemet A U = b kan enkelt ställas upp och lösas med hjälp av ett datorprogram, till exempel, MyPoisssonSolver.m i Datorövning 4. Programmet löser mer allmänna randvärdesproblem av formen D a Du + d Du + cu = f för x I =, L, a D N u + k u u A = g för x =, L. Här har vi även en konvektionsterm d Du och en reaktionsterm cu. Randvillkor av typen u = u A hanteras i detta program approximativt genom att man sätter k lika med ett stort tal, till exempel, k = 1 8. Problem Bestäm svaga formuleringar för följande randvärdesproblem
10 Problem 1.1. Stång D EA Du = Kx A i, L, u =, EA DuL = P. Tips: v =. Problem 1.2. u = f i, L, u + u = g, ul =. Tips: vl =. Problem 1.3. Fritt upplagd balk D 2 EI D 2 w = q i, L, w =, wl =, D 2 w =, D 2 wl =. Här är w [m] utböjning, [ I = ] I y [m 4 ] tvärsnittets tröghetsmoment med avseende på y-axeln, EI N [N m 2 ] böjstyvhet och q lasttäthet i z-riktningen uppåt. Vridmomentet med avseende på m y-axeln är M = EI D 2 w [N m]. Tips: v =, vl =. Integrera partiellt två gånger. Lös följande randvärdesproblem genom upprepad integration. Problem 1.4. u = 1 i, 1, u =, u1 =. Problem 1.5. D1 + x Du = 2x i, 1, Du + u =, u1 = 3 2. Problem 1.6. Da Du = i, L med konstant a >, u = u, ul = u L. Beräkna även värmeflödestätheten j = adu. Problem 1.7. Fritt upplagd balk D 2 EI D 2 w = q i, L med EI och q konstanta w =, wl =, D 2 w =, D 2 wl =. Problem 1.8. au + u = 1 i, 1 med konstant a >, u =, u1 =. 1
11 Svar och lösningar 1.1. Finn u = ux sådan att u = och EA u v dx = 1.2. Finn u = ux sådan att ul = och u v dx + uv = K x A v dx + P vl för alla v med v = Finn w = wx sådan att w = wl = och 1.4. ux = 1 2x1 x 1.5. ux = 1 2 x2 + x + 1 EI w v dx = fv dx + g v för alla v med vl =. qv dx för alla v med v = vl = ux = u L u x L +u, j = u u L a. Obs att flödestätheten är konstant och proportionell L mot temperaturskillnaden wx = 1 ql 4 x 4 x 3 x EI L L L 1.8. En integration ger u 1 a u = 1 a x + C. Multiplicera med den integrerande faktorn e x/a och integrera igen. Lösningen blir ux = x e x/a 1/e 1/a 1. /stig 11
Projekt Finit Element-lösare
Projekt Finit Element-lösare Emil Johansson, Simon Pedersen, Janni Sundén 29 september 2 Chalmers Tekniska Högskola Institutionen för Matematik TMA682 Tillämpad Matematik Inledning Många naturliga fenomen
Läs merEgenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer
CTH/GU STUDIO 7 TMV36b - 14/15 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer Vi skall se lite på egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer.
Läs merInledande matematik M+TD
Introduktionsföreläsning p. 1/13 Introduktionsföreläsning Inledande matematik M+TD Stig Larsson http://www.math.chalmers.se/ stig Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Göteborgs universitet
Läs merFöreläsning 14: Exempel på randvärdesproblem. LU-faktorisering för att lösa linjära ekvationssystem.
