Kapitel extra Tröghetsmoment

Transkript

1 et betecknas med I eller J används för att beskriva stela kroppars dynamik har samma roll i rotationsrörelser som massa har för translationsrörelser Innebär systemets tröghet när det gäller att ändra rotationshastigheten Fysik - MB 011

2 et är beroende av objektets form och av hur massan är fördelad i objektet I r i m i i där I = tröghetsmoment m i = masselement r i = avståndet från m i till t.ex. masscentrum (kan betecknas med L) Fysik - MB 011

3 Några formler för tröghetsmomentet I cylinder med längden L, fastsatt i längdaxelns mitt: I 1 1 ml cylinder med längden L, fastsatt i ena ändpunkten: I 1 ml 3 Fysik - MB 011

4 Exempel Bestäm tröghetsmomentet för en klasslinjal (L = 1 m, m = 30 g) då den svänger runt en axel i ena ändan. i mitten. Fysik - MB 011

5 Exempel lösning Bestäm tröghetsmomentet för en klasslinjal (L = 1 m, m = 30 g) då den svänger runt en axel i ena ändan. i mitten. Rotationsaxeln i ena ändan: I 1 3 ml 0,30 kg1 3 m 0,11 kgm Fysik - MB 011

6 Exempel lösning Bestäm tröghetsmomentet för en klasslinjal (L = 1 m, m = 30 g) då den svänger runt en axel i ena ändan. i mitten. Rotationsaxeln i mitten: I 1 1 ml 0,30 kg1 1 m 0,07 kgm Fysik - MB 011

7 Slutsatser Av två föremål är det lättare att få det föremål att rotera vars tröghetsmoment är mindre. Det krävs mindre arbete att bromsa upp en rotation om tröghetsmomentet är litet. Fysik - MB 011

8 Rotationsrörelsens kinetiska energi kallas också rotationsenergi E r E r 1 Iω där I = tröghetsmomentet ω = vinkelhastigheten Fysik - MB 011

9 Exempel Ett svänghjul i form av en cirkelrund skiva med massan 150 kg och radien 0,35 m roterar 7 varv per minut. Bestäm hjulets tröghetsmoment och kinetiska energi då rotationsaxeln, som står vinkelrätt mot svänghjulet, går genom dess medelpunkt. Fysik - MB 011

10 Exempel lösning Ett svänghjul i form av en cirkelrund skiva med massan 150 kg och radien 0,35 m roterar 7 varv per minut. Bestäm hjulets tröghetsmoment och kinetiska energi då rotationsaxeln, som står vinkelrätt mot svänghjulet, går genom dess medelpunkt. Svänghjulets tröghetsmoment: I 1 m r 150 kg0,35 m 9, kgm Fysik - MB 011

11 Exempel lösning forts. Ett svänghjul i form av en cirkelrund skiva med massan 150 kg och radien 0,35 m roterar 7 varv per minut. Bestäm hjulets tröghetsmoment och kinetiska energi då rotationsaxeln, som står vinkelrätt mot svänghjulet, går genom dess medelpunkt. Svänghjulets kinetiska energi (rotationsenergi): 1 Er Iω (ω π n) I π n 9, kgm π s 1, Fysik - MB J

12 Exempel 5 4 (ur Fysik 4 Mekanik s. 97) En kompakt cylinder med radien 3 cm och massan 150 kg roterar kring sin axel med vinkelhastigheten 1 rad/s. Bestäm cylinderns tröghetsmoment och kinetiska energi. Fysik - MB 011

13 Exempel 5 4 lösning En kompakt cylinder med radien 3 cm och massan 150 kg roterar kring sin axel med vinkelhastigheten 1 rad/s. Bestäm cylinderns tröghetsmoment och kinetiska energi. 7,7 kgm (7,68 kgm ) 550 J (553 J) Fysik - MB 011

14 Exempel 5 10 (ur Fysik 4 Mekanik s. 97) Hur mycket skall en 75,0 cm lång homogen stav förlängas för att dess tröghetsmoment skall bli dubbelt så stort? Rotationsaxeln till såväl den nya som den ursprungliga staven är vinkelrät mot staven och går genom dess medelpunkt. Fysik - MB 011

15 Exempel 5 10 lösning Hur mycket skall en 75,0 cm lång homogen stav förlängas för att dess tröghetsmoment skall bli dubbelt så stort? Rotationsaxeln till såväl den nya som den ursprungliga staven är vinkelrät mot staven och går genom dess medelpunkt. 19,5 cm Fysik - MB 011

16 Exempel 5 7 (ur Fysik 4 Mekanik s. 97) I en tråd, som fästs i ändan av en stav, fäster man kulor med massan 5 g. Bestäm kulsystemets tröghetsmoment då r = 0,35 m. (se figuren) Fysik - MB 011

17 Exempel 5 7 lösning I en tråd, som fästs i ändan av en stav, fäster man kulor med massan 5 g. Bestäm kulsystemets tröghetsmoment då r = 0,35 m. (se figuren) Fysik - MB 011

18 Fysik - MB 011

19 Ett ämne eller föremål är uppbyggt av masspunkter m 1, m,...m i och avståndet till rotationsaxeln blir då r 1,r,...r i. Masspunkternas banhastigheter blir då v 1 = r 1 v = r o.s.v. Fysik - MB 011

20 och rotationsrörelsens energi Den kinetiska energin E kin hos en stel kropp, som roterar med konstant vinkelhastighet kring en fast axel blir E kin = ½ (m i r i ) (jmfr med E kin =½ mv ) Fysik - MB 011

21 Stela kroppars dynamik behandlar rotationsrörelsens grunder Då vi tittade på kinetiken för en stel kropp märkte vi att väg (s) motsvaras av vinkel () hastighet (v) vinkelhastighet () acceleration (a) vinkelacceleration () (translationsrörelse) (rotationsrörelse) Fysik - MB 011