Komihåg 5: ( ) + " # " # r BA Accelerationsanalys i planet: a A. = a B. + " # r BA

Transkript

1 1 Föreläsning 6: Relativ rörelse (kap ) Komihåg 5: ( ) Accelerationssamb: a A = a B + " # r BA + " # " # r BA Accelerationsanalys i planet: a A = a B " d BA # 2 e r + d BA # e # Rullning på plan (och krökt yta) Samband för tidsderivering av fysikaliska vektorer: V = " # V + V rel För så kallade vektorer som lägen, med origoberoende, måste kroppsfixa systemet ha samma origo som inertialsystemet!!!! Samband mellan absolut och relativ rörelse Låt oss fortsätta att analysera en rörelse på en rörlig stel kropp Vi har ett inertialsystem (universum), samt ett rörligt kroppsfixt koordinatsystem (jorden) med kroppens origo i referenspunkten O (som förut betecknades B) Vi inför det relativa läget r rel = r A " r O' (för en medmänniska), samt det absoluta läget r abs = r A (för hen) Relativ rörelse (i kroppen): I det kroppsfixa koordinatsystemet skrivs relativa läget som r rel = xe x + ye y + ze z Med den relativa hastigheten menas v rel = x e x + y e y + z e z, som om basvektorerna var konstanta Likaså för accelerationen a rel = x e x + y e y + z e z Men tidsderiveringarna vi har gjort ovan är inte fullständiga, det saknas tidsderivator av basvektorerna Sambandet absolut/relativ rörelse

2 2 För basvektorernas derivering har vi dock lärt oss att e xyz = " # e xyz Därför blir den fullständiga deriveringen av relativa läget: r rel = ( x e x + y e y + z e z )+(x e x + y e y + z e z ), dvs r rel = v rel + " # r rel Sambandet för absolut/relativ hastighet blir sålunda: v abs = v O' + " # r rel + v rel, där v SP är den så kallade v SP systempunktshastigheten, dvs stelkroppshastigheten i aktuellt läge Ytterligare en fullständig derivering av relativa läget ger sedan r rel = a rel + " # v rel + " # r rel + " # ( v rel + " # r rel ) = a rel + 2" # v rel + " # r rel + " # (" # r rel ) Sambandet för absolut/relativ acceleration blir alltså: Vi får: a abs = a O' + " # r rel + " # (" # r rel ) " 14 2 # v 43 rel + a rel a sp Detta accelerationssamband kallas Coriolis teorem En grupp av termer har med stelkroppaccelerationen att göra, a SP, de andra har med relativa rörelsen att göra Förutom den relativa accelerationen har korrekt tidsderivering lett till coriolisaccelerationen a cor, en extra acceleration som har att göra med byte av systempunkter med olika hastigheter att göra a cor

3 3 Exempel 28*: Betrakta en partikel i likformig cirkelrörelse (konstant relativ fart) på likformigt roterande dörrskiva Dörren med cirkelbanan är ett rörligt referenssystem som roterar kring en fix z-axel Beskriv riktning av följande vektorstorheter: a) Systempunktshastigheten, b) Relativa hastigheten, c) Absoluta hastigheten, d) Systempunktsaccelerationen, e) Relativa accelerationen, f) Coriolisaccelerationen, g) Absoluta accelerationen Lösning: a) Systempunkten där partikeln befinner sig (fix i dörren) är på väg in i bildens (dörrens) plan b) Relativa rörelsen är en likformig cirkelrörelse kring O " Bortse ifrån att systempunkten själv rör sig i cirkel kring den fixa z-axeln Relativa hastigheten är en vektor i cirkelns tangentriktning c) Absoluta hastigheten är vektorsumman av systempunktshastigheten och relativa hastigheten Man

4 4 behöver tre komponenter för att beskriva riktningen i referenssystemet d) Systempunktsaccelerationen är idetta fall riktad in mot z-axeln, ty z-axeln är fix och " är en konstant vektor Den beror av avståndet till rotationsaxeln e) Relativa accelerationen är riktad in mot banans mitt O " f) Coriolisacceleration 2" # v rel är alltid vinkelrät mot relativa hastigheten och vektorn " Riktningen fås med skruvregeln Det blir två fall: i övre delen av cirkelbanan är coriolisacceleration riktad ut ur referenssystemets rörelseplan (dvs negativ y-riktning), i undre delen av cirkelbanan är coriolisaccelerationen riktad in i dörren (dvs positiv y-riktning) g) Absoluta accelerationen är vektorsumman av systempunktsaccelerationen, coriolisaccelerationen och relativa accelerationen Exempel 28: Betrakta partikel i likformig cirkelrörelse (konstant relativ fart) på likformigt roterande (konstant vinkelhastighet) dörrskiva Dörren med cirkelbanan är ett rörligt referenssystem som roterar kring en fix z-axel Bestäm som funktion av " följande vektorstorheter: a) Systempunktshastigheten, b) Relativa hastigheten, c) Absoluta hastigheten, d) Systempunktsaccelerationen, e) Relativa accelerationen, f) Coriolisaccelerationen, g) Absoluta accelerationen

5 5

6 6 Lösning: Inför förutom x, y,z-riktningar även tangent- och normalriktning till cirkelbanan a) Systempunktshastigheten v O + " # r rel, där r rel = (d + Rcos")e x + (h + Rsin")e z, " = "e z och v O = 0, är v sp = (d + Rcos")#e y b) Relativa hastigheten är v rel = ve t, där e t = "sin#e x + cos#e z c) Absoluta hastigheten blir: v = (d + Rcos")#e y + ve t d) Systempunktsaccelerationen a O + " # (" # r rel ) med a O = 0, " # r rel = v sp = (d + Rcos$)"e y blir a sp = "(d + Rcos#)$ 2 e x (skruvregeln) e) Relativa accelerationen som för likformig cirkelrörelse blir a rel = v 2 R e n, riktad mot O " med e n = "cos#e x " sin#e z f) Coriolisaccelerationen blir (skruvregeln) a cor = 2"ve z # ($sin%e x + cos%e z ) = $2"v sin%e y g) Absoluta accelerationen blir a = "2#v sin$e y " (d + Rcos$)# 2 e x + v 2 e t R e n