11 april 2005 2D1212 NumProg för T1 VT2005 A Föreläsning 14: Exempel på randvärdesproblem. LU-faktorisering för att lösa linjära ekvationssystem. Kapitel 8 och 5 i Q&S Stationär värmeledning i 1-D Betrakta
Läs merPartiella differentialekvationer: Koppling Diskret - Kontinuum och Finita Elementmetoden
Partiella differentialekvationer: Koppling Diskret - Kontinuum och Finita Elementmetoden Johan Jansson November 29, 2010 Johan Jansson () M6 November 29, 2010 1 / 26 Table of contents 1 Plan och Syfte
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp gy, IT, W, X 2011-10-26 Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/11 2012. Här lär vi oss använda transformer för att
Läs merAnvändarmanual till Maple
Användarmanual till Maple Oktober, 006. Ulf Nyman, Hållfasthetslära, LTH. Introduktion Maple är ett mycket användbart program för symboliska och i viss mån numeriska beräkningar. I Maple finns ett stort
Läs merav envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)
Lösningsskisser till TATA69 Flervariabelanalys 16-1- 1 Stationära punkter ges av f (4x 3 + 4x, 3y + 6z, z + 6y (,,, dvs (x, y, z (,, eller (x, y, z (, 6, 18 Ur andraderivatorna fås de kvadratiska formerna
Läs merCHALMERS Finit Elementmetod M3 Institutionen för tillämpad mekanik. Teorifrågor
Teorifrågor : Visa att gradienten till en funktion pekar i den riktning derivatan är störst och att riktingen ortogonalt mot gradienten är tangent till funktionens nivåkurva. Visa hur derivatan i godtycklig
Läs merVi betraktar homogena partiella differentialekvationer (PDE) av andra ordningen
Produktlösningar Vi betraktar homogena partiella differentialekvationer (PDE) av andra ordningen u( u( u( u( u( A B C D E 0 (ekv 0) y y y som är definierad på ett (ändligt eller oändlig rektangulär område
Läs merTMA226 datorlaboration
TMA226 Matematisk fördjupning, Kf 2019 Tobias Gebäck Matematiska vetenskaper, Calmers & GU Syfte TMA226 datorlaboration Syftet med denna laboration är att du skall öva formuleringen av en Finita element-metod,
Läs merFMNF15 HT18: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum
Johan Helsing, 11 oktober 2018 FMNF15 HT18: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum Inlämningsuppgift 3 Sista dag för inlämning: onsdag den 5 december. Syfte: att träna på att hitta lösningar
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merBALKTEORI, INLÄMNINGSUPPGIFTER
BALKTEORI, INLÄMNINGSUPPGIFTER Det finns tre inlämningsuppgifter (I, II och III). De löses individuellt eller i grupper om två personer. Uppgifterna avser arbete i anslutning till tre demonstrationslaborationer:
Läs merFöreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.
Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER
Läs merMatrismetod för analys av stångbärverk
KTH Hållfasthetslära, J aleskog, September 010 1 Inledning Matrismetod för analys av stångbärverk Vid analys av stångbärverk är målet att bestämma belastningen i varje stång samt att beräkna deformationen
Läs merOändligtdimensionella vektorrum
Oändligtdimensionella vektorrum Vi har i den här kursen huvudsakligen studerat ändligtdimensionella vektorrum. Dessa är mycket användbara objekt och matriskalkyl ger en bra metod att undersöka dom med.
Läs merOrdinära differentialekvationer (ODE) 1 1
TMV151/TMV181 Matematisk analys i en variabel M/TD 2009 Ordinära differentialekvationer (ODE) 1 1 I förra datorövningen löste vi begynnelsvärdesproblem av formen u (x) = f(x), x [0, b] (b > 0) u(0) = u
Läs mer= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa
Läs merVectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem.
Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Begrepp som diskuteras i det kapitlet. Vektorer, addition och multiplikation med skalärer. Geometrisk tolkning. Linjär kombination av
Läs merTentamen, del 2 Lösningar DN1240 Numeriska metoder gk II F och CL
Tentamen, del Lösningar DN140 Numeriska metoder gk II F och CL Lördag 17 december 011 kl 9 1 DEL : Inga hjälpmedel Rättas ast om del 1 är godkänd Betygsgränser inkl bonuspoäng: 10p D, 0p C, 30p B, 40p
Läs merKapitel 9. Partiella differentialekvationer
Kapitel 9. Partiella differentialekvationer Partiella differentialekvationer är mycket vanliga i den tillämpade fysiken. De bäst kända tillämpningarna är måhända numeriska väderförutsägelser, varvid förändringarna
Läs merLaboration 6. Ordinära differentialekvationer och glesa system
1 DN1212 VT2012 för T NADA 20 februari 2012 Laboration 6 Ordinära differentialekvationer och glesa system Efter den här laborationen skall du känna igen problemtyperna randvärdes- och begynnelsevärdesproblem
Läs merUmeå universitet Tillämpad fysik och elektronik Annika Moström Fackverk. Projektuppgift 1 Hållfasthetslärans grunder Våren 2012
Umeå universitet Tillämpad fysik och elektronik Annika Moström 212-3-6 Fackverk Projektuppgift 1 Hållfasthetslärans grunder Våren 212 Fackverk 1 Knut 3 Knut 2 Stång 2 Stång 3 y Knut 4 Stång 1 Knut 1 x
Läs merFouriers metod, egenfunktionsutvecklingar.
