3 Fackverk. Stabil Instabil Stabil. Figur 3.2 Jämviktskrav för ett fackverk

Transkript

1 3 Fackverk 3.1 Inledning En struktur som består av ett antal stänger eller balkar och som kopplats ihop med mer eller mindre ledade knutpunkter kallas för fackverk. Exempel på fackverkskonstruktioner är t ex takstolar, broar, skal, m m, se Figur 3.1. Figur 3.1 Exempel på fackverkskonstruktioner En ledad knutpunkt kan inte överföra moment endast krafter. För att ett plant fackverk skall kunna bära en last krävs det att minst tre stänger kopplas ihop. I Figur 3.2 ser vi att ytterligare ett krav måste ställas för att strukturen skall vara i jämvikt; Stängerna får inte vara parallella med varandra. Ledad knutpunkt Figur 3.2 Jämviktskrav för ett fackverk Stabil Instabil Stabil Fackverket i mitten med 4 stänger kan stabiliseras genom att placera en stång i diagonalen på kvadraten. Strukturer som på det här sättet är uppbyggd av trianglar kallas enkla fackverk. Enkla fackverk är statiskt bestämda, d v s man kan bestämma krafterna i varje stång i fackverket endast genom att använda jämviktsekvationer. När fler stänger än vad som behövs för jämvikten kopplas till fackverket blir det statiskt obestämt, d v s deformationerna i fackverket måste beaktas för att kunna bestämma krafterna i strukturen. Nackdelen med statiskt bestämda bärverk är att konstruktionen blir känslig för skador. Exempelvis så kan man inte byta ut en stång i ett statiskt bestämt fackverk vid t ex skada eftersom hela strukturen skulle bli instabil. Ibland kan det dock vara en fördel med statiskt bestämda konstruktioner t ex vid montering eller om strukturen är utsatt för stora temperaturrörelser eller sättningar. Endast statiskt bestämda plana fackverk belastade med yttre knutpunktslaster kommer att behandlas. 3-1

2 Olika typer av fackverk har fått namn efter upphovsmannen eller sättet att koppla ihop stängerna, se Figur 3.3. Figur 3.3 Exempel på olika typer av fackverk. 3.2 Analys av plana fackverk Eftersom knutpunkterna ej kan överföra moment så kommer stängerna i fackverket endast vara belastade med drag eller tryckkrafter, se Figur 3.4. F E y Modell Tryckt A R 1 B L C Friläggning R 2 D A Dragen x R 1 Knutpunktskrafter Figur 3.4 Kraftspelet i knutpunkterna. Beräkningsgången för ett plant fackverk kan sammanfattas med: Frilägg bärverket och rita in alla yttre krafter som påverkar fackverket. x y A för att bestämma Använd jämviktsekvationer F 0, F 0, M 0 okända reaktionskrafter från stöd och dylik. Bestäm krafterna i stängerna med: a) Knutpunktsmetoden eller med b) Snittmetoden 3-2

3 3.2.1 Knutpunktsmetoden Den här metoden går ut på att uppfylla jämviktsvillkoren i varje knutpunkt. Man börjar genom att frilägga knutpunkten i stöd A, se Figur 3.4. Krafterna i stängerna fås ur två jämviktsekvationer: Fx 0, Fy 0. Sedan går man vidare och beräknar de intilliggande knutpunkterna F, B C, E tills att man arbetat sig igenom hela fackverket till knutpunkt D, se Figur 3.5. Figur 3.5 Knutpunktsmetoden 3-3

4 Naturligtvis kan man börja i andra stödet, D, huvudsaken är att man kan lösa ut de obekanta krafterna med de två jämviktsekvationerna. Innan vi räknar ett exempel på knutpunktsmetoden skall vi först studera en knutpunkt som inte belastas av någon yttre last, se Figur 3.6. Figur 3.6 Typfall för knutpunkt utan last. I fallet när man har tre stänger som ansluter i en knutpunkt där två har samma riktning, Figur 3.6a, kan vi snabbt konstatera att krafterna F 1 = F 2. Samtidigt ser vi att kraften i den tredje stången F 3 = 0 oavsett vinkeln. Trots att kraften i den tredje stången är 0 kan man inte plocka bort den i fallet att F 1, F 2 är en tryckkraft. Den tredje stången har i det fallet en stabiliserande verkan och utan den skulle knutpunkten knäcka ut om vid minsta störning. För en knutpunkt utan yttre last med två stänger som inte ansluter i samma riktning, Figur 3.6b, måste krafterna i båda stängerna vara noll. Det tredje fallet med 4 stänger där stängerna är parvis orienterade i samma riktning, Figur 3.6c, måste krafterna F 1 = F 2 och F 3 = F 4. Detta gäller oavsett vinkel mellan de parvis orienterade stängerna. Många gånger kan man undvika att få kopplade ekvationer, dvs två ekvationer med två obekanta i varje ekvation, genom noggrant val x av koordinataxlar. I figuren till höger är kraften P känd x och krafterna F 1 och F 2 skall lösa ur jämviktsekvationer i P två olika riktningar. Riktningarna väljs så att en kraftsumma i x - riktningen eliminerar kraften F 1 och summan i x - riktningen eliminerar kraften F 2. På så sätt F 2 F 1 får man bara en obekant i varje kraftsumma. Ibland kan det dock vara enklare att lösa ett kopplat ekvationssystem jämfört med arbetet att dela upp krafterna i komposanter i andra riktningar än det kartesiska koordinatsystemet. 3-4

