ALTERNATIVA KOORDINATSYSTEM -Cylindriska koordinatsystem. De polära koordinaterna r och " kan beskriva rörelsen i ett xyplan,

Transkript

1 KOMIHÅG 8: Rörelsemängd: p = mv, Kinematiska storheter: r ( t), v ( t), a ( t) Kinematiska samband med begynnelsevillkor 1 Föreläsning 9: ALTERNATIVA KOORDINATSYSTEM -Cylindriska koordinatsystem De polära koordinaterna r och " kan beskriva rörelsen i ett xyplan, och z beskriver rörelsen i normalriktningen till planet radiell riktning ut från en z-axel till planet representeras av enhetsvektorn e r : e r = ( cos",sin",0) transversell riktning är den riktning partikeln rör sig om bara dess vinkelkoordinat " i planet ändras Lämplig enhetsvektor fås genom att studera förändringsvektorn de r / d" ( ) e " = de r d" = #sin",cos",0 som är en enhetsvektor Kinematiken i ett fullständigt cylindriskt system: -Läget: r = re r + ze z -Hastighet: v = r = r e r + re r + z e z = r e r + r" de r d" + z e z v = r e r + r" e " + z e z -Acceleration: a = v = r e r + r " e " + r " e " + r " e " + r" e " + z e z Men den näst sista termen kan inte stå som den är Varför? En extra räkning ger: e " = " de " d" = # " e r, så att slutligen: a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2 r # )e # + z e z

2 2 Problem: Beskriv hastighet, fart och acceleration i en likformig cirkelrörelse med radie R Lösning: Cirkelbanan ligger i ett plan z = 0 Avståndet till centrum och farten är konstanta, dvs v = r e r + r" e " = R" e " Farten kan beskrivas med v = R" Enhetsvektorn e " pekar i tangentens riktning Accelerationen för all plan rörelse kan också skrivas med z = 0: a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2 r # )e # Eftersom banan är cirkulär med en konstant fart försvinner en del termer Alltså a = " v 2 R e, där v = R" r Accelerationen är riktad in mot banans centrum Vi beräknar storleken av accelerationen: a = v 2 R

3 -Naturligt koordinatsystem tangent- och normalriktning Betrakta rörelse längs ett givet spår, typ järnväg En koordinat (sträckan s) 3 Två naturliga riktningar i planet: tangentriktning och normalriktning - Hastigheten v är intimt förknippad med den momentana tangentriktningen och sträckan längs spåret Hastighetens riktningsvektor: e t = v v, där v = v = s Streckan längs spåret kan definieras ur fartens tidsberoende:

4 Som en följd av dessa två saker kan hastigheten beskrivas fullständigt i det naturliga systemet: 4 v = s e t = ve t Under ett kort tidsintervall kan vi betrakta rörelsen från centrum av en tangerande cirkel till banan Inför en tangerande cirkel med radie ", så att z = 0 definierar cirkelns plan Hastigheten är då tangent till cirkelbågen Vi har i detta system v = " # e #, så att v = " # I samma system beskrivs accelerationen som a = ( " # " $ 2 )e r + (" $ + 2 " $ )e $, med " = " = 0, dvs a = "# $ 2 e r + # $ e $ Byter vi ut cylinderriktningarna med de naturliga riktningarna dvs e " = e t och e r = "e n, samt använder v = "#, och v = " #, får vi Accelerationen i det naturliga systemet: a = v e t + v 2 " e n

5 KOMIHÅG 9: Hastighet och acceleration kan beskrivas i olika koordinatsystem: Hastighet: Cylinderkomponenter v = r e r + r" e " + z e z Naturliga komponenter v = ve t Acceleration: Cylinderkomponenter a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2 r # )e # + z e z Naturligt komponenter a = v e t + v 2 " e n Föreläsning 10: Typiska partikelrörelser och accelerationsriktningar 5 Rak, uppbromsande rörelse: Svängningsrörelse:

6 Likformig cirkelrörelse: 6 Pendelrörelse: För att förstå accelerationen vid likformig cirkelrörelse och vid pendelrörelse har man hjälp av den naturliga uppdelningen a = v e t + v 2 " e n -När farten (v) är konstant eller maximal (alternativt minimal) försvinner tangentkomponenten, ty då är derivatan v = 0 -När farten är noll försvinner normalkomponenten

7 Problemlösning: 7 Problem 1 För höghastighetståget måste backens krökningsradie " vara tillräckligt stor Bestäm den undre gränsen för krökningsradien om tåget skall kunna ha farten v=360 km/h utan att accelerationen överskrider värdet g (tyngdaccelerationen) Lösning: Kinematik: Naturlig uppdelning av accelerationen ger a = v e t + v 2 " e = v 2 n " e n Villkor (riktningen av acc är inte viktig, bara storleken): v 2 " # g, dvs, SVAR: " # v 2 =1 km g

8 8 Problem 2 Satelliten har konstant vinkelhastighet " Teleskoparmarna rör sig så att sonderna P rör sig med konstant radiell hastighetskomponent r =V Bestäm storleken på sondernas acceleration när sonderna befinner sig på avståndet r från rotationsaxeln Lösning: Kinematik ( z = 0): v = r e r + r" e " =Ve r + r"e # a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2 r # )e # ="r# 2 e r + 2V#e $ Storleken (beloppet) av accelerationen: a = r 2 " 4 + 4V 2 " 2

9 Problem3: En partikels hastighet längs en s-axel ges av uttrycket v = cs 3/ 2, c = 5 mm -1/2 s!1 Bestäm accelerationen i läget s=2 mm Lösning: Ur definitionen ( a = ) dv dt = dv ds ds dt Skrivet på detta sätt kan vi sätta in: dv ds = 3 2 cs1/2 9 samt det givnas hastighetsuttrycket Vi får accelerationsuttrycket: a = 3 2 cs1/2!cs 3/2 = 3 2 c2 s 2 Numeriskt: a = 15! 5 2! 2 2 mm / s 2 = 150 mm / s 2 y x P O! r y x Problem 4: En punkt P är bestämd av lägevektorn r = b 1 cos! i + b 2 sin! j, där b 1 och b 2 är konstanter och! är vinkeln mellan lägevektorn och x-axeln Om vinkeln! ökar i

10 konstant takt d! /dt=!, visa att P rör sig som på en elliptisk bana med en acceleration som är proportionell mot avtåndet r och är riktad längs ortsvektorn r mot origo Lösning: Det enda tidsberoendet i lägevektorn finns i vinkeln Eftersom vinkelhastigheten är konstant kan vi direkt ersätta vinkeln med tidsfunktionen! = "t dvs r = ( b 1 cos!t, b 2 sin!t) Vi ser att ortsvektorn pekar på en ellips eftersom ekvationen 2! # x $ & + y 2! # $ & = 1 " b 1 % " b 2 % för en ellips kan satisfieras Observera att vinkelns tidsberoende inte spelar någon roll för banans form Kinematiken kan analyseras med hjälp av definitionerna för hastighet och acceleration hastigheten: ( ) v = r =! "b 1 sin!t, b 2 cos!t accelerationen: a = v =!" 2 ( b 1 cos"t, b 2 sin "t) =!" 2 r Vi ser just att accelerationens riktning är mot origo hela tiden, samt att storleken är proportionell mot avståndet till origo 10