Vårterminen 2002 KONTINUERLIGA SYSTEM, några viktiga begrepp och metoder i kap 3 och H (partiellt) Fouriers metod, egenfunktionsutvecklingar Värmeledning i en begränsad stav med variabelseparation Problem:
Läs merFYSIKENS MATEMATISKA METODER
FYSIKENS MATEMATISKA METODER TREDJE UPPLAGAN TORBJÖRN ERIKSON HENRIK CHRISTIANSSON ERIK LINDAHL JOHAN LINDE LARS SANDBERG MATS WALLIN mfl Boken är typsatt i L A TEX med 11pt Times Printed in Sweden by
Läs mer4.6 Stelkroppsrörelse i balk
Övning Balkar, Balk-Stång, Symmetri Rickard Shen 0-0- FEM för Ingenjörstillämpningar, SE05 rshen@kth.se.6 Stelkroppsrörelse i balk Bild av Veronica Wåtz Givet: w L w L () Sökt: Visa att förskjutningsansatsen
Läs mer9.3. Egenvärdesproblem
9.3. Egenvärdesproblem Problem som innehåller en parameter men endast kan lösas för speciella värden av denna parameter kallas egenvärdesproblem. Vi skall här nöja oss med ett exempel på ett dylikt problem.
Läs merVetenskapliga beräkningar III 139
Vetenskapliga beräkningar III 139 Kapitel 9. Partiella differentialekvationer. Partiella differentialekvationer är mycket vanliga i den tillämpade fysiken. De bäst kända tillämpningarna är måhända numeriska
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs mer= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.
Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att
Läs mer= 1, fallet x > 0 behandlas pga villkoret. x:x > 1
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B00 Torsdagen den 0 januari 00, kl 400-900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
Läs merTeorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20.
Teorifrågor Störningsanalys 1. Värdet på x är uppmätt till 0.956 med ett absolutfel på högst 0.0005. Ge en övre gräns för absolutfelet i y = exp(x) + x 2. Motivera svaret. 2. Ekvationen log(x) x/50 = 0
Läs merStångbärverk. Laboration. Umeå universitet Tillämpad fysik och elektronik Staffan Grundberg. 14 mars 2014
Umeå universitet Tillämpad fysik och elektronik Staffan Grundberg Laboration 4 mars 4 Stångbärverk Hållfasthetslärans grunder Civilingenjörsprogrammet i teknisk fysik Knut Knut....4 y/ L.5.6.7.8.9 Knut
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så
Läs mer1. Låt u 0 och v 0 vara tvåvektorer i ett linjärt rum med skalärprodukt. Antag att följande relation gäller mellan längder av vektorer: u = 2 v = 2 3
Matematik Chalmers Tentamen i TMA6 matematik fordjupning Kf, 6 8 ; KL 8:-: Telefon: Olof Giselsson: ankn 55 Hjälpmedel: Inga hjälpmedel, fårutom penna och linjal, är tillåtna, ej heller rä knedosa. OBS!
Läs merTATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer
TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Differentialekvationer Inledning DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merLösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232)
Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232) Tid och plats: Lösningsskiss: Tisdagen den 20 december 2016 klockan 0830-1230 i M-huset Christian Forssén Detta är enbart en skiss av den
Läs merTentamen, del 2 DN1240 Numeriska metoder gk II för F
Tentamen, del DN140 Numeriska metoder gk II för F Fredag 14 december 01 kl 14 17 Lösningar DEL : Inga hjälpmedel. Rättas endast om del 1 är godkänd. Betygsgränser inkl bonuspoäng: 10p D, 0p C, 30p B, 40p
Läs merKap Krökning i allmän parametrisering. Endast sid 619 och Exempel 2 sid 621. Teori: Sid 619. Härledning av v a = v 3 κ ˆB så att κ = v a /v 3
TMV160/TMV191 Analys i flera variabler M+T, 2007 08 AMMANFATTNING. TEORIFRÅGOR. Kap 11.1. Vektorvärd funktion v(t). eriveringsregler, ats 1. Kap 11.3. Parametrisering av kurvor: r = r(t), a t b Tangent
Läs merPartiella differentialekvationer (TATA27)
Partiella differentialekvationer (TATA27) Linköpings universitet Vår termin 2015 Inneåll 1 Introduktion 1 1.1 Notation............................................. 1 1.2 Differentialekvationer......................................