5 Exempel 3.1 Beräkna krafterna i varje stång i fackverket till höger. Lösning: Det första steget är som alltid att frilägga strukturen och beräkna reaktionskrafterna, T, E x och E y : M 0 :5T T 80 kn E F 0 : T cos 30 E 0 E 69.3 kn x x x Fy 0 : Ey T sin Ey 10 kn Vi börjar med att frilägga knutpunkt A: F 0 : AB sin AB 34.6 kn, D y F 0 : AC AB cos60 0 AC 17.3 kn, T x D står för drag- och T för tryckkraft i stången! Efter A måste vi B ta eftersom vi behöver kraften BC innan vi kan beräkna krafterna som ansluter till C: F 0 : BC sin 60 ABsin 60 0 y BC 34.6 kn, T F 0 : BD AB cos60 AB cos60 0 x BD 34.6 kn, D Nu har knutpunkt C endast 2 obekanta: F 0 : CDsin 60 BC sin y CD 57.7 kn, D F 0 : AC cos60 BC CD CE 0 x CE 63.5 kn, T Till sist kan vi frilägga E: F 0:10 DE sin 60 0 DE 11.6 kn, T y Kontrollera att F 0! x 3-5

6 3.2.2 Snittmetoden I knutpunktsmetoden kan vi bara använda två jämviktsekvationer eftersom alla krafter går genom knutpunkten. I snittmetoden kan vi utnyttja det tredje jämviktsvillkoret: summamoment skall vara noll. Snittmetoden har dessutom fördelen att stångkrafterna i snittet beräknas direkt istället för att gå omvägen via knutpunkterna i fackverket. Båda metoderna kan dock kombineras för att effektivisera beräkningsarbetet. Snittmetoden är illustrerad i Figur 3.7. På samma sätt som knutpunktsmetoden måste fackverket friläggas och alla yttre krafter, laster och stödreaktioner, beräknas. I det frilagda fackverket läggs sedan ett snitt där man önskar att beräkna stångkrafterna. I Figur 3.7a skall stångkrafterna FE, BE och BC bestämmas. Genom att införa lika stora motriktade krafter på var sin sida av snittet kan jämvikten studeras för varje del, Figur 3.7b. Figur 3.7 Snittmetoden Snittkrafterna i stängerna beräknas ur de tre jämviktsekvationerna, t ex F 0, F 0, M 0 x y A. Observera att vi endast har 3 ekvationer så snittet kan inte innehålla mer än 3 obekanta stångkrafter. Det är lämpligt att börja lösa ur krafterna m h a en momentekvation. Ofta kan en av krafterna beräknas direkt genom lämpligt val av momentaxeln (punkt). För den frilagda delen i Figur 3.8 ger en momentekvation i punkten B direkt kraften EF och en momentekvation utanför snittet, punkt E, kraften BC. Den sista kraften, BE, kan man lösa ur t ex en vertikal kraftjämvikt. Kom ihåg att om stångkrafterna utfaller med negativt tecken så betyder det att kraften är motsatt riktad. 3-6

