Tekniska Högskolan i Linköping, IKP Tore Dahlberg TENTAMEN i Hållfasthetslära; grk, TMMI17, kl DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel)

Transkript

1 Tekniska Högskolan i Linköping, IK DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) U G I F T E R med L Ö S N I N G A R 1. Ange Hookes lag i en dimension (inklusive temperaturterm), förklara de ingående storheterna, ge enhet på dessa, och ange när Hookes lag kan användas ε= σ E +αδt där ε är töjning (enhet m/m, d v s dimensionslös), σ är spänning (enhet N/m 2 ), E är elasticitetsmodul (enhet N/m 2 ), α är längd- (eller temperatur-)utvidgningskoefficient (enhet 1/ o C) och ΔT är temperaturändring (enhet o C). Hookes lag kan användas då materialet beter sig linjärt elastiskt, d v s samband mellan spänning och töjning är (åtminstone approximativt) linjärt och efter avlastning återgår materialet till sin ursprungliga form; plasticering får ej förekomma. 2. En axel av linjärt elastiskt material (med skjuvmodulen G) har längden L och tvärarean A = A(x) (tvärarean varierar alltså längs stången). Axels belastas med ett vridande moment M v. Svara Ja (j) eller Nej (n) på nedanstående påståenden (alla fyra svaren måste vara rätt för 1 poäng). M v M v Skjuvspänningen får i detta fall enheten Nm/m 2 (d v s moment genom area) Skjuvmodulen G har enheten N/m 2 Stångens förvridning är Θ= M vl GK v (x) Skjuvtöjningen γ är störst där arean A(x) är minst j/n n j n j 7

2 Tekniska Högskolan i Linköping, IK / DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) 3. Två konsolbalkar, AB (längd 2L, böjstyvhet 2EI) och CD (längd L, böjstyvhet EI), är monterade så att balken AB stödjer balken CD i C 2 L, 2EI C. Balken CD belastas med kraften ic. A B D Bestäm hur stor kraft R som förs över från balken CD till balken AB genom "kulan" (leden) vid B. Elementarfall: Konsolbalk x z w(x) w(x)= L3 6EI w(l)= L3 3EI 3 x 2 L x 3 2 L 3 w (L)= L2 2EI z w(x) M x w(x)= ML2 2EI w(l)= ML2 2EI x 2 L 2 w (L)= ML EI Vid övergången mellan B och C överförs lasten R. Knutarna B och C kommer att förskjutas samma sträcka. Man får varur R = / 5 löses. δ B =δ C som ger R(2L) 3 3(2EI) = ( R) L 3 3EI 4. Ange randvillkoren, både med ord och med matematiska uttryck, för balken enligt figur. x Randvillkor "fritt upplagd", d v s w(0) = 0 och M(0) = 0, som ger EIw (0) = 0, i x = 0 och "fri balkände" i den andra änden, d v s M(L) = 0, som ger EIw (L) = 0, och T(L) = 0, som ger EIw (L) =0. 8

3 Tekniska Högskolan i Linköping, IK DEL 2 - (roblemdel med hjälpmedel) 5. b En kopparledning (cirkulär, radie a, längd L, a E-modul E i ) omges av ett skickt (ett yttre skal) E av ett annat material (innerradie a, ytterradie b, y Ei samma längd, E-modul E y ). Ledningen belastas med en kraft. Bestäm spänningarna i respektive del av ledningen. Lasten bärs av både den inre och den yttre delen. Sätt spänningen i den inre delen till σ i och i den yttre till σ y. Jämvikt ger σ i πa 2 +σ y π(b 2 a 2 )= (a) Båda delarna får samma längdändring δ. Det ger i detta fall även samma töjning. Det ger, med användande av Hookes lag, Sambanden (a) och (b) ger varur löses Sambandet (b) ger nu (ε = ) σ i E i = σ y E y σ y E i E y πa 2 +σ y π(b 2 a 2 )= E y σ y = E i πa 2 + E y π(b 2 a 2 ) E i σ i = E i πa 2 + E y π(b 2 a 2 ) (b) (c) (d) (e) 9

4 Tekniska Högskolan i Linköping, IK DEL 2 - (roblemdel med hjälpmedel) 6. En axel (cirkulär, radie a, längd L, skjuvmodul G i ) omges av ett skickt (ett yttre skal) av ett annat material (innerradie a, ytterradie b, samma längd, skjuvmodul G y ). Axeln belastas med en vridande moment M v. Momentet är så stort att följande skjuvspänningsfördelning erhålls i axeln: i den inre delen varierar skjuvspänningen linjärt från τ = 0 i centrum till τ = τ s vid radien a och i den yttre delen är skjuvspänningen konstant τ s (materialet plasticerar i den delen). Bestäm det moment M v som belastar axeln vid denna spänningsfördelning. M L v b M v a s M v = b a τ(r)2πr r dr = r τs 0 0 a 2πr r dr + b τs 2πr r dr a =τ s 2π a 4 a4 +τ2π1 s 3 (b 3 a 3 b 3 )=2πτ s 3 a

5 Tekniska Högskolan i Linköping, IK DEL 2 - (roblemdel med hjälpmedel) 7. Två konsolbalkar, AB (längd 2L, böjstyvhet 2EI) och CD (längd L, böjstyvhet EI), är monterade så att balken CD stödjer balken AB i B. Balken AB belastas i mitten med kraften. (a) Bestäm hur stor kraft R som förs över från balken AB till balken CD genom "kulan" (leden) vid B. (b) Bestäm och rita upp moment- och tvärkraftsdiagram för balkarna. Ange extremvärden i diagrammen. A 2 L, 2EI (a) Balkarnas förskjutning vid B ska vara lika. Det ger L 3 3 (2EI) + L2 2(2EI) L R(2L)3 3(2EI) = RL3 3 EI som ger R = /4. (b) Stödreaktionerna via A blir R A = R =3/4 och M A = L + R2L = L/2. Momentdiagram (ritas ej här): M(0) = M A, M(L) =RL, M(2L) =0,M D = RL Tvärkraft (ritas ej här): T(0<x<L) =R A, T(L<x<2L) = R, T CD = R. B C D 11

6 Tekniska Högskolan i Linköping, IK / DEL 2 - (roblemdel med hjälpmedel) 3 L, E, A L, E, A 2 2 L, E, 2 A Ett bärverk monteras med fem stänger som är L och 2L långa, E-modul E och tvärarea A respektive 2A, se figur. Den vertikala kraften belastar bärverket. Bestäm knutens (där angriper) vertikala förskjutning på grund av kraften. Lös talet genom att använda energibetraktelse, d v s Castiglianos sats ska användas. Jämvikt ger stångkrafterna S 1 = 1 3 S 2 = Den energi U som lagras i stängerna blir 2 3 och S 3 = 2 U = 2 S 2 1 2L 2E 2A + S 2 2 2L 2E 2A + 2 S 2 3 L 2E A = 2 L 1 EA = Knutens förskjutning i vertikal led blir Δ v = U = 15 L 12 EA 2 L EA 12