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade
Läs merOmtentamen i DV & TDV
Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2005-06-07 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga
Läs merLösningar/svar till tentamen i MTM060 Kontinuumsmekanik Datum:
Lösningar/svar till tentamen i MTM060 Kontinuumsmekanik Datum: 004-08- Observera Om tentamensuppgiften är densamma som på den nya kursen MTM3 är uppgiften löst med den metod som är vanligast i denna kurs.
Läs merSvängningar. TMHL09 - Övningstal till avsnittet. Övningstal: Tal 1, 2, 3 nedan (variant av 14/28) Hemtal: 14/23, 14/12, Tal 4 nedan
TMHL09 - Övningstal till avsnittet Svängningar Övningstal: Tal 1,, 3 nedan (variant av 14/8) Hemtal: 14/3, 14/1, Tal 4 nedan Tre tal (en frihetsgrad - Tal 1, två frihetsgrader - Tal och kontinuerligt system
Läs meru = Ψ y, v = Ψ x. (3)
Föreläsning 8. Blasius gränsskikt Då en en friström, U, möter en plan, mycket tunn platta som är parallell med friströmshastigheten uppkommer den enklaste typen av gränsskikt. För detta gränsskikt är tryckgradienten,
Läs merTENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 20
Numerisk Analys - Institutionen för Matematik KTH - Royal institute of technology 2016-05-31, kl 08-11 SF1547+SF1543 TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 20 Uppgift 1 Man vill lösa ekvationssystemet
Läs merÖvning 3 FEM för Ingenjörstillämpningar Rickard Shen Balkproblem och Ramverk
.6 Stelkroppsrörelse i balk Bild av Veronica Wåtz w δ θl Givet: w δ + θl () θ θ θ Sökt: Visa att förskjutningsansatsen kan beskriva en godtycklig stelkroppsrörelse, dvs w x δ + θx. w θ : Allmänt: wξ N
Läs merLösningar/svar till tentamen i MTM113 Kontinuumsmekanik Datum:
Lösningar/svar till tentamen i MTM113 Kontinuumsmekanik Datum: 2004-08-21 Observera att lösningarna inte alltid är av tentamenslösningskvalitet. De skulle inte ge full poäng vid tentamen. Motiveringar
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall
Läs merLösningar till tentamen i Transformmetoder okt 2007
Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 7. Låt Y (s beteckna Laplacetransformen till funktionen y. Laplacetransformering av den givna ekvationen ger: varav följer att. (a För s > a är Y (s + s Y
Läs merDagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1:
Dagens teman Linjära ODE-system av ordning 1: Egenvärdesmetoden. Lösning av homogena system x 1 (t) = a 11 x 1 (t) + + a 1n x n (t) x 2 (t) = a 21 x 1 (t) + + a 2n x n (t) x n (t) = a n1 x 1 (t) + + a
Läs mer9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets
9. Magnetisk energi [RMC] Elektrodynamik, ht 005, Krister Henriksson 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets
Läs mer9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets
9. Magnetisk energi [RM] Elektrodynamik, vt 013, Kai Nordlund 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets anod
Läs mer9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1
9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets
Läs mer1. Använd Laplacetransformen för att lösa differentialekvationen (5p) y (t) + 3y (t) + 2y(t) = 1, t > 0 y(0) = 1, y (0) = 1
Matematik Calmer Tentamen i TMA68/TMA68 Tillämpad matematik K/Bt, 7 8 7, kl 4:-8: Telefon: Olof Gielon, -77 55 Hjälpmedel: Endat tabell på bakidan av teen. Kalkylator ej tillåten. Betyggräner, : -7p, 4:
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Oct 2, 2017 10. Värmeledning, diffusionsekvation Betrakta ett temperaturfält
Läs merVeckans teman. Repetition av ordinära differentialekvationer ZC 1, 2.1-3, 4.1-6, 7.4-6, 8.1-3
Veckans teman Repetition av ordinära differentialekvationer ZC 1, 2.1-3, 4.1-6, 7.4-6, 8.1-3 Ekvationstyper Första ordningen Separabla Högre ordning System Autonoma Linjära med konstanta koefficienter
Läs merFEM2: Randvärdesproblem och finita elementmetoden i flera variabler
MVE255 Mtemtisk nlys i fler vribler M FEM2: Rndvärdesproblem och finit elementmetoden i fler vribler 1 1.1 Prtiell integrtion Kom ihåg tt finit elementmetoden bygger på den svg formuleringen v rndvärdesproblemet
Läs merLösning till tentamen i SF1633 Differentialekvationer I för BD, M och P, , kl
KTH Matematik Bengt Ek och Olle Stormark. Lösning till tentamen i SF633 Differentialekvationer I för BD, M och P, 008 0 6, kl. 4.00 9.00. Hjälpmedel: BETA. Uppgifterna 5 motsvarar kursens fem moduler.
