Föreläsning 9: Beräkning av tröghetsmoment och tröghetsprodukter (kap ) Kinetisk energi för roterande stelt system: T rot

Transkript

1 1 Föreäsning 9: Beräkning av tröghetsmoment och tröghetsprodukter (kap 3113 Komihåg 8: Tröghetsmoment = r dm = x + y dm m m Kinetisk energi för roterande stet system: T rot = 1 Röresemängdsmomentets zkomponent: H Oz = Fysisk pende: I z = mg G sin Hea röresemängdsmomentvektorn H O Antag ett stet roterande partikesystem och att zaxen är rotationsaxe För = e z och för vare partike får vi (i ett gemensamt, medföande koordinatsystem ett bidrag: H O = r m v = r m ( r = ( x + y + z e z ( x y m $ Atså: H O = m z x m z y + m ( + y e z = m z x m z y + m ( ( + y e z

2 För hea systemet: H O = H,O *, $ ' $ ' $ ' H O =,& m z x & m z y + m & ( + y, ( ( (, I xz I yz = (I xz I yz + e z OBS: Vi har infört två nya storheter: två tröghetsprodukter I xz och I yz! Tröghetsprodukter Vi definierar tröghetsprodukterna för rotation map z axen: I xz = m z x och I yz = m z y Rotation kring masscentrum G För pan rotation map zaxe genom G behövs H G för ett stet roterande partikesystem Vi får för vare partike ett bidrag: H G = H re G = r G m v re =r G m ( r G = ( x G + y G + z G e z ( x G y G m $ = z G x G m z G y G m + ( G + y G m e z För hea systemet: H G = H re G + $ H G = &, ' $ ' $ ' m z G x G ( e m z y x & G G ( e + m r y & *G ( e z 1 e z

3 3 + $ ' $ ' $ ' = & m z G x G,& m z G y G,& m r *G 1 ( ( ( G G G, I xz I yz OBS: Vi har infört r G = x G + y G Dessutom ser vi att tröghetsmoment och tröghetsprodukter ser annorunda ut!! Kortfattat: H G = I G xz I G yz + I G z e z Rotation kring andra axar Man behöver i amänhet ett dubbet index, där ena indexet avser rotationsaxens riktning Exempe: För stekroppsrotation kring yaxe: = Definition tröghetsmoment: I y = m r, = m + z Tröghetsprodukter map yaxe som rotationsaxe: I xy = m y x och y = m y z På samma sätt för rotation kring xaxe I yx = m y x och x = m x z

4 4 Amänt***: A rotationströghet kan samas i en matris I x I xy I & % xz ( J = %I yx I y I yz (, % $ x y I ( z ' och rotationen med godtyckig utning på axen beskrivs av vektorn x & % ( = y, så att % ( $ z ' Kinetisk rotationsenergi: T = 1 J, och Röresemängdsmoment, tex map G: H G = J G Inre matrisprodukt betecknas med Pana och tunna kroppars tröghetsmoment Låt den tunna stea kroppen igga i panet definierat av z = : Vi har oika tröghetsmoment enigt tidigare definitioner: I y = m x +, I x = m y +, = m + y, så att = I x + I y (tröghetssamband för tunna kroppar

5 5 Steiners satser Inför en zaxe som beskriver rotationsaxen Låt kroppens masscentrum ha koordinaterna x G y G ( z G där z koordinaten inte spear någon ro för tröghetsmomentet eer G Definitioner: G = m x x G ([ ] + [ y y G ] och = m + y u gäer = m + y = ([ ] + [ y y G + y G ] = m x x G + x G ([ ] + [ y y G ] = m x x G + m ( G + y G +, ty m x x G = m y y G =, enigt definition av masscentrums koordinater Vi tokar detta som en uppdening av tröghetsmomentet map kroppens G: = I G z + mr G OBS: I G z avser en zaxe genom masscentrum Steiners sats för tröghetsprodukter: I xz = I G xz + mx G z G, I yz = I G yz + my G z G, I xy = I G xy + mx G y G Försök att häreda detta utgående ifrån definitioner!

6 6 Enka beräkningar: Exempe: Cirkering, a massa på avstånd r i ett pan där z = Bestäm tröghetsmoment map oika axar Lösning: Om masscentrum är i mitten och zaxen vinkerät mot panet fås G = mr På grund av symmetri map x och yaxar, samt samband för pana kroppar fås G = I x G + I y G = I x G = mr, dvs I x G = I y G = 1 mr Om vi nu vi veta trögheten map zaxe genom punkt på perifierin och vinkerät mot panet: Enigt Steiners sats: = I G z + mr G = mr + mr = mr Exempe: Sma homogen stång med ängd och massa m som roterar i ett xy pan, bestäm tröghetsmoment och tröghetsprodukter Lösning: Antag origo är i ena änden: Inför xaxe ängs stången Enigt definition: dm = x dm = x dx = 3 x dx = { dx { 3 = m 3 = m Enigt Steiners sats: = I Gz + m$ % & ' = m 3 I Gz = m 1 Men vad bir tröghetsmomentet map xaxen?? Vad bir tröghetsmomentet map yaxen?? = I x + I y?

7 7 dm r R Exempe: Tunn homogen skiva med radie R och massa m som roterar i ett xy pan, bestäm tröghetsmoment och tröghetsprodukter Lösning: Antag origo är i mitten (masscentrum: Inför koncentriska cirkuära band med bredden dr som täcker skivan Vare cirkuärt band har massan dm = rdr m R Enigt definition: R I G z = r dm = m R m R 4 r rdr = R R 4 = 1 mr Enigt Steiners sats: kant = G + mr = 3 mr Enigt samband för tunna skivor samt symmetri map G: G = I x G + I y G = I x G I x G = 1 4 mr För tröghetsprodukter gäer: I G xy = pga symmetrin, samt I G xz = I G yz = pga att den tunna skivan igger i panet z =