7 Figur 3.8 Välj momentjämvikt runt punkten B och E. Exempel 3.2 Beräkna stångkrafterna KL, CL, CB om fackverket är belastad med en kraft på 200 kn i punkten G. Lösning: Vi behöver inte beräkna stödkrafterna eftersom dom inte finns med. Vi använder en momentekvation runt punkten L för att lösa ut CB. M L 0 : CB 0 CB 571 kn,tryck Nästa kraft löser vi ur momentekv.: M C 0 : KLcos 0 KL 650 kn, Drag Den tredje kraften löser vi ur momentekv.: M P Kontroll: 0 : CLcos 0 CL 57.6 kn, Tryck F x 0: KL cos CB CL sin 0! Vinkeln och och sträckan BL och PC fås ur: 1 tan tan BL m 6 PC 4 tan 9.60 m Om vi använt knutpunktsmetoden har vi varit tvungna att lösa 8 knutpunkter för att beräkna de tre efterfrågade krafterna. 3-7

8 Exempel 3.3 Beräkna stångkraften DJ i takstolen till höger. Lösning: Frilägg strukturen och beräkna reaktionskraften i punkt A: M G 0 : R 24 R A 18.3 kn Först gör vi ett snitt innanför led D, snitt 1, eftersom snitt 2 som ligger mellan D och J innehåller fyra obekanta. När vi bestämt kraften CJ i snitt 1 kan vi lösa ut de 3 återstående krafterna i snitt 2. A Genom likformighet kan ta fram avståndet mellan C och K CK AK DJ AJ CK m D v s stången CJ har en lutning på 45 o. Snitt 1: M A 0 :12CJ sin CJ 14.1 kn, Tryck Snitt 2: Den andra momentekvationen lägger vi runt G för att eliminera bort krafterna JK och DE ur jämvikten: M G 0 :12 DJ sin DJ 16.6 kn, Drag Ett alternativ hade varit att använda knutpunktsmetoden efter vi beräknat snitt

9 3.3 Övningsuppgifter Uppgifterna skall lösas med knutpunktsmetoden och uppgifterna med snittmetoden. Försumma stängernas egentyngd. Uppgift 3.1 Bestäm samtliga stångkrafter i det belastade fackverket. AB = 2.35 kn (Dragen) BC = 2.55 kn (Tryckt) AC = kn (Dragen) Uppgift 3.2 Bestäm samtliga stångkrafter i det belastade fackverket. AB = 5 kn (D), BC = 5(2) kn (T) CD = 15 kn (T), AC = 5(5) kn (D) AD = 0 kn Uppgift 3.3 Bestäm samtliga stångkrafter i det belastade fackverket. Alla trianglar är likbenta. AB = 2.5 kn (T), BC =9 kn (T) CD = 7.5 kn (T), DE = 4.5 kn (D) AE = CE = 7.5 kn (D) BE = 2.5 kn (D) Uppgift 3.4 Snölasten från taket belastar en takstol av Pratt typ. Försumma eventuella från horisontella stödreaktioner och bestäm alla stångkrafter. AB = BC = CD = DE = 3.35 kn (T), AH = EF =3.00 kn (D) BH = DF = 1.00 kn (T) CF = CH = 1.41 kn (D) FG = GH = 2.00 kn (D), CG = 0 kn 3-9

10 Uppgift 3.5 Gör om beräkningen från 3.4 nu på en takstol av Howe typ. Jämför resultaten med Pratt takstolen i 3.4. Uppgift 3.6 Bestäm samtliga stångkrafterna för fackverket i figuren. AG = CG = EF = CF = kn (T) AB = BC = BG = DE = CD = DF = 0 kn Uppgift 3.7 Bestäm stångkrafterna BC, BE och EF med snittmetoden. BC = 4.12 (T) BE = kn (D) EF = 3.38 kn (D) Uppgift 3.8 Bestäm krafterna CD, CE och EF med snittmetoden. CD = 4.47 (D) CE = 0 kn EF = 4.00 kn (T) 3-10

11 Uppgift 3.9 Takstolen i figuren används när man vill ha bra vinkel (sidan A-B) mot solen för att spara energi. Bestäm krafterna CD, CF och EF med snittmetoden. CD = 1600 N (T) CF = 800 N (T) EF = 2080 N (D) Uppgift 3.10 Bestäm stångkrafterna BC, BE och EF i lyftkranen med snittmetoden. BC = 182 N (D) BE = 2020 N (D) EF = 8270 N (T) Uppgift 3.11 Takstolen till höger består av 6 st trianglar med vinklarna 30 o, 60 o och 90 o grader. Bestäm stångkrafterna BH och HG. BH = 15.6 kn (D) HG = 31.2 kn (D) 3-11

12 Uppgift 3.12 En lyftkranen till höger dimensioneras som ett fackverk. Bestäm stångkrafterna DE, DG och HG. DE = 16 kn (D) DG = 33.9 kn (D) HG = 40 kn (T) 3-12