Läs mer1. Använd Laplacetransformen för att lösa differentialekvationen (5p) y (t) y(t) = sin 2t, t > 0 y(0) = 1
Matematik Chalmer Tentamen i TMA683/TMA68 Tillämpad matematik K/Bt, 7 4, kl 8:3-:3 Telefon: Maximilian Thaller, 3-77 535 Hjälpmedel: Endat tabell på bakidan av teen. Kalkylator ej tillåten. Betyggräner,
Läs merLösningar till MVE017 Matematisk analys i en variabel för I x 3x y = x. 3x2 + 4.
Lösningar till MVE07 Matematisk analys i en variabel för I 8-0-0. (a Division ger y + 5x x 2 + 4 y x x2 + 4. 5x x 2 + 4 dx 5 2 ln(x2 + 4, vilket ger den integrerande faktorn (x 2 + 4 5/2. Ekvationen multipliceras
Läs merSammanfattning (Nummedelen)
DN11 Numeriska metoder och grundläggande programmering Sammanfattning (Nummedelen Icke-linjära ekvationer Ex: y=x 0.5 Lösningsmetoder: Skriv på polynomform och använd roots(coeffs Fixpunkt x i+1 =G(x i,
Läs merTentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
Läs merFöreläsning 5. Approximationsteori
Föreläsning 5 Approximationsteori Låt f vara en kontinuerlig funktion som vi vill approximera med en enklare funktion f(x) Vi kommer använda två olika approximationsmetoder: interpolation och minstrakvadratanpassning
Läs merDatorbaserade beräkningsmetoder
Material, form och kraft, F10 Datorbaserade beräkningsmetoder Finita elementmetoden Beräkningar Strukturmekaniska analyser Kraft-deformation, inverkan av temperatur, egenfrekvens, buckling COSMOS/Works
Läs merLösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018
Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel
Läs merMer om linjära ekvationssystem
CTH/GU STUDIO 4 MVE465-2016/2017 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Mer om linjära ekvationssystem Denna studioövning fortsätter med linjära ekvationssystem och matriser, som vi först tittade på i studioövning
Läs merb) Harled en uppskattning for u's andraderivata uttryckt i givna data f och g. Under vilken forutsattning galler en motsvarande uppskattning for u's a
TMA 690 Partiella dierentialekvationer F, 000-0- Hjalpmedel: Beta och typgodkand kalkylator. Telefonjour/rond: Anders Logg, ankn. 0740-4590. ========================================== Som vanligt betecknar
Läs merTMV166 Linjär algebra för M. Datorlaboration 2: Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 07 Chalmers tekniska högskola Datorlaboration Examinator: Tony Stillfjord TMV66 Linjär algebra för M Datorlaboration : Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning Allmänt Den
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 14 19
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Joakim Arnlind Tentamen i Anals B för KB/TB (TATA9/TEN1 214-3-21 kl 14 19 Inga hjälpmedel är tillåtna. Varje uppgift kan ge maximalt 3 poäng. Betgsgränser:
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merPoissons ekvation och potentialteori Mats Persson
1 ärmeledning Föreläsning 21/9 Poissons ekvation och potentialteori Mats Persson i vet att värme strömmar från varmare till kallare. Det innebär att vi har ett flöde av värmeenergi i en riktning som är
Läs merRita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int,
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 003-08-5, kl. 14.00 19.00. 5B10/ Diff och Trans del, för F och T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3) krävs 18 poäng, medan
Läs merOmtentamen i DV & TDV
Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2006-06-05 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga
Läs merv0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik
v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
Läs merSF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari 26 Lösningsförslag Del I Moduluppgift En liter av lösningen som innehåller 2 gram av kemiska
Läs merKurs DN1215, Laboration 3 (Del 1): Randvärdesproblem för ordinära differentialekvationer
Kurs DN1215, Laboration 3 (Del 1): Randvärdesproblem för ordinära differentialekvationer Michael Hanke, Johan Karlander 2 april 2008 1 Beskrivning och mål Matematiska modeller inom vetenskap och teknik
Läs meru(x) + xv(x) = 0 2u(x) + 3xv(x) = sin(x) xxx egentliga uppgifter xxx 1. Sök alla lösningar till den homogena differentialekvationen
Differentialekvationer I Modellsvar till räkneövning 6 Den frivilliga uppgiften U1 påminner om nyttiga kunskaper, och räknas inte för extrapoäng (fråga vid behov). U1. Lös funktionerna u(x) och v(x) från
Läs merHt Läsanvisningar till Hilbertrum och partiella differentialekvationer. Del 1. Ur Anton, Rorres; Elementary Linear Algebra
Ht-2010 Umeå universitet Institutionen för matematik och matematisk statistik PAB Läsanvisningar till Hilbertrum och partiella differentialekvationer Del 1 Ur Anton, Rorres; Elementary Linear Algebra 10.1-10.
Läs merTekniska Högskolan i Linköping, IKP Tore Dahlberg TENTAMEN i Hållfasthetslära; grk, TMMI17, kl DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel)
Tekniska Högskolan i inköping, IK DE 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) NAMN... 1. Vilken typ av ekvation är detta: ε = d u(x) d x Ange vad de ingående storheterna betyder, inklusive deras dimension i SI-enheter.
Läs mer1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).
Repetition, analys.. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t). 2. Beräkna längden av kurvan r(t) =
Läs merDel I. Modul 1. Betrakta differentialekvationen
Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 24 oktober 2016 kl 8:00-13:00 För godkänt (betyg E) krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För
Läs merPartiella differentialekvationer och randvärdesproblem Separabla PDE Klassiska ekvationer och randvärdesproblem
Partiella differentialekvationer och randvärdesroblem. 12.1. Searabla PDE 12.2. Klassiska ekvationer och randvärdesroblem. 12.3. Värmeledningsekvationen. 12.4. Vågekvationen. 12.5. alace ekvation. Variabelsearation.
Läs merNUMPROG, 2D1212, vt Föreläsning 9, Numme-delen. Stabilitet vid numerisk behandling av diffekvationer Linjära och icke-linjära ekvationssystem
NUMPROG, 2D1212, vt 2005 Föreläsning 9, Numme-delen Stabilitet vid numerisk behandling av diffekvationer Linjära och icke-linjära ekvationssystem Då steglängden h är tillräckligt liten erhålles en noggrann
Läs mer8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM
94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.
Läs merTentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206).
Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF633(5B6) Torsdagen den 3 oktober 8, kl 8-3 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang
Läs merR AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002
RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions
Läs merRepetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T
Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet
Läs mer1.6 Castiglianos 2:a Sats och Minsta Arbetets Princip
--8 FE för Ingenjörstillämpningar, SE rshen@kth.se.6 Castiglianos :a Sats och insta Arbetets rincip ilder ritade av Veronica Wåtz. Givet: k () L Sökt: Lösning: et står att ska beräknas med hjälp av energimetod
Läs merÖvning 1 FEM för Ingenjörstillämpningar Rickard Shen
Övning FE för Ingenjörstillämpningar Rickard Shen 9--9 rshen@kth.se 7-7 7 59.6 Castiglianos :a Sats och insta Arbetets rincip Bilder ritade av Veronica Wåtz, asse emeritus. 6EI Givet: k = () L Sökt: θ
Läs merTekniska Högskolan i Linköping, IKP Tore Dahlberg TENTAMEN i Hållfasthetslära; grk, TMMI17, kl DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel)
Tekniska Högskolan i Linköping, IK DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) U G I F T E R med L Ö S N I N G A R 1. Ange Hookes lag i en dimension (inklusive temperaturterm), förklara de ingående storheterna,
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet 27 augusti 2013 Innehåll Linjära ekvationssystem
Läs mer